理科数学 热门试卷

因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为，故，从而．

所以，随机变量的分布列为

随机变量的数学期望．

（Ⅱ）：设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为，则，且．由题意知事件与互斥，且事件与，事件与均相互独立，从而由（Ⅰ）知

．

本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法．考查函数思想和化归与转化思想．考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力．满分14分．

（Ⅰ）：由已知，有．因此，当时，有，得，则单调递减；当时，有，得，则单调递增．

所以，的单调递增区间为的单调递减区间为．

（Ⅱ）证明：记．依题意及（Ⅰ），有，从而．当时，，故

．

因此，在区间上单调递减，进而．

所以，当时，．

（Ⅲ）证明：依题意，，即．记，则，且．

由及（Ⅰ），得．由（Ⅱ）知，当时，，所以在上为减函数，因此．又由（Ⅱ）知，，故

．

所以，．

在中，由正弦定理，得，又由，得，即．又因为，得到，．由余弦定理可得．

（Ⅱ）：由（Ⅰ）可得，从而，，故

依题意，可以建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系（如图），可得，．设，则．

（Ⅰ）证明：依题意，是平面的法向量，又，可得，又因为直线平面，所以平面．

（Ⅱ）：依题意，．

设为平面的法向量，则即不妨令，

可得．因此有．

所以，直线与平面所成角的正弦值为．

（Ⅲ）：设为平面的法向量，则即

不妨令，可得．

由题意，有，解得．经检验，符合题意．

所以，线段的长为．

本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识．考查用代数方法研究圆锥曲线的性质．考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力．满分13分．

（Ⅰ）：设椭圆的半焦距为，依题意，，又，可得，．

所以，椭圆的方程为．

（Ⅱ）：由题意，设．设直线的斜率为，又，则直线的方程为，与椭圆方程联立整理得，可得，代入得，进而直线的斜率．在中，令，得．由题意得，所以直线的斜率为．由，得，化简得，从而．

所以，直线的斜率为或．