理科数学 热门试卷

由图知，解得

∵

∴，即

由于，因此。

∴

∴

即函数的解析式为。

∵

∴

∵

，即，所以或1（舍），。

由正弦定理得，解得

由余弦定理得

∴，（当且仅当a=b等号成立）

∴

∴的面积最大值为.

由茎叶图可知抽取的10户中用水量为一阶的有2户，二阶的有6户，

三阶的有2户。

第二阶梯水量的户数X的可能取值为0,1,2,3.

，

，

所以X的分布列为

E(X)=.

设Y为从全市抽取的10户中用水量为二阶的家庭户数，

依题意得Y～B,所以，其中。

设。

若，则，；

若，则，。

所以当或，可能最大，

所以的取值为6。

方程|f（x）|=g（x），即|﹣1|=a|x﹣1|，变形得|x﹣1|（|x+1|﹣a）=0，

显然，x=1已是该方程的根，从而欲使原方程只有一解，即要求方程|x+1|=a有且仅有一个等于1的解或无解，∴a＜0．

当x∈R时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，即（﹣1）≥a|x﹣1|（*）对x∈R恒成立，

①x=1时，（*）显然成立，此时a∈R；

②当x≠1时，（*）可变形为a≤ ，令φ（x）= = ，

因为当x＞1时，φ（x）＞2，当x＜1时，φ（x）＞﹣2，所以φ（x）＞﹣2，

故此时a≤﹣2．

综合①②，得所求实数a的取值范围是a≤﹣2。

在中，令n=1，可得，即，

当时，，

.

又数列是首项和公差均为1的等差数列.

于是.

由上题得，

所以

由①-②得

。

由题意知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），方程f′（x）=0在（0，+∞）有两个不同根； 即方程lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根；
（解法一）转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，
如下图．

可见，若令过原点且切于函数y=lnx图象的直线斜率为k，只须0＜a＜k．
令切点A（x0，lnx0）， 故，又，故，解得，x0=e， 故， 故．

（解法二）转化为函数与函数y=a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点．
又，
即0＜x＜e时，g′（x）＞0，x＞e时，g′（x）＜0， 故g（x）在（0，e）上单调增，在（e，+∞）上单调减． 故g（x）极大=g（e）=；
又g（x）有且只有一个零点是1，且在x→0时，g（x）→﹣∞，在在x→+∞时，g（x）→0，
故g（x）的草图如下图，

可见，要想函数与函数y=a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，
只须． ……4分

（解法三）令g（x）=lnx﹣ax，从而转化为函数g（x）有两个不同零点，
而（x＞0），
若a≤0，可见g′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，所以g（x）在（0，+∞）单调增，
此时g（x）不可能有两个不同零点．
若a＞0，在时，g′（x）＞0，在时，g′（x）＜0，
所以g（x）在上单调增，在上单调减，从而=，
又因为在x→0时，g（x）→﹣∞，在在x→+∞时，g（x）→﹣∞，
于是只须：g（x）极大＞0，即，所以．
综上所述，． ……4分

因为等价于1+λ＜lnx1+λlnx2．
由上题可知x1，x2分别是方程lnx﹣ax=0的两个根，
即lnx1=ax1，lnx2=ax2
所以原式等价于1+λ＜ax1+λax2=a（x1+λx2），因为λ＞0，0＜x1＜x2，
所以原式等价于．
又由lnx1=ax1，lnx2=ax2作差得，，即．
所以原式等价于，
因为0＜x1＜x2，原式恒成立，即恒成立．
令，t∈（0，1），
则不等式在t∈（0，1）上恒成立． ……8分

令，
又=，
当λ2≥1时，可见t∈（0，1）时，h′（t）＞0，
所以h（t）在t∈（0，1）上单调增，又h（1）=0，h（t）＜0在t∈（0，1）恒成立，符合题意．
当λ2＜1时，可见t∈（0，λ2）时，h′（t）＞0，t∈（λ2，1）时h′（t）＜0，
所以h（t）在t∈（0，λ2）时单调增，在t∈（λ2，1）时单调减，又h（1）=0，
所以h（t）在t∈（0，1）上不能恒小于0，不符合题意，舍去．
综上所述，若不等式恒成立，只须λ2≥1，又λ＞0，所以λ≥1．