理科数学 长沙市2017年高三上学期第四次月考
精品
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单选题 本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

3.设向量ab均为单位向量,且|ab|1,则ab夹角为(  )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

由条件可知,又均为单位向量,所以

,故选C

考查方向

本题主要考查了向量的夹角公式与求模公式。

解题思路

的夹角为,将已知等式平方,结合向量模的含义和单位向量长度为1,化简整理可得夹角的值。

易错点

向量的夹角公式与求模公式的正确求解。

1
题型: 单选题
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分值: 5分

5.已知函数yaxyxby=logcx的图象如图所示,则(  )

Aa>b>c

Ba>c>b

Cc>a>b

Dc>b>a

正确答案

C

解析

根据函数图象知,函数是指数函数且x=1时,;函数,所以;函数所以,综上可得a、b、c的大小是

考查方向

本题考查指数函数、对数函数与幂函数的图像和性质。

解题思路

根据指数函数、对数函数与幂函数的图像和性质,用特殊值法即可判断。

易错点

基本初等函数的图象和性质的熟练运用。

1
题型: 单选题
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分值: 5分

8.从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动,每人一天,要求星期五有2人参加,星期六、星期日各有1人参加,则不同的选派方法共有(  )

A40种

B60种

C100种

D120种

正确答案

B

解析

根据题意,首先从5人中抽出2人在星期五参加活动,有种情况,再从剩下的3人中,抽取2人安排在星期六、星期日参加活动,有种情况,则由分步计算原理,可得不同的选派方法共有种。

考查方向

本题考查排列组合的综合应用。

解题思路

分两步进行,首先从5人中抽出2人在星期五参加活动,再从剩下的3人中,抽取2人安排在星期六、星期日参加活动,分别计算其情况数目,由分步计数原理计算可得答案。

易错点

注意区分排列和组合的意义。

1
题型: 单选题
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分值: 5分

10.如果对于任意实数x,[x]表示不超过x的最大整数. 例如[3.27]=3,[0.6]=0.那么“[x]=[y]”是“|xy|<1”的(  )

A充分而不必要条件

B必要而不充分条件

C充要条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

A

解析

,设其中,所以

,所以,即成立能推出成立。

反之例如满足,但,即成立,推不出,故选A

考查方向

本题考查理解新定义问题,判断一个命题是另一个命题的什么条件问题。

解题思路

利用题中的新定义,判断有前者是否能推出后者,再判断由后者是否能推出前者,利用各种条件的定义得到结论。

易错点

新定义中的正确理解。

1
题型: 单选题
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分值: 5分

1.复数=(  )

A1-2i

B1+2i

C-1+2i

D-1-2i

正确答案

D

解析

,故选D

考查方向

复数的运算。

解题思路

利用复数的运算法则即可得出。

易错点

注意复数的运算法则。

1
题型: 单选题
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分值: 5分

2.执行如图所示的程序框图,则输出的i值为(  )

A3

B4

C5

D6

正确答案

B

解析

模拟执行程序框图,可得,不满足条件

不满足条件

满足条件,退出循环,输出i的值为4,故选B。

考查方向

本题考查了循环结构的程序框图。

解题思路

模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的m,i的值,当m=0时满足条件,退出循环输出i的值。

易错点

正确写出每次循环得到的m,i的值。

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

4.设mn是两条不同的直线,αβ是两个不同的平面,给出下列四个命题:

①若mαnα,则mn;②若mnnα,则mα;③若mnnβmα,则αβ;④若mnAmαmβnαnβ,则αβ.

其中真命题的个数是(  )

A1

B2

C3

D4

正确答案

C

解析

对于①若,根据线面平行、线面垂直的性质定理可得,故正确;对于②若,则,故错误。对于③若,则由面面垂直的判定即可得,故正确。

对于④若,由面面平行的判定即可得,故正确

考查方向

本题考查了空间线面垂直、面面平行、线面平行、面面垂直的性质定理和判定定理的运用。

解题思路

利用空间线面垂直、面面平行、线面平行、面面垂直的性质定理和判定定理分别分析四个命题,即可解得答案。

易错点

定理需熟记并能正确运用。

1
题型: 单选题
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分值: 5分

6.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图、俯视图中的圆以及侧视图中的圆弧的半径都相等,侧视图中的两条半径互相垂直,若该几何体的体积是π,则它的表面积是(  )

Aπ

B

C

D

正确答案

C

解析

由三视图知:几何体是球体切去后余下的部分,由该几何体的体积为可得:,解得,所以几何体的表面积,故选D

考查方向

本题考查几何体的三视图与体积、表面积的计算。

解题思路

根据三视图,即可知几何体是球体切去后余下的部分,再由球的体积公式和已知,即可解得球的半径R,进而求出几何体的表面积。

易错点

能根据三视图正确判断几何体。

1
题型: 单选题
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分值: 5分

7.已知数列{an},{bn}满足a1=1,且anan+1方程x2bnx+2n=0的两根,则b10等于(  )

A24

B32

C48

D64

正确答案

D

解析

由已知得,,所以,两式相除得

所以成等比数列。而,所以

,所以,故选D

考查方向

本题考查了韦达定理的应用,等比数列的判定及通项公式求解,考查转化、构造和计算能力。

解题思路

由根与系数关系得到,取后再得一式,两式相除,可得数列中奇数项成等比数列,偶数项也成等比数列,求出后可求得

易错点

数列中奇数项成等比数列,偶数项也成等比数列的判断。

1
题型: 单选题
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分值: 5分

9.已知F1F2分别是双曲线C的左、右焦点,若F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心,|OF1|为半径的圆上(O为原点),则双曲线C的离心率为(  )

A

B3

C

D2

正确答案

B

解析

由题意得,一条渐近线方程为,则到渐近线的距离为。设关于渐近线的对称点为M,与渐近线交于A,所以

,A为的中点,又O是的中点,所以,所以为直角,所以为直角三角形,所以由勾股定理得,所以

所以,故选D

考查方向

本题考查双曲线的几何性质,考查勾股定理的运用。

解题思路

求出到渐近线的距离,利用关于渐近线的对称点恰落在以为圆心,

为半径的圆上,可得直角三角形,即可求出双曲线的离心率。

易错点

双曲线几何性质的运用。

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

11.设直线l:3x+4ya=0,圆C:(x-2)2y2=2,若在圆C上存在两点PQ,在直线l上存在一点M,使得∠PMQ=90°,则a的取值范围是(  )

A[-18,6]

B

C[-16,4]

D

正确答案

C

解析

圆C:,圆心为:(2,0),半径为,因为在圆C上存在两点P,Q,在直线l上存在一点M,使得,所以在直线l上存在一点M,使得M到的距离等于2,所以只需到直线l的距离小于或等于2,

,解得,故选C

考查方向

本题考查直线与圆的位置关系。

解题思路

由切线的对称性和圆的知识将问题转化为到直线l的距离小于或等于2,再由点到直线的距离公式得到关于a的不等式求解。

易错点

得到圆心到直线的距离小于或等于2

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

12.若函数则当k>0时,函数yf[f(x)]+1的零点个数为(  )

A1

B2

C3

D4

正确答案

D

解析

结合图像分析,当时,则

,对于,存在两个零点,对于,存在两个零点,共存在4个零点。故选D

考查方向

本题考查了函数与方程的综合运用,复合函数零点的个数问题。

解题思路

做出的图象,由图象焦点位置知其有两个交点,其横坐标设为,则图象与交点个数,就是所求零点个数。

易错点

正确求出外函数和内函数的零点个数。

填空题 本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
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分值: 5分

15.若xy满足,则2xy的取值范围是________

正确答案

解析

画出满足条件的平面区域,如图

,得,显然直线经过(0,0)时,z最小值是0,直线经过

A(1,1)时,z最大,z的最大值是3,故答案为

考查方向

本题考查了简单的线性规划问题和数形结合思想。

解题思路

画出满足条件的平面区域,求出交点坐标,令,得,显然直线经过(0,0)时,z最小值是0,直线经过A(1,1)时,z最大,从而求解。

易错点

注意画出满足条件的平面区域。

1
题型:填空题
|
分值: 5分

13.在二项式的展开式中,的一次项系数为________.(用数字作答)

正确答案

-80

解析

的展开式的通项公式是,其中;令,解得,所以一次项系数

考查方向

本题考查二项式的展开式的通项公式的运用。

解题思路

运用二项式的通项公式即得,化简整理,再令x的指数为1,即可得到系数。

易错点

二项式通项公式的熟记。

1
题型:填空题
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分值: 5分

14.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有圆堢瑽,周四丈八尺,高一丈一尺.问积几何?答曰:二千一百一十二尺.术曰:周自相乘,以高乘之,十二而一”.这里所说的圆堢瑽就是圆柱体,它的体积为“周自相乘,以高乘之,十二而一.”就是说:圆堢瑽(圆柱体)的体积V×(底面的圆周长的平方×高),则该问题中圆周率π的取值为________

正确答案

3

解析

由题意得圆堢瑽(圆柱体)底面的圆周长48尺,高11尺,体积为2 112(立方)尺,设圆堢瑽(圆柱体)的底面半径为r,则,解得,故为:3

考查方向

本题考查圆柱体底面圆周长、体积的计算。

解题思路

14.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有圆堢瑽,周四丈八尺,高一丈一尺.问积几何?答曰:二千一百一十二尺.术曰:周自相乘,以高乘之,十二而一”.这里所说的圆堢瑽就是圆柱体,它的体积为“周自相乘,以高乘之,十二而一.”就是说:圆堢瑽(圆柱体)的体积V×(底面的圆周长的平方×高),则该问题中圆周率π的取值为________

易错点

题中所给数学问题的正确理解。

1
题型:填空题
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分值: 5分

16.函数f(x)=sin (ωxφ)的导函数yf′(x)的部分图象如图所示,其中,AC为图象与x轴的两个交点,B为图象的最低点.若在曲线段与x轴所围成的区域内随机取一点,则该点在△ABC内的概率为_____________

正确答案

解析

,所以

,则,设曲线段与轴所围成的区域的面积为

,所以该点在内的概率

考查方向

本题主要考查了导数运算和导函数与原函数的关系,定积分的几何意义,几何概型概率的计算方法。

解题思路

先利用定积分的几何意义,求曲线段与x轴所围成的区域面积,再求三角形ABC的面积,最后利用几何概型概率计算公式求面积之比即可求得所求概率。

易错点

定积分的计算。

简答题(综合题) 本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
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分值: 12分

在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,函数f(x)=2sin(x-A)cos x+sin(B+C)(x∈R),f(x)的图象关于点对称.

17.当x时,求f(x)的值域;

18.若a=7且sin B+sin C,求△ABC的面积.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由函数的图象关于点对称,知,即

,所以,当时,,所以

,即得值域为

考查方向

本题考查两角和差的正弦公式和二倍角公式的运用。

解题思路

运用两角差的正弦公式和诱导公式,结合二倍角公式,化简,再由对称性,计算可得A,再由x得范围,结合正弦函数的图象和性质,即可得到值域。

易错点

正弦公式和二倍角公式的熟记。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由正弦定理得,则

所以,即,由余弦定理可得:

,从而,则

的面积为

考查方向

本题考查正弦定理和余弦定理以及面积公式的运用。

解题思路

运用正弦定理和余弦定理,可得,再由面积公式即可计算得到。

易错点

正弦定理和余弦定理中的计算准确。

1
题型:简答题
|
分值: 12分

某网络营销部门为了统计某市网友2016年11月11日在某淘宝店的网购情况,随机抽查了该市当天60名网友的网购金额情况,得到如下数据统计表(如表):

若网购金额超过2千元的顾客定义为“网购达人”,网购金额不超过2千元的顾客定义为“非网购达人”,已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为3∶2.

19.试确定xypq的值,并补全频率分布直方图(如图).

20.该营销部门为了进一步了解这60名网友的购物体验,从“非网购达人”、“网购达人”中用分层抽样的方法确定10人,若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查.设ξ为选取的3人中“网购达人”的人数,求ξ的分布列和数学期望.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

根据题意有,解得

所以,补全频率分布直方图如图所示

考查方向

本题主要考查读图表、频率分布直方图等知识。

解题思路

由频数之和为60与“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为3∶2,列出关于x,y的方程组,由此能求出x.

易错点

图标会正确解读。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

分布列为

解析

利用分层抽样的方法,从中选取10人。则其中“网购达人”有

“非网购达人”有人,故的可能取值为0,1,2,3;

所以的分布列为:

考查方向

本题考查分层抽样、概率、随机变量分布列和数学期望。

解题思路

由题设知的可能取值为0,1,2,3,利用已知条件结合排列组合知识分别求出相对应的概率,由此求出ξ的分布列和数学期望。

易错点

随机变量分布列的求解,计算正确。

1
题型:简答题
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分值: 12分

如图,正方形ABCD的边长为4,EF分别为BCDA的中点.将正方形ABCD沿着线段EF折起,使得∠DFA=60°. 设GAF的中点.

21.求证:DGEF

22.求直线GA与平面BCF所成角的正弦值;

23.设PQ分别为线段DGCF上一点,且PQ∥平面ABEF,求线段PQ长度的最小值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

因为正方形ABCD中,E、F分别为BC,DA的中点,所以

,将正方形ABCD沿着线段EF折起后,仍有,而

,所以,又因为,所以

考查方向

本题考查空间直线与直线的位置关系、线面垂直的性质。

解题思路

首先根据正方形性质推出,从而根据线面垂直的性质使问题得证。

易错点

线面垂直、线线垂直的熟练运用。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

因为,所以为等边三角形,又,故,由(1),又,所以

设BE的中点为H,连接GH,则GA,GH,GD两两垂直,故以GA,GH,GD分别为

x轴、y轴和z轴,建立空间直角坐标系如图

所以

设平面BCF的一个法向量为,由

,令,得,设直线GA与平面BCF所成角为,则,则直线GA与平面BCF所成角的正弦值为

考查方向

本题考查直线与平面所成的角,利用法向量解答空间角。

解题思路

以G为坐标原点建立空间直角坐标系,然后求出平面BCF的一个法向量,从而利用空间夹角公式求解。

易错点

法向量的熟练求解。

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由题意得,可设,所以

由(Ⅱ)得为平面ABEF的法向量,因为,所以

,所以

又因为,所以当时,,所以当

时,线段PQ长度最小值

考查方向

本题考查线面平行的性质得应用,考查学生空间想象能力,转换分析思想。

解题思路

【解题思路】设,由(Ⅱ)得到为平面ABEF的法向量,然后根据线面平行性质得,由此求得PQ长度的最小值。

易错点

【易错点】法向量的灵活运用。

1
题型:简答题
|
分值: 12分

已知椭圆(a>b>0)的离心率为,以E的四个顶点为顶点的四边形的面积为4.

24.求椭圆E的方程;

25.设AB分别为椭圆E的左、右顶点,P是直线x=4上不同于点(4,0)的任意一点,若直线AP BP分别与椭圆相交于异于AB的点MN,试探究,点B是否在以MN为直径的圆内?证明你的结论.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

依题意得,又,由此解得

所以椭圆E的方程为

考查方向

椭圆的标准方程。

解题思路

由已知得,由此能求出椭圆方程。

易错点

注意椭圆参数的求解。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

点B在以MN为直径的圆内

解析

由(1)得,设,因为M点在椭圆上,所以①又点M异于顶点A、B,所以,由P、A、M三点共线可以得

从而

所以

将①代入②,化简得,因为,所以为锐角,从而为钝角,故点B在以MN为直径的圆内。

考查方向

本题主要考查直线、圆与椭圆的关系问题。

解题思路

由(1)得,设,则,由已知条件推导出,由此能证明点B在以MN为直径的圆内。

易错点

注意圆锥曲线中代入化简的正确。

1
题型:简答题
|
分值: 12分

已知函数f(x)=eaxx.

26.若对一切xRf(x)≥1恒成立,求a的取值集合;

27.若a=1,k为整数,且存在x0>0,使(x0k)f′(x0)+x0+1<0,求k的最小值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

,则对一切,这与题设矛盾,故

,令,得

单调递减

单调递增

故当时,取最小值,于是对一切

恒成立,当且仅当

,当时,单调递减

故当t=1时,取最大值,因此当且仅当即a=1时,①成立

综上可得,a的取值集合为

考查方向

本题考查导数的应用,涉及最大值、最小值的求法以及恒成立问题。

解题思路

根据题意对求导可得,令,得,分

两种情况讨论可得取最小值,令,分析可得当t=1时,取最大值,当且仅当

a=1时成立。

易错点

导数在最大值和最小值中的应用。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

3

解析

    ,所以

故当时,等价于

上单调递增,而

,所以上存在唯一的零点,亦即上存在唯一的零点,设此零点为,则

时,;当时,,所以上的最小值为,而,而由知,存在,使得

等价于,所以整数k的最小值为3.

考查方向

函数的性质和导函数在最值中的应用。

解题思路

由题可知当时,等价于,令,根据题意可判断上的最小值为,即可求出k的最小值。

易错点

注意导函数的正确运用。

1
题型:简答题
|
分值: 10分

选修4—4:坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为

(α为参数),MC1上的动点,P点满足=2,点P的轨迹为曲线C2.

28.求C2的普通方程;

29.在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线θC1的异于极点的交点为A,与C2的异于极点的交点为B,求|AB|.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

,则由条件知,由于M点在上,所以

,即,消去参数a得

得普通方程为

考查方向

本题考查极坐标与直角坐标的互化。

解题思路

先设出点P的坐标,然后根据点P满足的条件代入曲线的方程即可求出曲线的方程。

易错点

极坐标定义的熟练掌握。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

曲线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为

射线的交点A的极径为

射线的交点B的极径为

所以

考查方向

本题考查及坐标方程的求解和线段长度的求解。

解题思路

根据(1)求出曲线的及坐标方程,分别求出射线的交点A的极径,以及与的交点B的极径为,根据求出。

易错点

及坐标方程的熟练运用。

1
题型:简答题
|
分值: 10分

已知函数f(x)=m-|x-2|,mR,且f (x+2)≥0的解集为[-1,1].

30.求m的值;

31.若abcR,且,求证:a+2b+3c≥9.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

因为,所以等价于,由有解可得

且其解集为,又的解集为,故

考查方向

本题主要考查带有绝对值的函数的值域。

解题思路

由条件可得等价于,故有解可得

且其解集为,又的解集为,故

易错点

解带有绝对值的不等式。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由(1)知

由基本不等式得:

考查方向

本题考查基本不等式在最值中的应用。

解题思路

根据

利用基本不等式证明它大于等于9.

易错点

基本不等式的熟练掌握。

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