- 真题试卷
- 模拟试卷
- 预测试卷
1.已知集合集合,则的子集个数为( )
正确答案
解析
中的元素有3个元素,子集个数有8个。选C。
知识点
3.下列函数中,其图象既是轴对称图形又在区间(0,+∞)上单调递增的是( )
正确答案
解析
对于A,函数y=的图象是中心对称图形,不是轴对称图形,∴不满足题意;
对于B,函数y=﹣x2+1的图象是轴对称图形,在区间(0,+∞)上是单调减函数,∴不满足题意;
对于C,函数y=2x的图象不是轴对称图形,∴不满足题意;
对于D,函数y=lg|x+1|的图象是关于直线x=﹣1对称的图形,且在区间(0,+∞)上是单调增函数,满足题意.
故选:D.
知识点
2.复数,则对应的点所在的象限为( )
正确答案
解析
∵复数z=1﹣i,∴+z==+1﹣i=+1﹣i=对应的点所在的象限为第四象限.故选:D.
知识点
4.阅读如下程序框图,如果输出,那么空白的判断框中应填人的条件是
正确答案
解析
根据算法的运算,第一次循环后,第二次循环后,第三次循环后这时要输出所以应填
知识点
9.已知直线与抛物线交于两点,点,若,则
正确答案
解析
,∵,且,∴,解得,故选B.
知识点
6.下图是一容量为的样本的重量的频率分布直方图,则由图可估计样本重量的中位数为
正确答案
解析
根据中位数左右两侧的面积相等,也就是概率相等所以中位数为12,第一块的面积为,第二块的面积为0.5所以第三块的面积为0.2,所以中位数为12时左右的面积相等.
知识点
7.如图,网格纸上小正方形的边长为,粗线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的体积为
正确答案
解析
由三视图可知,该多面体是一个四棱锥,且由一个顶点出发的三条侧棱两两垂直,长度都为4, ∴其体积为
知识点
11.若对,不等式恒成立,则实数的最大值是
正确答案
解析
因为,再由可有,令,则,可得,且在上,在上,故的最小值为,于是即,故选D.
知识点
8.在平面直角坐标系中,若满足,则的最大值是
正确答案
解析
根据线性规划的方法可求得最优解为点,此时的值等于14,故选C.
知识点
5.
正确答案
解析
:它的原函数可以为, =
知识点
10.对定义在上,并且同时满足以下两个条件的函数称为函数:
(i) 对任意的,恒有;
(ii) 当时,总有成立.
则下列四个函数中不是函数的个数是
① ②
③ ④
正确答案
解析
在上,四个函数都满足;(ii);
对于①,,满足;
对于②,
,不满足.
对于③,
而,∴,∴,
∴,∴,满足;
对于④,
,满足;
故选A.
知识点
12.已知直线与圆交于两点,是坐标原点,向量满足,则实数的值是 。
正确答案
解析
因为向量满足,所以OA⊥OB,又直线x+y=a的斜率为-1,所以直线经过圆与y轴的交点,所以a=±2.
知识点
14.正四面体的棱长为4,为棱的中点,过作其外接球的截面,则截面面积的最小值为______.
正确答案
解析
将四面体ABCD放置于正方体中,如图所示
可得正方体的外接球就是四面体ABCD的外接球,
∵正四面体ABCD的棱长为4,
∴正方体的棱长为
可得外接球半径R满足2R=解得R=
E为棱BC的中点,过E作其外接球的截面,当截面到球心O的距离最大时,
截面圆的面积达最小值,
此时球心O到截面的距离等于正方体棱长的一半,
可得截面圆的半径为r=
得到截面圆的面积最小值为S= =4π.
故答案为:4π
知识点
16.已知数列中,且(且).求数列的前项和= 。
正确答案
.
解析
∵且(且).
∴设,则:
,
由上可知,数列为首项是、公差是1的等差数列.
,即:.
∴.
即.
令, ①
则. ②
②-①,得.
∴.
知识点
15.已知函数(,,是常数,,)的部分图象如图所示.若,则 ▲ .
正确答案
解析
由函数图像知:A=3,,所以,则;故,又过,解得,因为即,得,,故,则==
知识点
13.的展开式中常数项为__________.
正确答案
解析
∵的通项为,令,∴,故展开式中常数项为;
知识点
20.已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)若函数上是减函数,求实数a的最小值;
(3)若,使成立,求实数a的取值范围.
正确答案
见解析。
解析
由已知函数的定义域均为,且.
(1)函数,
当且时,;当时,.
所以函数的单调减区间是,增区间是.
(2)因f(x)在上为减函数,故在上恒成立.
所以当时,.
又,
故当,即时,.
所以于是,故a的最小值为.
(3)命题“若使成立”等价于
“当时,有”.
由(2),当时,,.
问题等价于:“当时,有”.
当时,由(2),在上为减函数,
则=,故.
当时,由于在上为增函数,
故的值域为,即.
(i)若,即,在恒成立,故在上为增函数,
于是,=,不合题意.
(ii)若,即,由的单调性和值域知,
唯一,使,且满足:
当时,,为减函数;当时,,为增函数;
所以,=,.
所以,,与矛盾,不合题意.
综上,得.
知识点
19.已知椭圆的离心率,点A为椭圆上一点,.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设动直线与椭圆C有且只有一个公共点P,且与直线相交于点Q.问:在轴上是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过定点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.
正确答案
(1);
(2)存在定点符合题意.
解析
(1)由可得,, ①
可得,,
在中由余弦定理有,,又,可得②,
联立①②得,
所以椭圆方程为.
(2)设点,由,得, ,化简得,所以,
所以.
由,得,假设存在点,坐标为,则,,
因为以为直径的圆恒过点,所以,即,所以有对任意的都成立,
则,解得,故存在定点符合题意.
知识点
17.工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务,每次只派一个人进去,且每个人只派一次,工作时间不超过10分钟,如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出,再派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派,他们各自能完成任务的概率分别,假设互不相等,且假定各人能否完成任务的事件相互独立.
(1)如果按甲最先,乙次之,丙最后的顺序派人,求任务能被完成的概率。若改变三个人被派出的先后顺序,任务能被完成的概率是否发生变化?
(2)若按某指定顺序派人,这三个人各自能完成任务的概率依次为,其中是的一个排列,求所需派出人员数目的分布列和均值(数字期望);
(3)假定,试分析以怎样的先后顺序派出人员,可使所需派出的人员数目的均值(数字期望)达到最小.
正确答案
见解析。
解析
(1)无论以怎样的顺序派出人员,任务不能被完成的概率都是,所以任务能被完成的概率与三个被派出的先后顺序无关,并等于
(2)当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为时,随机变量X的分布列为
所需派出的人员数目的均值(数学期望)EX是
(3)(方法一)由(II)的结论知,当以甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时,
根据常理,优先派出完成任务概率大的人,可减少所需派出的人员数目的均值.
下面证明:对于的任意排列,都有
……………………(*)
事实上,
即(*)成立.
(方法二)(i)可将(2)中所求的EX改写为若交换前两人的派出顺序,则变为.由此可见,当时,交换前两人的派出顺序可减小均值.
(ii)也可将(2)中所求的EX改写为,或交换后两人的派出顺序,则变为.由此可见,若保持第一个派出的人选不变,当时,交换后两人的派出顺序也可减小均值.
序综合(i)(ii)可知,当时,EX达到最小. 即完成任务概率大的人优先派出,可减小所需派出人员数目的均值,这一结论是合乎常理的.
知识点
21.如图,设AB为⊙O的任一条不与直线l垂直的直径,P是⊙O与l的公共点,AC⊥l,BD⊥l,垂足分别为C,D,且PC=PD.
(1)求证:l是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径OA=5,AC=4,求CD的长.
正确答案
见解析。
解析
(1)证明:连接OP,因为AC⊥l,BD⊥l,
所以AC∥BD.
又OA=OB,PC=PD,
所以OP∥BD,从而OP⊥l.
因为P在⊙O上,所以l是⊙O的切线.
(2)
由上知OP=(AC+BD),
所以BD=2OP﹣AC=6,
过点A作AE⊥BD,垂足为E,则BE=BD﹣AC=6﹣4=2,
在Rt△ABE中,AE==4,
∴CD=4.
知识点
18.如图,在四棱锥中,分别为的中点,
(1)求证:平面ABE⊥平面BEF;
(2)设,若平面EBD与平面ABCD所成锐二面角,求的取值范围.
正确答案
见解析。
解析
(1),分别为的中点,
为矩形,
,又
面,面,
平面⊥平面
(2) ,又,
又,所以面,
建系为轴,为轴,为轴, 则,, 平面法向量,平面法向量
,可得.
知识点
22. 在直角坐标系中,圆C的参数方程.以O为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求圆C的极坐标方程;
(2)直线的极坐标方程是,射线与圆C的交点为O、P,与直线的交点为Q,求线段PQ的长.
正确答案
见解析。
解析
(1)圆C的普通方程为,又
所以圆C的极坐标方程为
(2)设,则由 解得
设,则由解得
所以