2015年高考权威预测卷 理科数学 (海南卷)
精品
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单选题 本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

1.已知集合集合,则的子集个数为(   )

A2

B4

C8

D16

正确答案

C

解析

中的元素有3个元素,子集个数有8个。选C。

知识点

导数的乘法与除法法则
1
题型: 单选题
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分值: 5分

3.下列函数中,其图象既是轴对称图形又在区间(0,+∞)上单调递增的是(  )

Ay=

By=﹣x2+1

Cy=2x

Dy=lg|x+1

正确答案

D

解析

对于A,函数y=的图象是中心对称图形,不是轴对称图形,∴不满足题意;

对于B,函数y=﹣x2+1的图象是轴对称图形,在区间(0,+∞)上是单调减函数,∴不满足题意;

对于C,函数y=2x的图象不是轴对称图形,∴不满足题意;

对于D,函数y=lg|x+1|的图象是关于直线x=﹣1对称的图形,且在区间(0,+∞)上是单调增函数,满足题意.

故选:D.

知识点

导数的运算
1
题型: 单选题
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分值: 5分

2.复数,则对应的点所在的象限为(   )

A第一象限

B第二象限

C第三象限

D第四象限

正确答案

D

解析

∵复数z=1﹣i,∴+z==+1﹣i=+1﹣i=对应的点所在的象限为第四象限.故选:D.

知识点

函数的值域
1
题型: 单选题
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分值: 5分

4.阅读如下程序框图,如果输出,那么空白的判断框中应填人的条件是

A

B

C

D

正确答案

A

解析

根据算法的运算,第一次循环后,第二次循环后,第三次循环后这时要输出所以应填

知识点

导数的乘法与除法法则
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

9.已知直线与抛物线交于两点,点,若,则

A

B

C

D0

正确答案

B

解析

,∵,且,∴,解得,故选B.

知识点

函数单调性的性质
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

6.下图是一容量为的样本的重量的频率分布直方图,则由图可估计样本重量的中位数为

A11

B11.5

C12

D12.5

正确答案

C

解析

根据中位数左右两侧的面积相等,也就是概率相等所以中位数为12,第一块的面积为,第二块的面积为0.5所以第三块的面积为0.2,所以中位数为12时左右的面积相等.

知识点

二次函数的应用
1
题型: 单选题
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分值: 5分

7.如图,网格纸上小正方形的边长为,粗线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的体积为

A

B

C

D

正确答案

D

解析

由三视图可知,该多面体是一个四棱锥,且由一个顶点出发的三条侧棱两两垂直,长度都为4, ∴其体积为

知识点

幂函数的概念、解析式、定义域、值域
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

11.若对,不等式恒成立,则实数的最大值是

A

B1

C2

D

正确答案

D

解析

因为,再由可有,令,则,可得,且在,在,故的最小值为,于是,故选D.

知识点

不等式的性质
1
题型: 单选题
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分值: 5分

8.在平面直角坐标系中,若满足,则的最大值是

A2

B8

C14

D16

正确答案

C

解析

根据线性规划的方法可求得最优解为点,此时的值等于14,故选C.

知识点

空间几何体的结构特征
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

5.

A

B

C

D

正确答案

B

解析

它的原函数可以为 =

知识点

任意角的概念
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

10.对定义在上,并且同时满足以下两个条件的函数称为函数:

(i) 对任意的,恒有

(ii) 当时,总有成立.

则下列四个函数中不是函数的个数是

                               ②

              ④

A1

B2

C3

D4

正确答案

A

解析

上,四个函数都满足;(ii)

对于①,,满足;

对于②,

,不满足.

对于③,

       而,∴,∴

,∴,满足;

对于④,

,满足;

故选A.

知识点

函数单调性的性质
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

12.已知直线与圆交于两点,是坐标原点,向量满足,则实数的值是      。

A2

B-2

C0

D±2

正确答案

D

解析

因为向量满足,所以OA⊥OB,又直线x+y=a的斜率为-1,所以直线经过圆与y轴的交点,所以a=±2.

知识点

空间几何体的结构特征
填空题 本大题共4小题,每小题4分,共16分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
|
分值: 4分

14.正四面体的棱长为4,为棱的中点,过作其外接球的截面,则截面面积的最小值为______.

正确答案

解析

将四面体ABCD放置于正方体中,如图所示

可得正方体的外接球就是四面体ABCD的外接球,

∵正四面体ABCD的棱长为4,

∴正方体的棱长为

可得外接球半径R满足2R=解得R=

E为棱BC的中点,过E作其外接球的截面,当截面到球心O的距离最大时,

截面圆的面积达最小值,

此时球心O到截面的距离等于正方体棱长的一半,

可得截面圆的半径为r=

得到截面圆的面积最小值为S= =4π.

故答案为:4π

知识点

空间几何体的结构特征
1
题型:填空题
|
分值: 4分

16.已知数列中,).求数列的前项和=            。

正确答案

解析

).

∴设,则:

由上可知,数列为首项是、公差是1的等差数列.

,即:

,          ①

.         ②

②-①,得

知识点

由数列的前几项求通项
1
题型:填空题
|
分值: 4分

15.已知函数是常数,)的部分图象如图所示.若   ▲   .

正确答案

解析

由函数图像知:A=3,,所以,则;故,又过,解得因为,得,故,则==

知识点

函数的图象与图象变化
1
题型:填空题
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分值: 4分

13.的展开式中常数项为__________.

正确答案

解析

的通项为,令,∴,故展开式中常数项为

知识点

虚数单位i及其性质
简答题(综合题) 本大题共70分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
|
分值: 12分

20.已知函数.

(1)求函数的单调区间;

(2)若函数上是减函数,求实数a的最小值;

(3)若,使成立,求实数a的取值范围.

正确答案

见解析。

解析

由已知函数的定义域均为,且.

(1)函数,

时,;当时,.

所以函数的单调减区间是,增区间是.

(2)因f(x)在上为减函数,故上恒成立.

所以当时,

故当,即时,

所以于是,故a的最小值为

(3)命题“若使成立”等价于

“当时,有”.

由(2),当时,

问题等价于:“当时,有”.

时,由(2),上为减函数,

=,故

时,由于上为增函数,

的值域为,即

(i)若,即恒成立,故上为增函数,

于是,=,不合题意.

(ii)若,即,由的单调性和值域知,

唯一,使,且满足:

时,为减函数;当时,为增函数;

所以,=

所以,,与矛盾,不合题意.

综上,得

知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型:简答题
|
分值: 12分

19.已知椭圆的离心率,点A为椭圆上一点,.

(1)求椭圆C的方程;

(2)设动直线与椭圆C有且只有一个公共点P,且与直线相交于点Q.问:在轴上是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过定点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.

正确答案

(1)

(2)存在定点符合题意.

解析

(1)由可得,,  ①

可得,

中由余弦定理有,,又,可得②,

联立①②得,

所以椭圆方程为.

(2)设点,由,得,     ,化简得,所以

所以.

,得,假设存在点,坐标为,则

因为以为直径的圆恒过点,所以,即,所以有对任意的都成立,

,解得,故存在定点符合题意.

知识点

椭圆的定义及标准方程
1
题型:简答题
|
分值: 12分

17.工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务,每次只派一个人进去,且每个人只派一次,工作时间不超过10分钟,如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出,再派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派,他们各自能完成任务的概率分别,假设互不相等,且假定各人能否完成任务的事件相互独立.

(1)如果按甲最先,乙次之,丙最后的顺序派人,求任务能被完成的概率。若改变三个人被派出的先后顺序,任务能被完成的概率是否发生变化?

(2)若按某指定顺序派人,这三个人各自能完成任务的概率依次为,其中的一个排列,求所需派出人员数目的分布列和均值(数字期望)

(3)假定,试分析以怎样的先后顺序派出人员,可使所需派出的人员数目的均值(数字期望)达到最小.

正确答案

见解析。

解析

(1)无论以怎样的顺序派出人员,任务不能被完成的概率都是,所以任务能被完成的概率与三个被派出的先后顺序无关,并等于   

(2)当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为时,随机变量X的分布列为

    所需派出的人员数目的均值(数学期望)EX是

(3)(方法一)由(II)的结论知,当以甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时,   

根据常理,优先派出完成任务概率大的人,可减少所需派出的人员数目的均值.

下面证明:对于的任意排列,都有

……………………(*)

事实上,

即(*)成立.

(方法二)(i)可将(2)中所求的EX改写为若交换前两人的派出顺序,则变为.由此可见,当时,交换前两人的派出顺序可减小均值.

(ii)也可将(2)中所求的EX改写为,或交换后两人的派出顺序,则变为.由此可见,若保持第一个派出的人选不变,当时,交换后两人的派出顺序也可减小均值.

序综合(i)(ii)可知,当时,EX达到最小. 即完成任务概率大的人优先派出,可减小所需派出人员数目的均值,这一结论是合乎常理的.

知识点

随机事件的关系
1
题型:简答题
|
分值: 12分

21.如图,设AB为⊙O的任一条不与直线l垂直的直径,P是⊙O与l的公共点,AC⊥l,BD⊥l,垂足分别为C,D,且PC=PD.

(1)求证:l是⊙O的切线;

(2)若⊙O的半径OA=5,AC=4,求CD的长.

正确答案

见解析。

解析

(1)证明:连接OP,因为AC⊥l,BD⊥l,

所以AC∥BD.

又OA=OB,PC=PD,

所以OP∥BD,从而OP⊥l.

因为P在⊙O上,所以l是⊙O的切线.

(2)

由上知OP=(AC+BD),

所以BD=2OP﹣AC=6,

过点A作AE⊥BD,垂足为E,则BE=BD﹣AC=6﹣4=2,

在Rt△ABE中,AE==4

∴CD=4

知识点

空间几何体的结构特征
1
题型:简答题
|
分值: 12分

18.如图,在四棱锥中,分别为的中点,

(1)求证:平面ABE⊥平面BEF;

(2)设,若平面EBD与平面ABCD所成锐二面角,求的取值范围.

正确答案

见解析。

解析

(1)分别为的中点,

为矩形,

,又

,,

平面⊥平面

(2) ,又

,所以,

建系轴,轴,轴, 则, 平面法向量,平面法向量

              ,可得.

知识点

空间几何体的结构特征
1
题型:简答题
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分值: 10分

22. 在直角坐标系中,圆C的参数方程.以O为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求圆C的极坐标方程;

(2)直线的极坐标方程是,射线与圆C的交点为O、P,与直线的交点为Q,求线段PQ的长.

正确答案

见解析。

解析

(1)圆C的普通方程为,又

所以圆C的极坐标方程为

(2)设,则由       解得

,则由解得

所以

知识点

空间几何体的结构特征

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