• 理科数学 长沙市2017年高三第二次质量检测
单选题 本大题共12小题,每小题5.分,共60分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1

1.已知集合,则(    )

A

B

C

D

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1

2.已知是虚数单位),则等于(    )

A-1

B1

C0

D

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1

3.设变量满足约束条件,则的取值范围是(    )

A

B

C

D

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1

4.等比数列中,,函数,则(   )

A

B

C

D

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1

7.执行如图所示的程序框图,若输出的值为8,则判断框内可填入的条件是(     )

A

B

C

D

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1

6.已知边长为的菱形中,,沿对角线折成二面角的四面体,则四面体的外接球的表面积为(     )

A

B

C

D

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1

5.已知函数的最小正周期为,且其图像向左平移个单位后得到函数的图象,则函数的图象(    )

A关于直线对称

B关于直线对称

C关于点 对称

D关于点 对称

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1

8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(    )

A

B

C

D

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1

9.已知,若,则的值为(      )

A0

B-1

C1

D

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1

10.一个不透明的袋子装有4个完全相同的小球,球上分别标有数字为0,1,2,2,现甲从中摸出一个球后便放回,乙再从中摸出一个球,若摸出的球上数字大即获胜(若数字相同则为平局),则在甲获胜的条件下,乙摸1号球的概率为(    )

A

B

C

D

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1

12.数列满足,则的整数部分的所有可能值构成的集合是(    )

A

B

C

D

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1

11.已知直线与曲线相交于,且曲线处的切线平行,则实数的值为(    )

A4

B4或-3

C-3或-1

D-3

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简答题(综合题) 本大题共108分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1

选修4-5:不等式选讲

13.设函数,若关于的不等式上恒成立,求实数的最大值;

14.已知正数满足,求的最小值.

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1

已知中,.

20.若,求的大小;

21.若,求的面积.

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1

选修4-5:不等式选讲

如果是实数,且为大于1的自然数

19.用数学归纳法证明:.

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1

长郡中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系,对该校200名高三学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查,如下表:(平均每天锻炼的时间单位:分钟)

将学生日均课外体育运动时间在上的学生评价为“课外体育达标”.

22.请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表,并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关?

23.将上述调查所得到的频率视为概率,现在从该校高三学生中,抽取3名学生,记被抽取的3名学生中的“课外体育达标”学生人数为,若每次抽取的结果是相互独立的,求的数学期望和方差.

参考公式:,其中.

参考数据:

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1

在四棱锥中,设底面是边长为1的正方形,.

24.求证:

25.过且与直线垂直的平面与交于点,当三棱锥的体积最大时,求二面角的大小.

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1

已知点为圆的圆心,是圆上的动点,点在圆的半径上,且有点上的点,满足.

26.当点在圆上运动时,求点的轨迹方程;

27.若斜率为的直线与圆相切,直线与(1)中所求点的轨迹交于不同的两点是坐标原点,且时,求的取值范围.

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1

已知函数.

28.当时,求的单调性;

29.若,且方程有两个不相等的实数根,求证:.

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1

选修4-1:几何证明选讲

如图,四边形外接于圆,是圆周角的角平分线,过点的切线与延长线交于点于点.

30.求证:

31.若是圆的直径,,求的长.

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1

选修4-4:坐标系与参数方程

以直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知点的直角坐标为,点的极坐标为,若直线过点,且倾斜角为,圆为圆心,3为半径.

32.求直线的参数方程和圆的极坐标方程;

33.设直线与圆相交于两点,求.

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填空题 本大题共4小题,每小题5.分,共20分。把答案填写在题中横线上。
1

15.已知,则二项式的展开式中的系数为          .

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1

16.已知等差数列的前项和满足,数列的前2016项的和为          .

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1

17.已知的中线,,则的最小值是          .

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1

18.已知函数,若对任意的,恒有成立,则实数的取值范围是          .

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