- 真题试卷
- 模拟试卷
- 预测试卷
1.已知集合,
,则
( )
正确答案
解析
试题分析:由题意,
,所以
.故选C.
考查方向
解题思路
求出A中不等式的解集,求出B中函数的定义域,找出两集合的交集即可.
易错点
将B的元素考虑为函数的值域.
3.设变量满足约束条件
,则
的取值范围是( )
正确答案
解析
试题分析:作出可行域,如图内部(含边界),
,其中
表示点
与点
连线的斜率,
,
,即
,所以
.故选D.
考查方向
解题思路
依据目标函数的几何意义,利用数形结合即可解答本题.
易错点
可行域出错.
4.等比数列中,
,函数
,则
( )
正确答案
解析
,所以
.故选C.
考查方向
解题思路
利用导数法则求导之后,将0代入即可.
易错点
求导出错.
6.已知边长为的菱形
中,
,沿对角线
折成二面角
为
的四面体
,则四面体的外接球的表面积为( )
正确答案
解析
试题分析:如图1,取中点
,连接
,由已知可得平面
平面
,则外接球球心
在面
内,如图2,
,
垂直平分
,其中
(实际上
是
的外心),
,分别解
和
得
,外接球的表面积为
.故选D.
考查方向
解题思路
在长方体或正方体中其对角线就是外接球的直径,因此本题实质就是求长方体的对角线长,从而只要求得三棱长即可.对其他的组合体的外接球要注意应用公式求解,对一个多面体来讲,其外接球球心
在某个面的上射影一定是这个面上多边形的外心,此结论对解决外接球问题作用很大.
易错点
二面角概念理解不清.
8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
正确答案
解析
试题分析:由三视图知该几何体如图,可分为两个三棱锥
和
,因此
.故选B.
考查方向
解题思路
与棱锥相关的三视还原问题,可以放进正方体或者长方体中进行切割,确定几何体之后,根据几何体的构成,利用公式求体积.
易错点
三视图的还原注意线的虚实.
9.已知,若
,则
的值为( )
正确答案
解析
试题分析:,
,所以
,由
得
,令
得
,所以
.故选B.
考查方向
解题思路
利用微积分基本定理求出,再根据二项式定理赋值即可.
易错点
微积分基本定理的应用.
10.一个不透明的袋子装有4个完全相同的小球,球上分别标有数字为0,1,2,2,现甲从中摸出一个球后便放回,乙再从中摸出一个球,若摸出的球上数字大即获胜(若数字相同则为平局),则在甲获胜的条件下,乙摸1号球的概率为( )
正确答案
解析
试题分析:甲摸的球数字在前,乙摸的球数字在后,则甲胜的情况有10,20,21,20,21共5种,其中乙摸1号球的有2种,因此概率为.
考查方向
解题思路
本题考察古典概型,也可以说考察条件概率.确定出基本事件,根据概率公式即可求解.
易错点
概率模型中基本事件的确定.
2.已知(
是虚数单位),则
等于( )
正确答案
解析
试题分析:,则
,所以
.故选B.
考查方向
解题思路
利用复数的运算法则即可求出.
易错点
计算错误,
5.已知函数的最小正周期为
,且其图像向左平移
个单位后得到函数
的图象,则函数
的图象( )
正确答案
解析
试题分析:由题意,
,把
向右平移
个单位得
,
,
,因此函数图象关于点
对称,故选C.
考查方向
解题思路
根据三角函数周期公式求出,然后利用三角函数图像变换法则确定
,由于正弦函数的图像关于
对称,结合选项可以确定
.
易错点
周期变换和平移变换先后顺序对值的影响,对三角函数对称性的理解.
7.执行如图所示的程序框图,若输出的值为8,则判断框内可填入的条件是( )
正确答案
解析
试题分析:由程序框图,输出时,但
,因此判断框内可填入的条件是
,故选A.
考查方向
解题思路
按照循环结构中流程线依次执行,根据值确定循环终止条件.
易错点
循环结构中循环次数的确定.
11.已知直线与曲线
相交于
,且曲线
在
处的切线平行,则实数
的值为( )
正确答案
解析
试题分析:设,由
得
,由题意
,因为
,则有
.把
代入
得
,由题意
都是此方程的解,即
①,
,化简为
②,把①代入②并化简得
,即
,
,当
时,①②两式相同,说明
,舍去.所以
.故选B.
考查方向
解题思路
本题考查了导数的几何意义,设切点坐标为,第一由这两点处切线平行可得出
,第二,
两点是直线与函数图象的交点,因此有
是联立后的方程
的解,下面是关键的一步,由(1)知
都是这个方程的解,因此可代入后两式比较从而得出只含有
的方程,可解出
值,
代入检验是我们都容易忘记的,是易错点,解题时要注意.
易错点
对计算出的值的检验.
12.数列满足
,
且
,则
的整数部分的所有可能值构成的集合是( )
正确答案
解析
试题分析:,
,
,因此整数的可能值已有0,1,2,又由
得
,所以
,由此可得
,又由
知当
时,必有
,而
,因此对所有正整数
,
,因此
,所以
的整数部分只可能为0,1,2,故选A.
考查方向
解题思路
解本题时,从选择支的情况看可先计算一些特殊值如,从而发现可取的整数已经为0,1,2,再计算数字比较复杂了,因此要对和
进行估算,最好能求和,从已知出发正好有
,从而求出和
,这里要注意还要证明
才能得出结论,否则易出错.
易错点
对和进行估算,证明
.
15.已知,则二项式
的展开式中
的系数为 .
正确答案
-6480.
解析
试题分析:,
展开式通项为
,因此
的系数为
.
考查方向
解题思路
求定积分得到,再利用二项式定理求得展开式中
,即
的系数.
易错点
展开式通项的确定.
16.已知等差数列的前
项和
满足
,数列
的前2016项的和为 .
正确答案
解析
试题分析:由题意得,则
,
,
,所以
.
考查方向
解题思路
根据条件确定等差数列的首项和公差,再利用裂项相消法即可.
易错点
裂项相消法.
18.已知函数,若对任意的
,
,恒有
成立,则实数
的取值范围是 .
正确答案
解析
试题分析:,设
,由
知
,
的对称轴为
,因此
时,
,即
,故
在
上递增,故
,
,因此不等式
恒成立,即
,即
,所以
.
考查方向
解题思路
本题考查不等式恒成立问题,解题时对存在量词与全称量词的处理是转化的关键,如“对任意的,恒有
成立”,设
的最大值为
,最小值为
,则命题转化为
,这样变量的个数就减少为两个,接着可用分离参数法,再转化为函数的最值.
易错点
不等式恒成立问题,解题时对存在量词与全称量词的转化.
17.已知是
的中线,
,
,则
的最小值是 .
正确答案
1
解析
试题分析:由题意,记
,则
,
,
,显然
(当且仅当
时取等号),所以
,即
最小值为1.
考查方向
解题思路
本题考查向量的数量积,向量的线性运算,首先由向量的线性运算知识得由中线知题中都等于
,这是关键,否则此题将无处下手,因此我们应该熟记数学上的一些结论,其次向量的模转化为向量的数量积,即
,计算后结合基本不等式可立即得出结论.
易错点
向量问题与基本不等式的结合,转化过程.
选修4-5:不等式选讲
如果是实数,且
,
,
为大于1的自然数
19.用数学归纳法证明:.
正确答案
证明见解析.
解析
试题分析:首先证明当时,不等式成立,再假设
时,不等式成立;在假设的基础上证明当
时不等式也成立,最后得出结论不等式成立,要注意
两种情况下不等式的变化.
试题解析:
当时,
,不等式成立,
假设当时不等式成立,即
,
则当时,
.
即当时,不等式也成立.
综上,.
考查方向
解题思路
本题是利用数学归纳法证明贝努利不等式.首先验证当时,不等式成立,再假设
时,不等式成立;在假设的基础上证明当
时不等式也成立,最后得出结论不等式成立.
易错点
时,不等式的放缩.
选修4-5:不等式选讲
13.设函数,若关于
的不等式
在
上恒成立,求实数
的最大值;
14.已知正数满足
,求
的最小值.
正确答案
;
解析
试题分析:绝对值不等式恒成立,可先由绝对值的性质求得的最小值为
,然后只要解不等式
即可得
的最大值;
试题解析:由绝对值的性质得,
所以的最小值为
,从而
,解得
,
因此的最大值为
.
考查方向
解题思路
根据绝对值不等式性质求出函数的最小值,恒成立,转化为
,得到关于
的绝对值不等式,求解即可.
易错点
恒成立问题的转化,柯西不等式中等号成立条件的判定.
正确答案
.
解析
观察已知与待求值式,用柯西不等式可得,关键是凑出柯西不等式的形式,应用柯西不等式即得.
由于,所以
当且仅当,即
时,等号成立.
∴的最小值为
.
考查方向
解题思路
观察发现已知条件与所求代数式的特点,发现应用柯西不等式就可求出最小值,切记等号成立条件.
易错点
恒成立问题的转化,柯西不等式中等号成立条件的判定.
已知中,
,
,
.
20.若,求
的大小;
21.若,求
的面积.
正确答案
解析
由余弦定理可知,
考查方向
解题思路
已知两边及夹角,求第三边,直接用余弦定理可得;
易错点
正余弦定理及两角和与差的余弦公式的应用.
正确答案
42.
解析
依题意,,
,
所以.
考查方向
解题思路
从已知发现只要求出的长就可用公式
求得面积,在
中,可先求得
,然后用正弦定理求得
,从而得面积.
易错点
正余弦定理及两角和与差的余弦公式的应用.
长郡中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系,对该校200名高三学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查,如下表:(平均每天锻炼的时间单位:分钟)
将学生日均课外体育运动时间在上的学生评价为“课外体育达标”.
22.请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表,并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关?
23.将上述调查所得到的频率视为概率,现在从该校高三学生中,抽取3名学生,记被抽取的3名学生中的“课外体育达标”学生人数为,若每次抽取的结果是相互独立的,求
的数学期望和方差.
参考公式:,其中
.
参考数据:
正确答案
列联表见解析,不能判断“课外体育达标”与性别有关;
解析
所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关.
考查方向
解题思路
从所给数据知体育达标有50人,不达标有150人,再根据列联表中数据可填写表格,再由计算公式计算出
即知结论;
易错点
的计算以及依据
值对结论的界定.
正确答案
期望为,方差为
.
解析
由表中数据可得,抽到“课外体育达标”学生的频率为0.25,将频率视为概率,
∴~
,
∴,
.
考查方向
解题思路
从条件知随机变量~
,由二项公布的期望公式及方差公式易得期望与方差.
易错点
随机变量服从二项分布的判定,期望计算
已知点为圆
的圆心,
是圆上的动点,点
在圆的半径
上,且有点
和
上的点
,满足
,
.
26.当点在圆上运动时,求点
的轨迹方程;
27.若斜率为的直线
与圆
相切,直线
与(1)中所求点
的轨迹交于不同的两点
,
,
是坐标原点,且
时,求
的取值范围.
正确答案
解析
由题意知:是线段
的垂直平分线,
所以
所以点的轨迹是以点
为焦点,焦距为2,长轴为
的椭圆,
故点的轨迹方程是
.
考查方向
解题思路
从条件,
知
是线段
的垂直平分线,从而得
,因此以点
的轨迹是以点
为焦点的椭圆,由此易得轨迹方程;
易错点
忽略焦点位置的判定.
正确答案
或
.
解析
设直线,
直线与圆
相切
联立
,
,
所以
或
为所求.
考查方向
解题思路
直线与椭圆相交问题,首先设直线方程为,由它与圆相切可得
,设直线与椭圆的交点为
,把直线方程与椭圆方程联立后消元整理可得
诉一元二次方程,从而有
,同时注意
,接着计算
,代入刚才的结论得到用
表示的
,代入已知不等式可得
的范围.
易错点
圆锥曲线的问题计算量大,需要平时训练计算能力.
已知函数.
28.当时,求
的单调性;
29.若,且方程
有两个不相等的实数根
,求证:
.
正确答案
(1)单调递增;(2)证明见解析.
解析
,设
,则
,
∴当时,
,∴
,∴
,
∴在
上单调递增.
考查方向
解题思路
(1)判断单调性,只要求得导数,然后判断
的正负即得,本题中
,为了判断
的正负,还要对
进行研究,同样求得导数
,判断出在
时,从而
,因此可得
的单调性;
易错点
忽略函数的定义域.
正确答案
单调递增
解析
,∴
,
∴,∴
在
上单调递增,
当时,
,
,
∴必存在,使得
,即
,
∴在
上单调递减,在
上单调递增,
又,
,设
,则
,
∴在
上单调递减,在
上单调递增,
又,不妨设
,则
,
,
由(1)知,
∴
∴,∴
.
考查方向
解题思路
(1)判断单调性,只要求得导数,然后判断
的正负即得,本题中
,为了判断
的正负,还要对
进行研究,同样求得导数
,判断出在
时,从而
,因此可得
的单调性;(2)对方程
,首先考虑
,求出导数
,再求导数
,通过研究
的单调性和在
上的函数值符号可确定
在
上有唯一的零点
,这样
在
上递减,在
上递增,类似可得
在
上的单调性和极值点
,利用
可把
和
之间建立一个不等关系(注意
),从而证得结论.
易错点
.
选修4-1:几何证明选讲
如图,四边形外接于圆,
是圆周角
的角平分线,过点
的切线与
延长线交于点
,
交
于点
.
30.求证:;
31.若是圆的直径,
,求
的长.
正确答案
证明见解析
考查方向
解题思路
要证两直线平行可证同位角相等或内错角相等,图中是弦切角,
是圆周角,利用
是角平分线,易证这两个内错角相等,从而两直线平行;
易错点
几何图形中根据已知条件,对边角关系的转化.
正确答案
2
解析
由(1)知,,
,
∵是圆的直径,∴
,∴
,
∴~
,∴
.
∵,由(1)知,
,∴
,∴
,
∴,则
,∴
.
∴在中,
,∴
,∴
,
∴在中,
,所以
.
考查方向
解题思路
观察已知两线段所在三角形,可得它们相似,从而可求得
,这样四边形
中的角就可求得,从而可得
的长..
易错点
几何图形中根据已知条件,对边角关系的转化.
选修4-4:坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知点
的直角坐标为
,点
的极坐标为
,若直线
过点
,且倾斜角为
,圆
以
为圆心,3为半径.
32.求直线的参数方程和圆
的极坐标方程;
33.设直线与圆
相交于
两点,求
.
正确答案
直线的参数方程为
(
为参数),圆的极坐标方程为
解析
直线的参数方程为
(
为参数),
圆的极坐标方程为
.
考查方向
解题思路
. (1)由直线参数方程的标准形式可直接写出的参数方程,由圆的极坐标方程的意义可直接写出圆
的极坐标方程;
易错点
直线参数方程的建立,参数方程与普通方程的互化过程对参数范围的考虑.
正确答案
7
解析
圆的直角坐标方程为
,
把代入
,得
,
∴,设点
对应的参数分别为
,
则,
,∴
.
考查方向
解题思路
把圆的极坐标方程化为直角坐标方程,再把直线的参数方程代入,利用参数方程的几何意义可得,
对应的参数分别为
,则
,
.
易错点
直线参数方程的建立,参数方程与普通方程的互化.
在四棱锥中,设底面
是边长为1的正方形,
面
.
24.求证:;
25.过且与直线
垂直的平面与
交于点
,当三棱锥
的体积最大时,求二面角
的大小.
正确答案
证明见解析;
解析
∵四边形是正方形,∴
,
平面
,
由此推出,
又,
∴平面
,而
平面
,所以推出
.
考查方向
解题思路
要证线线垂直,可利用线面垂直的性质定理,即先证线面垂直,题中由正方形有,由已知线面垂直有
,从而可证
与平面
垂直,从而得证题设结论;(2)
求二面角,一般建立空间直角坐标系,用空间向量法求解,题中有两两垂直,以他们为坐标轴建立空间直角坐标系,由三棱锥
体积最大时,求得
的长,然后写出各点坐标,同时计算出
点坐标,求得平面
和平面
的法向量,求出法向量夹角,可观察出此二面角为锐角,从而得二面角.
易错点
线线垂直判定定理
在用这种方法求解时,有一个易错的地方就是不判断二面角是锐角不是钝角,就想当然地认为法向量的夹角就是等于二面角.
正确答案
.
解析
设,三棱锥
的底面积为定值,求得它的高
,
当,即
时,
最大值为
,三棱锥
的体积达到最大值为
.
以点为坐标原点,
为
轴,
为
轴,
为
轴建立空间直角坐标系,则
,令
,
,
,得
,∴
,
设是平面
的一个法向量,
,
,
则,得
.
又是平面
的一个法向量,
∴,∴二面角
为
.
考查方向
解题思路
求二面角,一般建立空间直角坐标系,用空间向量法求解,题中有两两垂直,以他们为坐标轴建立空间直角坐标系,由三棱锥
体积最大时,求得
的长,然后写出各点坐标,同时计算出
点坐标,求得平面
和平面
的法向量,求出法向量夹角,可观察出此二面角为锐角,从而得二面角.
易错点
在用这种方法求解时,有一个易错的地方就是不判断二面角是锐角不是钝角,就想当然地认为法向量的夹角就是等于二面角.