• 理科数学 南通市2012年高三试卷
填空题 本大题共14小题,每小题5分,共70分。把答案填写在题中横线上。
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1.已知集合,则(    )

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2.已知,命题“若,则”的否命题是(         )

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3.若的值为(     )

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4.函数单调递减区间是(    )

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5.已知|a|=,|b|=3,ab的夹角为45°,若向量(λa+ b)⊥(ab),则实数λ的值为(    )

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6.设函数是定义在R上的奇函数,且对任意都有,当时,,则=(    )

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8.已知命题上有意义,命题:函数的定义域为。如果有且仅有一个正确,则的取值范围(    )

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9.设函数的图象为曲线,动点在曲线上,过且平行于轴的直线交曲线于点可以重合),设线段的长为,则函数单调递增区间(    )

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10.当时,恒成立,则实数a的取值范围是(    )

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11.已知存在实数,满足对任意的实数,直线都不是曲线的切线,则实数的取值范围是(    )

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12.设x∈,则函数y=的最小值为(     )

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13.设实数,若仅有一个常数c使得对于任意的,都有满足方程,这时,实数的取值的集合为(    )

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14.已知函数,把函数g(x)=f(x)-x+1的零点按从小到大的顺序排列成一个数列,则该数列的前n项的和,则=(     )

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7.设是正项数列,其前项和满足:,则=(    )

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简答题(综合题) 本大题共130分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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15.设向量=(4cosα,sinα),=(sinβ,4cosβ),=(cosβ,-4sinβ)。

(1)若垂直,求tan(α+β)的值;

(2)求的最大值;

(3)若tanαtanβ=16,求证:

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16.已知函数,其中

(1)求函数的解析式,并判断其奇偶性和单调性;

(2)对于函数,当时,,求实数m的取值范围;

(3)当时,的值恒为负数,求函数a的取值范围。

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17.设数列的前项和为,且满足…。

(Ⅰ)求数列的通项公式;

(Ⅱ)若数列满足,且,求数列的通项公式;

(III)设,求数列的前项和

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18.某广告公司为2010年上海世博会设计了一种霓虹灯,样式如图中实线部分所示。其上部分是以AB为直径的半圆,点O为圆心,下部分是以AB为斜边的等腰直角三角形,DE、DF是两根支杆,其中AB=2 m,∠EOA=∠FOB=2x(0<x<)。现在弧EF、线段DE与线段DF上装彩灯,在弧AE、弧BF、线段AD与线段BD上装节能灯。若每种灯的“心悦效果”均与相应的线段或弧的长度成正比,且彩灯的比例系数为2k,节能灯的比例系数为k(k>0),假定该霓虹灯整体的“心悦效果”y是所有灯“心悦效果”的和。

(1) 试将y表示为x的函数;

(2) 试确定当x取何值时,该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳?

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19.已知函数)的图象为曲线

(1)求曲线上任意一点处的切线的斜率的取值范围;

(2)若曲线上存在两点处的切线互相垂直,求其中一条切线与曲线的切点的横坐标的取值范围;

(3)试问:是否存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点?如果存在,求出符合条件的所有直线方程;若不存在,说明理由。

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20.已知数列满足:

(1)若,求数列的通项公式;

(2)若,且

①记,求证:数列为等差数列;

②若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次,求首项应满足的条件。

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21.自圆O外一点P引圆的一条切线PA,切点为A,M为PA的中点,过点M引圆O的割线交该圆于B、C两点,且∠BMP=100°,∠BPC=40°,则∠MPB的大小(     )。    

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22. 如图,⊙O是等腰三角形ABC的外接圆,AB=AC,延长BC到点D,使CD=AC,连接AD交⊙O于点E,连接BE与AC交于点F。

(1)判断BE是否平分∠ABC,并说明理由。   

(2)若AE=6,BE=8,求EF的长。

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23. 某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为6个部分(如图所示),现要栽种4种不同颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,不同的栽种方法有______种。

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24.已知展开式的各项依次记为。设

(1)若的系数依次成等差数列,求的值;

(2)求证:对任意,恒有

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