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理科数学 哈尔滨市2017年高三第二次月考
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理科数学 热门试卷

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试卷目录
1、单选题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2、填空题
13
14
15
16
3、简答题
17
18
19
20
21
22
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单选题 本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

1.设全集，集合，，则等于(  )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

化简集合A=，B=

∴=    选：D

考查方向

本题主要考查了交集、补集的运算求法及定义域，值域的求解

解题思路

先用二次函数值域化简集合A，用对数函数定义域化简B，再求

易错点

集合的化简

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

4.已知，则等于(   )

A

B7

C

D

正确答案

A

解析

，则，

∴=，

选A.

考查方向

本题主要考查了同角三角函数关系式，两角和与差的正切公式

解题思路

先根据sinα的值求出tanα，然后根据两角和与差的正切公式得到答案

易错点

同角三角函数关系式，两角和与差的正切公式

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

8.若，则(   )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

，由指对函数的图象可知：a＞1，0＜b＜1，c＜0，

选A

考查方向

本题主要考查了指、对函数的图象与性质

解题思路

利用指、对函数的图象与性质知a大于1，b在0与1之间，c小于0

易错点

指、对函数的图象

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

10.在钝角中，角A,B,C所对的边分别为，且满足，，则的取值范围是(    )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

∵b2+c2﹣a2=bc，a=，由余弦定理可得cosA==，

因为C是三角形内角，∴A=60°，sinA=.

∵=AB•BC•cos（π﹣B）=﹣AB•BC•cosB＞0，∴cosB＜0，∴B为钝角，B是钝角.

由正弦定理可得b=•sinB=sinB，同理c=sinC.

b+c=sinB+sinC=sinB+sin（ ﹣B）=sinB+cosB=sin（B+），

∵＜B＜，∴＜B+＜，∴sin（B+）∈（，），∴sin（B+）∈（，），

∴b+c的取值范围为：（，）.选：C.

考查方向

本题主要考查了余弦定理与正弦定理的应用，三角函数的性质

解题思路

由b2+c2﹣a2=bc，利用余弦定理中求得cosA的值，求得A，再根据正弦定理得b=sinB，c=sinC，代入利用辅助角公式，得到答案

易错点

余弦定理与正弦定理的应用

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

2.已知函数在是单调函数，则实数的取值范围是(  )

A

B

CD.

正确答案

C

解析

求导得到f′（x）=﹣3x2+2ax﹣1，

因为函数在（﹣∞，+∞）上是单调函数，所以f′（x）=﹣3x2+2ax﹣1≤0在（﹣∞，+∞）恒成立，

则△=，

选C.

考查方向

本题主要考查了利用导函数的正负确定函数的单调区间及函数恒成立的问题

解题思路

求出f（x）的导函数，因为函数在R上为单调函数，所以导函数小于等于0恒成立，将问题转化为一元二次不等式恒成立，求出不等式的解集即可得到实数a的取值范围.

易错点

利用导函数的正负确定函数的单调区间

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

3.函数的图像大致是( )

AA

BB

CC

DD

正确答案

B

解析

当x＞1时，f（x）的图象为：

∵当x＜1时，f（x）的图象为：

选B.

考查方向

本题主要考查了对数函数的图象与性质

解题思路

讨论x﹣1的符号，转化为分段函数，根据对数函数图象得到答案

易错点

绝对值符号的讨论

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

5.已知中，，则B等于(   )

A

B或

C

D或

正确答案

D

解析

由正弦定理，可得 =，

解得sinB=. 再由b＞a，得B＞A，∴B=60°或120°，

选D.

考查方向

本题主要考查了正弦定理的应用及解的讨论

解题思路

利用正弦定理求得sinB的值，再根据及大边对大角判断得B的值

易错点

正弦定理的应用及解的讨论

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

6.要得到函数的导函数的图像，只需将的图像(   )

A向右平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的（横坐标不变）

B向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）

C向右平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的（横坐标不变）

D向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）

正确答案

D

解析

∵=，

则要得到导函数f′（x）的图象，只需将f（x）的图象向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）而得到.

选D.

考查方向

本题主要考查了简单的复合函数的导数，三角函数的图象平移

解题思路

求出函数f（x）的导函数，然后变形，由函数图象的平移得答案.

易错点

复合函数的导数，三角函数的图象平移

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

7.已知在平行四边形ABCD中，点M、N分别是BC、CD的中点，如果，那么向量等于(  )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

∵=，=，且M、N分别是BC、CD的中点，

∴=.

选B.

考查方向

本题主要考查了平面向量的基本定理，向量加法的三角形法则

解题思路

利用向量加法的三角形法则得，转化为及

易错点

平面向量的基本定理，向量加法的三角形法则

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

9. 如果，那么以A,B,C为内角的是(  )

A锐角三角形

B直角三角形

C钝角三角形

D任意三角形

正确答案

A

解析

∵tanA+tanB=tan（A+B）（1﹣tanAtanB）

∴tanA+tanB+tanC=tan（A+B）（1﹣tanAtanB）+tanC=tanAtanBtanC＞0，

∴A，B，C是△ABC的内角，故内角都是锐角

选A.

考查方向

本题主要考查了两角和的正切公式以及三角函数的符号

解题思路

利用正切的和角公式化简整理得tanA+tanB+tanC= tanAtanBtanC，判断符号

易错点

两角和的正切公式以及三角函数的符号

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

11.已知函数的周期为2，当时，那么函数与函数的图像的交点共有(    )

A10个

B9个

C8个

D1个

正确答案

A

解析

∵函数y=f（x）的周期为2，在[﹣1，0]上为减函数，在[0，1]上为增函数

根据周期性作出函数f(x)的图象

再作函数y=|lgx|，且当x=1时y=0； x=10时y=1，

再结合两个函数的草图，可得两图象的交点一共有10个，

选A.

考查方向

本题主要考查了基本初等函数的图象作法，以及函数图象的周期性

解题思路

根据周期性和对数函数的性质，作出两个函数图象，判断交点的个数

易错点

基本初等函数的图象作法

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

12.已知.现有下列命题：①；②；③. 其中的所有正确命题的序号是（    ）

A①②③

B②③

C①③

D①②

正确答案

A

解析

∵f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1），

∴f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣f（x），即①正确；

f（）=ln（1+）﹣ln（1﹣）=ln（）﹣ln（）=ln（）=ln[（）2]=2ln（）=2[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]=2f（x），故②正确；

当x∈[0，1）时，|f（x）|≥2|x|⇔f（x）﹣2x≥0，令g（x）=f（x）﹣2x=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）﹣2x（x∈[0，1））

∵g′（x）=+﹣2=≥0，∴g（x）在[0，1）单调递增，g（x）=f（x）﹣2x≥g（0）=0，

又f（x）≥2x，又f（x）与y=2x为奇函数，所以|f（x）|≥2|x|成立，故③正确；

故正确的命题有①②③，

选A.

考查方向

本题主要考查了函数的解析式，对数的运算性质

解题思路

根据已知函数的解析式，结合对数的运算性质，分别判断三个结论的真假

易错点

对数的运算性质

填空题 本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在题中横线上。
1
题型：填空题
|
分值: 5分

13.若，则的值是____________。

正确答案

2

解析

=（x2+lnx） =a2+lna﹣（1+ln1）=3+ln2，a＞1，

∴a2+lna=4+ln2=22+ln2，解得a=2.

考查方向

本题主要考查了定积分的计算

解题思路

找出2x+的原函数，然后根据定积分运算法则计算

易错点

找到被积函数的原函数

1
题型：填空题
|
分值: 5分

14.如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度（单位：km）：AB=5，BC=8，CD=3，DA=5，且和互补，则AC的长为km_____________。

正确答案

7

解析

由余弦定理得AC2=AB2+BC2﹣2AB×BCcosB=89﹣80cosB，

在△ACD中，由余弦定理得AC2=CD2+AD2﹣2AD×CDcosD=34﹣30cosD，

∴89﹣80cosB=34﹣30cosD，

∵A+C=180°，∴cosB=﹣cosD，   ∴cosD=﹣，

∴AC2=34﹣30×（﹣）=49.   ∴AC=7.

考查方向

本题主要考查了余弦定理的应用

解题思路

分别在△ABC和△ACD中使用余弦定理解出AC，列方程解出cosD，得出AC

易错点

余弦定理的应用

1
题型：填空题
|
分值: 5分

15.规定运算：，例如：，则函数的值域为_________。

正确答案

解析

f（x）=sinx*cosx=

由正余弦函数的图象可知函数f（x）的值域为：[﹣1，]

考查方向

本题主要考查了三角函数的图象和性质

解题思路

先根据题意确定函数f（x）的解析式，再由正余弦函数的图象求出答案

易错点

三角函数的图象和性质

1
题型：填空题
|
分值: 5分

16.关于函数，有下列命题：

①若，则必是的整数倍；

②的表达式可改写为；

③的图象关于点对称；

④的图象关于直线对称.其中正确的是_________________。

正确答案

②③

解析

①函数f（x）=4sin 的最小正周期T=π，

由相邻两个零点的横坐标间的距离是 =知①错.

②f（x）=4sin（2x+）=4cos（ ﹣2x﹣）=4cos（2x+﹣）=4cos（2x﹣）②正确

③f（x）=4sin（2x+）的对称点满足（x，0）

2x+=kπ，x=（ ）    k∈Z， （﹣，0）满足条件    ③正确

④f（x）=4sin（2x+）的对称直线满足

2x+=（k+）π；x=（k+）    x=﹣不满足    ④错误

考查方向

本题主要考查了三角函数的周期性，诱导公式，以及正弦函数的对称性

解题思路

根据函数求出最小正周期，可知①错；利用诱导公式化简②，判断正误；求出函数的对称中心判定③；对称直线方程判断④的正误；即可得到解答

易错点

三角函数的周期性，诱导公式，以及正弦函数的对称性

简答题（综合题） 本大题共70分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型：简答题
|
分值: 12分

已知函数.

19.当时，求的极值；

20.若在区间上单调递增，求的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

极大值为，极小值为

解析

定义域为，导函数

当，

函数的极大值为，极小值为

考查方向

本题考查了利用导数研究函数的极值问题

解题思路

求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出极值

易错点

利用导数研究函数的极值

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

，即在区间恒成立，则, 解得

考查方向

本题考查了利用导数研究函数的单调性

解题思路

将函数在区间上递增转化为 在区间上恒成立

易错点

用导数研究函数的单调性

1
题型：简答题
|
分值: 10分

已知函数的定义域集合是A,函数的定义域集合是B.

17.求集合A、B；

18.若AB=B,求实数的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

A={x|x≤﹣1或x＞2}； B={x|x＜a或x＞a+1}

解析

（1）

5分

考查方向

本题考查了函数的定义域及其求法

解题思路

分别解分式不等式和一元二次不等式求A，B

易错点

解不等式

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（﹣1，1]

解析

AB=B10分

考查方向

本题考查了集合的子集关系

解题思路

由题意A是B的子集，可解出实数a的取值范围

易错点

集合的子集关系

1
题型：简答题
|
分值: 12分

已知函数.

21.求函数的最小正周期和图象的对称轴方程；

22.画出函数在区间上的图象.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

，

解析

，令，解得

考查方向

本题考查了三角恒等变换，辅助角公式，三角函数的图象和性质

解题思路

利用两角和差的正余弦公式以及辅助角公式进行化简后求函数f（x）的最小正周期及图象的对称轴

易错点

三角恒等变换

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

9分

12分

考查方向

本题考查了三角函数的五点法作图

解题思路

找出五个关键点作图象

易错点

找五个点

1
题型：简答题
|
分值: 12分

已知分别是的角所对的边，且，.

23.若的面积等于，求;

24.若，求的值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

①

②

由①②得

考查方向

本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形的面积计算公式

解题思路

由余弦定理和三角形面积计算公式，联立方程组解出答案

易错点

正弦定理、余弦定理

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

或

解析

若，则；    若，则

已知，上式化为.

综上或.

考查方向

本题考查了三角恒等变换，同角三角函数关系式

解题思路

由sinC=sin（B+A），sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，可得2sinBcosA=4sinAcosA.分类讨论得到答案

易错点

三角恒等变换

1
题型：简答题
|
分值: 12分

已知函数，且当时，的最小值为.

25.求单调区间

26.先将函数的图象上的点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得到的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求方程在区间上所有根之和.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

单调增区间为，单调减区间为

解析

，因为,所以

所以，解得，此时

单调增区间为，单调减区间为

考查方向

本题考查了三角函数图象与性质

解题思路

利用三角函数的性质解不等式得到单调区间

易错点

三角函数性质

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

，所以或

因为，所以解得，所以

考查方向

本题考查了三角函数图象与性质

解题思路

，解方程sin（4x﹣）=，可得x=或x=

易错点

三角函数的性质

1
题型：简答题
|
分值: 12分

已知函数，.

27.证明

28.若对一切恒成立，求和的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

，

，令，解得

所以

又因为

所以得证

考查方向

本题考查了利用导数研究函数的最值证明不等式

解题思路

求出导函数，利用导函数判断函数的最小值

易错点

函数的最值

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

；

解析

由（1）得，，所以，

设，则，

①时，，单调递减，且，所以成立

②时，，单调递增，与矛盾

③时，与矛盾，

综上，

考查方向

本题考查了构造函数解决不等式恒成立问题，考查了分类讨论的思想

解题思路

根据（1）结论，把恒成立问题转化为最值问题，构造函数h（x）=sinx﹣nx，根据导函数分类讨论

易错点

构造函数，分类讨论

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知道啦