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已知双曲线:
(
,
)的离心率为
,则双曲线
的渐近线方程为( )
正确答案
解析
,则
,所以
,即
,
所以,故选D。
《九章算术》上有这样一道题:“今有垣厚若干尺,两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠也日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问何日相逢,各穿几何?”题意是:“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙,大老鼠第一天进一尺,以后每天加倍;小老鼠第一天也进一尺,以后每天减半.”假设墙厚尺,现用程序框图描述该问题,则输出
( )
正确答案
解析
(1);
(2);
(3);
(4),输出8.
故选D。
已知,,
是三条直线,
是一个平面,下列命题中正确命题的个数是( )
①若,则与
相交;
②若,则
内有无数条直线与平行;
③若,
,
,
,则
;
④若,
,
则
.
正确答案
解析
①正确;②正确;③若,则存在不垂直于
,错误;④正确,
所以正确的有3个,故选C。
已知复数,则复数的共轭复数为( )
正确答案
解析
依题意,,故复数的的共轭复数为
,故选A.
在中,角
,
,
所对的边长分别为
,
,
,则
( )
正确答案
解析
由余弦定理可得,故选C.
已知集合
,则集合
中的元素个数为( )
正确答案
解析
依题意,,
,
,有
个元素,故选C.
已知向量,
满足
,
,则
( )
正确答案
解析
因为足,
,所以
,
故
,故选B.
如图,网格纸上小正方形的边长为,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( )
正确答案
解析
该几何体是由两个小三棱锥和一个圆锥组成,
所以体积为,故选A。
已知,
,
,则实数a,b,c的大小关系为( )
正确答案
解析
,
,
,
所以,故选C。
如图,四边形为正方形,
为线段
的中点,四边形
与四边形
也为正方形,连接
,
,则向多边形
中投掷一点,该点落在阴影部分内的概率为( )
正确答案
解析
设正方形的边长为1,
,
,
所以概率为,故选A。
已知函数,则下列说法正确的是( )
正确答案
解析
A:最小正周期为,
,错误;
B:正确;
C:当时,
,错误;
D:当时,
,
,
所以,此时
,不单调,错误。
故选B。
已知抛物线:
的焦点为
,
是
上一点,且
,则
( )
正确答案
解析
,如图,
由抛物线的几何意义,可知,所以
,
所以,故选D。
点睛:首先将抛物线化为标准方程,求得焦点和准线,利用抛物线的几何意义,抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离,求得点的
值,代回抛物线方程求得
的值。要求学生对抛物线的几何意义熟悉掌握。
已知函数有
个不同的零点,则实数
的取值范围为__________.
正确答案
解析
依题意,,且
,令
,得
,设直线
与曲线
相切于点
,则
,又
,解得
,则
,故实数
的取值范围是
,故答案为
.
已知实数,
满足
,则
的最大值为__________.
正确答案
6
解析
则过点时,
的最大为6.
已知某校随机抽取了名学生,将他们某次体育测试成绩制成如图所示的频率分布直方图.若该校有
名学生,则在本次体育测试中,成绩不低于
分的学生人数约为__________.
正确答案
解析
依题意,所求人数为,故答案为
.
观察如下规律:,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,…,则该组数据的前
项和为__________.(计算结果用带分数表示)
正确答案
解析
由题意,分母为1的1个,分母为3的3个,分母为5的5个,···,
所以,即
,得最大的整数
,
此时共有1936项,还剩余81项,分母为89,
所以前2017项的和为。
如图所示,直三棱柱中,
,
,
为棱
的中点.
(Ⅰ)探究直线与平面
的位置关系,并说明理由;
(Ⅱ)若,求三棱锥
的体积.
正确答案
(Ⅰ)见解析(Ⅱ).
解析
(Ⅰ)连接,设
,因为四边形
为矩形,所以
为
的中点.
设为
的中点,连接
,
,则
,且
.
由已知,且
,则
,且
,
所以四边形为平行四边形,
所以,即
.
因为平面
,
平面
,所以
平面
.
(Ⅱ)易知平面
,由(Ⅰ)可知,
平面
.
所以点到平面
的距离等于点
到平面
的距离,
所以.因为
,
所以,
故三棱锥的体积为
.
已知椭圆:
(
)的离心率为
,过右焦点且垂直于
轴的直线
与椭圆
交于
,
两点,且
,直线
:
与椭圆
交于
,
两点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)已知点,若
是一个与
无关的常数,求实数
的值.
正确答案
(Ⅰ).(Ⅱ)
.
解析
(1)联立解得
,故
又,
,联立三式,解得
,
,
,
故椭圆的标准方程为
.
(2)设,
,联立方程
消元得
,
,
∴,
,
又是一个与
无关的常数,∴
,即
,
∴,
.∵
,∴
.
当时,
,直线
与椭圆
交于两点,满足题意.
某教师调查了名高三学生购买的数学课外辅导书的数量,将统计数据制成如下表格:
(Ⅰ)根据表格中的数据,是否有的把握认为购买数学课外辅导书的数量与性别相关;
(Ⅱ)从购买数学课外辅导书不超过本的学生中,按照性别分层抽样抽取
人,再从这
人中随机抽取
人询问购买原因,求恰有
名男生被抽到的概率.
附:,
.
正确答案
(Ⅰ)见解析(Ⅱ)
解析
(Ⅰ)的观测值
,
故有的把握认为购买数学课外辅导书的数量与性别有关.
(Ⅱ)依题意,被抽到的女生人数为,记为,
;男生人数为
,记为
,
,
,
,则随机抽取
人,所有的基本事件为
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,共
个.
满足条件的有,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,共
个,
故所求概率为
已知正项等比数列的前
项和为
,且
,
.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)求数列的前
项和
.
正确答案
(Ⅰ).(Ⅱ)
.
解析
(1)因为,
,所以
或
(舍去).
又,故
,
所以数列的通项公式为
.
(2)由(Ⅰ)知,∴
,①
∴,②
②①得
,∴
.
已知函数.
(Ⅰ)求曲线在点
处的切线方程;
(Ⅱ)是否存在正整数,使得
在
上恒成立?若存在,求出
的最大值并给出推导过程,若不存在,说明理由.
正确答案
(Ⅰ).(Ⅱ)
.
解析
(Ⅰ)依题意
则,
,
故所求切线方程为.
(Ⅱ)依题意,,故
,
故对一切
恒成立,
当时,可得
,所以若存在,则正整数
的值只能取
,
.
下面证明当时,不等式恒成立,
设,则
,
易知(
),当
时,
;当
时,
.
即在
上是减函数,在
上是增函数,
所以,
当时,不等式恒成立,所以
的最大值是
.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线的极坐标方程为
,直线
:
,直线
:
.以极点
为原点,极轴为
轴的正半轴建立平面直角坐标系.
(Ⅰ)求直线,
的直角坐标方程以及曲线
的参数方程;
(Ⅱ)已知直线与曲线
交于
,
两点,直线
与曲线
交于
,
两点,求
的面积.
正确答案
(Ⅰ),
.
的参数方程为
(
为参数).(Ⅱ)
.
解析
(1)依题意,直线的直角坐标方程为
,直线
的直角坐标方程为
.
因为,故
,故
,故
,
故曲线的参数方程为
(
为参数)
(2)联立得到
,同理
.
又,所以
,
即的面积为
.
选修4-5:不等式选讲
已知函数.
(Ⅰ)求不等式的解集;
(Ⅱ)若不等式对于
恒成立,求实数
的取值范围.
正确答案
(Ⅰ)(Ⅱ)
解析
(1)依题意,故不等式
的解集为
(2)由(1)可得,当时,
取最小值
,
对于
恒成立,
∴,即
,∴
,
解之得,∴实数
的取值范围是