2018年高考真题 理科数学 (全国II卷)
精品
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单选题 本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

2.已知集合,则中元素的个数为

A9

B8

C5

D4

正确答案

A
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

5.双曲线的离心率为,则其渐近线方程为

A

B

C

D

正确答案

A
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

3.函数的图像大致为

AA

BB

CC

DD

正确答案

B
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

6.在中,,则

A

B

C

D

正确答案

A
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

10.若是减函数,则的最大值是

A

B

C

D

正确答案

A
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

4.已知向量满足,则

A4

B3

C2

D0

正确答案

B
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

1.

A

B

C

D

正确答案

D
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

7.为计算,设计了右侧的程序框图,则在空白框中应填入

A

B

C

D

正确答案

B
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是

A

B

C

D

正确答案

C
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

9.在长方体中,,则异面直线所成角的余弦值为

A

B

C

D

正确答案

C
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

11.已知是定义域为的奇函数,满足.若,则

A

B0

C2

D50

正确答案

C
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

12.已知是椭圆的左、右焦点,的左顶点,点在过且斜率为的直线上,为等腰三角形,,则的离心率为

A

B

C

D

正确答案

D
填空题 本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
|
分值: 5分

13.曲线在点处的切线方程为__________.

正确答案

1
题型:填空题
|
分值: 5分

15.已知,则__________.

正确答案

1
题型:填空题
|
分值: 5分

16.已知圆锥的顶点为,母线所成角的余弦值为与圆锥底面所成角为45°,若的面积为,则该圆锥的侧面积为__________.

正确答案

1
题型:填空题
|
分值: 5分

14.若满足约束条件的最大值为__________.

正确答案

9

简答题(综合题) 本大题共70分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
|
分值: 12分

17.(12分)

为等差数列的前项和,已知

(1)求的通项公式;

(2)求,并求的最小值.

正确答案

(1)设的公差为d,由题意得

d=2.

所以的通项公式为

(2)由(1)得

所以当n=4时,取得最小值,最小值为−16.

1
题型:简答题
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分值: 12分

18.(12分)

下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额(单位:亿元)的折线图.

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了与时间变量的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量的值依次为)建立模型①:;根据2010年至2016年的数据(时间变量的值依次为)建立模型②:

(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;

(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.

正确答案

(1)利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

(亿元).

利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

(亿元).

(2)利用模型②得到的预测值更可靠.

理由如下:

(ⅰ)从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线上下.这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.

(ⅱ)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型②得到的预测值更可靠.

以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.

1
题型:简答题
|
分值: 12分

19.(12分)

设抛物线的焦点为,过且斜率为的直线交于两点,

(1)求的方程

(2)求过点且与的准线相切的圆的方程.

正确答案

(1)由题意得l的方程为

,故

所以

由题设知,解得(舍去),

因此l的方程为

(2)由(1)得AB的中点坐标为,所以AB的垂直平分线方程为,即

设所求圆的圆心坐标为,则

解得

因此所求圆的方程为

1
题型:简答题
|
分值: 12分

20.(12分)

如图,在三棱锥中,的中点.

(1)证明:平面

(2)若点在棱上,且二面角,求与平面所成角的正弦值.

正确答案

(1)因为的中点,所以,且

连结.因为,所以为等腰直角三角形,

平面

(2)如图,以为坐标原点,的方向为轴正方向,建立空间直角坐标系

由已知得取平面的法向量

,则

设平面的法向量为

,可取

所以

由已知可得

所以.解得(舍去),

所以

,所以

所以与平面所成角的正弦值为

1
题型:简答题
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分值: 10分

(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分.

22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)

在直角坐标系中,曲线的参数方程为为参数),直线的参数方程为

为参数).

(1)求的直角坐标方程;

(2)若曲线截直线所得线段的中点坐标为,求的斜率.

23.[选修4-5:不等式选讲](10分)

设函数

(1)当时,求不等式的解集;

(2)若,求的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

(1)曲线的直角坐标方程为

时,的直角坐标方程为

时,的直角坐标方程为

(2)将的参数方程代入的直角坐标方程,整理得关于的方程

.①

因为曲线截直线所得线段的中点内,所以①有两个解,设为,则

又由①得,故,于是直线的斜率

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(1)当时,

可得的解集为

(2)等价于

,且当时等号成立.故等价于

可得,所以的取值范围是

1
题型:简答题
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分值: 12分

21.(12分)

已知函数

(1)若,证明:当时,

(2)若只有一个零点,求

正确答案

(1)当时,等价于

设函数,则

时,,所以单调递减.

,故当时,,即

(2)设函数

只有一个零点当且仅当只有一个零点.

(i)当时,没有零点;

(ii)当时,

时,;当时,

所以单调递减,在单调递增.

的最小值.

①若,即没有零点;

②若,即只有一个零点;

③若,即,由于,所以有一个零点,

由(1)知,当时,,所以

有一个零点,因此有两个零点.

综上,只有一个零点时,

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