2015年高考真题理科数学 (上海卷)

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试卷目录

1、填空题

2、单选题

3、简答题

真题试卷
模拟试卷
预测试卷

填空题本大题共14小题，每小题4分，共56分。把答案填写在题中横线上。

题型：填空题

分值: 4分

2．若复数满足，其中为虚数单位，则．

正确答案

解析

设，则

考查方向

本题考查了复数的运算法则、复数相等

解题思路

研究复数问题一般将其设为形式，利用复数相等充要条件：实部与实部，虚部与虚部分别对应相等，将复数相等问题转化为实数问题：解对应方程组问题.复数问题实数化转化过程中，需明确概念，如的共轭复数为，复数加法为实部与实部，虚部与虚部分别对应相加.

易错点

复数相等的条件

知识点

复数代数形式的乘除运算

题型：填空题

分值: 4分

3．若线性方程组的增广矩阵为、解为，则．

正确答案

解析

由题意得：

考查方向

本题主要考查增广矩阵的求解，根据条件建立方程组关系是解决本题的关键．

解题思路

线性方程组的增广矩阵是线性方程组另一种表示形式，明确其对应关系即可解决相应问题.即对应增广矩阵为

易错点

矩阵与方程组的对应关系

知识点

简单复合函数的导数

题型：填空题

分值: 4分

5．抛物线（）上的动点到焦点的距离的最小值为，则 .

正确答案

解析

因为抛物线上动点到焦点的距离为动点到准线的距离，因此抛物线上动点到焦点的最短距离为顶点到准线的距离，即

考查方向

本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力

解题思路

标准方程中的参数p的几何意义是指焦点到准线的距离；p＞0恰恰说明定义中的焦点F不在准线上这一隐含条件；参数p的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于p的值，才易于确定焦点坐标和准线方程. 涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．

易错点

焦点与准线的关系

知识点

抛物线的定义及应用

题型：填空题

分值: 4分

6．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为，则其母线与轴的夹角的大小为．

正确答案

解析

由题意得：母线与轴的夹角为.

考查方向

本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知求出圆锥的母线与轴的夹角的余弦值，是解答的关键．

解题思路

掌握对应几何体的侧面积，轴截面面积计算方法.如圆柱的侧面积，圆柱的表面积，圆锥的侧面积，圆锥的表面积，球体的表面积，圆锥轴截面为等腰三角形.

易错点

几何体的空间结构

知识点

双曲线的几何性质

题型：填空题

分值: 4分

7．方程的解为．

正确答案

解析

设，则

考查方向

本题考查了解指数对数不等式

解题思路

对可化为a2x＋b·ax＋c＝0或a2x＋b·ax＋c≥0(a2x＋b·ax＋c≤0)的指数方程或不等式，常借助换元法解决．求解与指对数有关的复合方程问题，首先要熟知指对数式的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层方程相关的问题加以解决．

易错点

准确换元

知识点

简单复合函数的导数

题型：填空题

分值: 4分

8．在报名的名男教师和名女教师中，选取人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．

正确答案

120

解析

由题意得，去掉选5名女教师情况即可：

考查方向

有序与无序的区别

解题思路

涉及排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关．“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．

易错点

本题方法较多需要灵活运用

知识点

求二项展开式的指定项或指定项的系数

题型：填空题

分值: 4分

9．已知点和的横坐标相同，的纵坐标是的纵坐标的倍，和的轨迹分别为双曲线和．若的渐近线方程为，则的渐近线方程为

正确答案

解析

由题意得：：，设，则，所以，即的渐近线方程为

考查方向

本题主要考查了双曲线的性质

解题思路

(1)已知渐近线方程y＝mx，若焦点位置不明确要分或讨论． (2)与双曲线共渐近线的可设为；(3)若渐近线方程为，则可设为；(4)相关点法求动点轨迹方程．

易错点

双曲线焦点所在坐标轴

知识点

双曲线的几何性质

题型：填空题

分值: 4分

10．设为，的反函数，则的最大值为．

正确答案

解析

由题意得：在上单调递增，值域为，所以在上单调递增，因此在上单调递增，其最大值为

考查方向

本题主要考查了反函数与原函数之间性质的区别于联系

解题思路

反函数与原函数的对应关系是解决问题的关键，一般有两个处理方法，一是从原函数出发求其反函数，再求函数最大值，本题求反函数教困难；二是利用反函数定义域对应原函数值域，反函数值域对应原函数定义域，反函数与原函数对偶区间上单调性一致，求出函数最大值.

易错点

求f(x)

知识点

函数单调性的判断与证明

题型：填空题

分值: 4分

1．设全集．若集合，，则．

正确答案

解析

因为，所以

考查方向

本题考查集合的交、并、补的混合运算，熟练掌握集合的交并补的运算规则是解本题的关键．本题考查了推理判断的能力．

解题思路

研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A或不属于集合B的元素的集合.

易错点

研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.

知识点

补集及其运算

题型：填空题

分值: 4分

4．若正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为，则．

正确答案

解析

考查方向

本题主要考查三棱柱的有关结构性质

解题思路

简单几何体的表面积和体积计算是高考的一个常见考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类简单几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握平几面积计算方法.柱的体积为,区别锥的体积；熟记正三角形面积为，正六边形的面积为.

易错点

准确计算

知识点

直线与平面平行的判定与性质

题型：填空题

分值: 4分

11．在的展开式中，项的系数为（结果用数值表示）．

正确答案

解析

因为，所以项只能在展开式中，即为，系数为

考查方向

二项式定理展开式

解题思路

（1）求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r＋1，代回通项公式即可．（2）对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决．

易错点

三项式与二项式之间的转化处理

知识点

排列数公式的推导

题型：填空题

分值: 4分

13．已知函数．若存在，，，满足，且

（，），则的最小值为．

正确答案

解析

因为，所以，因此要使得满足条件的最小，须取

即m=8.

考查方向

本题考查正弦函数的图象和性质，考查分析问题和解决问题的能力，考查数学转化思想方法，正确理解对任意xi，xj（i，j=1，2，3，…，m），都有是解答该题的关键，是难题．

解题思路

三角函数最值与绝对值的综合，可结合数形结合解决.极端位置的考虑方法是解决非常规题的一个行之有效的方法.

易错点

存在性问题的解法

知识点

导数的乘法与除法法则

题型：填空题

分值: 4分

12．赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有，，，，的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量和分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则（元）．

正确答案

0.2

解析

赌金的分布列为

所以

奖金的分布列为

考查方向

本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，根据概率的公式分别进行计算是解决本题的关键．

解题思路

一般地，若离散型随机变量X的分布列为：

…

则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，均值E(X)是一个实数，由x的分布列唯一确定，即X作为随机变量是可变的，而E(X)是不变的，它描述X值的取值平均状态．

易错点

期望求解的准确性

知识点

随机数的含义与应用

题型：填空题

分值: 4分

14．在锐角三角形中，，为边上的点，与的面积分别为和．过作于，于，则．

正确答案

解析

由题意得：，又,因为DEAF四点共圆，因此.

考查方向

本题考查平面向量的数量积运算，考查了数形结合的解题思想方法，考查了三角函数的化简与求值，是中档题．

解题思路

向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos<a，b>．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.向量夹角与三角形内角的关系，可利用三角形解决；向量的模与三角形的边的关系，可利用面积解决.

易错点

准确的化简计算

知识点

三角函数中的恒等变换应用

单选题本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

题型：单选题

分值: 5分

17．记方程①：，方程②：，方程③：，其中，，是正实数．当，，成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（）

A方程①有实根，且②有实根

B方程①有实根，且②无实根

C方程①无实根，且②有实根

D方程①无实根，且②无实

正确答案

解析

当方程①有实根，且②无实根时，，从而即方程③：无实根，选B.而A,D由于不等式方向不一致，不可推；C推出③有实根

考查方向

本题主要考查方程根存在性与判别式△之间的关系，结合等比数列的定义和性质判断判别式△的取值关系是解决本题的关键．

解题思路

根据方程根与判别式△之间的关系求出，结合，，成等比数列求出方程③的判别式△的取值即可得到结论．

易错点

数列性质与判别式的应用

知识点

指数函数的图像变换

题型：单选题

分值: 5分

15．设，，则“、中至少有一个数是虚数”是“是虚数”的（）

A充分非必要条件

B必要非充分条件

C充要条件

D既非充分又非必要条件

正确答案

解析

若、皆是实数，则一定不是虚数，因此当是虚数时，则“、中至少有一个数是虚数”成立，即必要性成立；当、中至少有一个数是虚数，不一定是虚数，如，即充分性不成立，选B.

考查方向

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据复数的有关概念进行判断是解决本题的关键．

解题思路

形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．判断概念必须从其定义出发，不可想当然.

易错点

复数相等的条件

知识点

并集及其运算命题的否定

题型：单选题

分值: 5分

16．已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的纵坐标为（）

正确答案

解析

，即点的纵坐标为.

考查方向

本题主要考查三角函数值的计算，根据三角函数的定义以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键

解题思路

根据三角函数的定义，求出∠xOA的三角函数值，利用两角和差的正弦公式进行求解即可．

易错点

旋转前后的坐标问题

知识点

函数的值域

题型：单选题

分值: 5分

18．设是直线（）与圆在第一象限的交点，则极限（）

正确答案

解析

由题意得：因为与圆在第一象限的交点为，所以，又由得

选A.

考查方向

本题考查了极限思想、圆的切线的斜率、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题

解题思路

当n→+∞时，直线趋近于2x-y=1，与圆x2+y2=2在第一象限的交点无限靠近（1，1），利用圆的切线的斜率、斜率计算公式即可得出

易错点

数列数列极限思想的正确理解运用

知识点

导数的加法与减法法则

简答题（综合题）本大题共74分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

题型：简答题

分值: 12分

19. 如图，在长方体中，，，、分别是、的中点．

证明、、、四点共面，并求直线与平面所成的角的大小.

正确答案

解析

试题分析：利用长方体的几何关系建立直角坐标系．利用向量方法求空间角．

如图，以为原点建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为、、、、、．

因为，，

所以，因此直线与共面，

即、、、共面．

设平面的法向量为，则，，

又，，

故，解得．

取，得平面的一个法向量．又，

故．

因此直线与平面所成的角的大小为．

考查方向

本题主要考查利用空间直角坐标系求出空间角的方法，属高考常考题型．

解题思路

(1)设两条异面直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为θ，则cos φ＝|cos θ|＝ (其中φ为异面直线a，b所成的角)．(2)设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝ .(3) n1，n2分别是二面角α l β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ＝〈n1，n2〉(或π－〈n1，n2〉)．

易错点

线面夹角的证明；向量坐标运算的准确性

知识点

直线与平面平行的判定与性质

题型：简答题

分值: 14分

如图，，，三地有直道相通，千米，千米，千米.现甲、乙两警员同时从地出发匀速前往地，经过小时，他们之间的距离为（单位：千米）.甲的路线是，速度为千米/小时，乙的路线是，速度为千米/小时.乙到达地后原地等待.设时乙到达地.

20. 求与的值；

21. 已知警员的对讲机的有效通话距离是千米.当时，求的表达式，并判断在上得最大值是否超过？说明理由.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1），.

解析

试题分析：（1）由题意可得，由余弦定理可得

，然后代入计算即可；

（1）．

记乙到时甲所在地为，则千米．

在中，，

所以（千米）.

考查方向

本题考查解三角形的实际应用，涉及余弦定理，属中档题．

解题思路

解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．

易错点

实际问题数学模型的转化

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2），不超过.

解析

试题分析：（2）分段求出对应函数解析式，根据函数单调性求得最值即可.

（2）甲到达用时小时；乙到达用时小时，从到总用时小时．

当时，

；

当时，.

所以.

因为在上的最大值是，在上的最大值是，所以在上的最大值是，不超过3.

考查方向

本题考查解三角形的实际应用，涉及分段函数，属中档题．

解题思路

分段求出各个段上的函数解析式及定义域．

易错点

分段函数单调性最值的求解

题型：简答题

分值: 14分

已知椭圆，过原点的两条直线和分别于椭圆交于、和、，记得到的平行四边形的面积为.

22. 设，，用、的坐标表示点到直线的距离，并证明；

23. 设与的斜率之积为，求面积的值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）略.

解析

试题分析：（1）依题意，直线l1的方程为，利用点到直线间的距离公式可求得点C到直线l1的距离d，再利用|AB|=2|AO|可证得S=|AB|d=2|x1y2-x2y1|；当l1与l2时的斜率之一不存在时，同理可知结论成立；

（1）证明：直线，点到的距离.

，

所以.

考查方向

本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查方程思想、等价转化思想与综合运算能力，属于难题．

解题思路

涉及弦长问题利用弦长公式解决，往往会更简单．.

易错点

直线与椭圆的位置关系的计算问题

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）略（2）

解析

试题分析：（2）设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为，可得直线l1与l2的方程，联立方程组，可求得x1、x2、y1、y2，继而可求得答案．

（2）解：设，则.设

，.

由，得.

同理.

由（1），，

整理得.

考查方向

本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查方程思想、等价转化思想与综合运算能力，属于难题．

解题思路

解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．

易错点

三角形面积公式的选用

题型：简答题

分值: 16分

已知数列与满足，.

24. 若，且，求数列的通项公式；

25.设的第项是最大项，即（），求证：数列的第项是最大项；

26. 设，（），求的取值范围，使得有最大值与最小值，且.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

(1）.

解析

试题分析：（1）把bn=3n+5代入已知递推式可得an+1-an=6，由此得到{an}是等差数列，则an可求．

（1）解：由，得，

所以是首项为，公差为的等差数列，

故的通项公式为，.

考查方向

本题考查了求数列的通项公式，

解题思路

等差数列的四种判断方法：(1)定义法：an＋1－an＝d(d是常数)⇔{an}是等差数列；(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列；(3)通项公式：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列；(4)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)⇔{an}是等差数列．

易错点

等差数列性质的灵活运用

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）略.

解析

试题分析：（2）由，结合递推式累加得到an=2bn+a1-2b1，求得，进一步得到，得答案．

证明：（2）由，得.

所以为常数列，，即.

因为，，所以，即.

故的第项是最大项.

考查方向

本题考查了数列递推式，考查了数列的函数特性，训练了累加法求数列的通项公式，是中档题．

解题思路

数列作为特殊的函数，其单调性的判断与研究也是特别的，只需研究相邻两项之间关系即可.

易错点

数列的单调性

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

（3）

解析

试题分析：（3）由（2）可得，，然后分-1＜λ＜0，λ=-1，λ＜-1三种情况求得an的最大值M和最小值m，再列式求得λ的范围．

（3）因为，所以，

当时，

当时，，符合上式.

所以.

因为，所以，.

①当时，由指数函数的单调性知，不存在最大、最小值；

②当时，的最大值为，最小值为，而；

③当时，由指数函数的单调性知，的最大值，最小值，由及，得.

综上，的取值范围是.

考查方向

本题考查了数列递推式，考查了数列的函数特性，求解运用了极限思想方法，是中档题．

解题思路

数列作为特殊的函数，其单调性的判断与研究也是特别的，只需研究相邻两项之间关系即可.

易错点

分类讨论的不重不漏

题型：简答题

分值: 18分

对于定义域为的函数，若存在正常数，使得是以为周期的函数，则称为余弦周期函数，且称为其余弦周期.已知是以为余弦周期的余弦周期函数，其值域为.设单调递增，，.

27. 验证是以为周期的余弦周期函数；

28. 设．证明对任意，存在，使得；

29. 证明：“为方程在上得解”的充要条件是“为方程在上有解”，并证明对任意都有.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）略.

解析

试题分析：（1）根据余弦周期函数的定义，判断cosg（x+6π）是否等于cosg（x）即可.

证明：（1）易见的定义域为，

对任意，，

所以，

即是以为余弦周期的余弦周期函数.

考查方向

考查对余弦周期函数定义的理解

解题思路

新定义问题一般先考察对周期定义的理解

易错点

周期定义的理解运用

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）略

解析

试题分析：（2）根据f（x）的值域为R，便可得到存在x0，使得f（x0）=c，而根据f（x）在R上单调递增即可说明x0∈[a，b]，从而完成证明；

（2）由于的值域为，所以对任意，都是一个函数值，即有，使得.

若，则由单调递增得到，与矛盾，所以.同理可证.故存在使得.

考查方向

考查对构造方程解题的方法．

解题思路

新定义问题一般先考察对定义的理解，这时只需一一验证定义中各个条件即可.二是考查满足新定义的函数的简单应用，如在某些条件下，满足新定义的函数有某些新的性质，这也是在新环境下研究“旧”性质，此时需结合新函数的新性质，探究“旧”性质.三是考查综合分析能力，主要将新性质有机应用在“旧”性质，创造性证明更新的性质.

易错点

存在性问题与函数单调性最值的联系

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

（3）略

解析

试题分析：（3）只需证明u0+T为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解得出u0为方程cosf（x）=1在[0，T]上的解，是否为方程的解，带入方程，使方程成立便是方程的解．证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T），可讨论x=0，x=T，x∈（0，T）三种情况：x=0时是显然成立的；x=T时，可得出cosf（2T）=1，从而得到f（2T）=2k1π，k1∈Z，根据f（x）单调递增便能得到k1＞2，然后根据f（x）的单调性及方程cosf（x）=1在[T，2T]和它在[0，T]上解的个数的情况说明k1=3，和k1≥5是不存在的，而k1=4时结论成立，这便说明x=T时结论成立；而对于x∈（0，T）时，通过考查cosf（x）=c的解得到f（x+T）=f（x）+f（T），综合以上的三种情况，最后得出结论即可．

（3）若为在上的解，则，且，

，即为方程在上的解.

同理，若为方程在上的解，则为该方程在上的解.

以下证明最后一部分结论.

由（2）所证知存在，使得，，，，，.

而是函数的单调区间，，，，.

与之前类似地可以证明：是在上的解当且仅当是在上的解.

从而在与上的解的个数相同.

故，，，，，.

对于，，，

而，故.

类似地，当，，，时，有.

结论成立.

考查方向

考查知道由cosf（x）=1能得出f（x）=2kx，k∈Z，以及构造方程解题的方法，在证明最后一问时能运用第二问的结论．

解题思路

易错点

周期定义的理解运用；存在性问题与函数单调性最值的联系；任意性问题成立的条件判断

理科数学 热门试卷

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

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