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理科数学 郴州市2017年高三第三次模拟考试
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理科数学 热门试卷

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试卷目录
1、单选题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2、简答题
13
14
15
16
17
18
3、填空题
19
20
21
22
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单选题 本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

1.已知，是虚数单位.若与互为共轭复数，则（   ）

A0

B1

C2

D3

正确答案

D

解析

,所以互为共轭复数为，即，所以，故选D.

考查方向

复数相关的概念及复数的运算

解题思路

根据复数的运算法则直接算出

易错点

复数的运算

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

3.已知，，则（   ）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

因为，所以，故选B.

考查方向

诱导公式.

解题思路

因为，直接利用诱导公式可得

易错点

诱导公式的灵活运用

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

5.考拉兹猜想又名猜想，是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2.如此循环，最终都能得到1.阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果（   ）

A4

B5

C6

D7

正确答案

D

解析

试题分析：模拟算法：开始：，不成立；

是奇数，不成立，，不成立；

是奇数，成立，，不成立；

是奇数，不成立，，不成立；

是奇数，不成立，，不成立；

是奇数，不成立，，不成立；

是奇数，不成立，，成立；

输出，结束算法.故选D.

考查方向

程序框图.

解题思路

模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的a，i的值，可得当i=7时满足条件，退出循环．

易错点

循环结构中各变量值的变化及控制条件

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

6.已知某三棱锥的三视图如图所示，正视图和俯视图都是等腰直角三角形，则该三棱锥中最长的棱长为（   ）

A

B

C

D2

正确答案

A

解析

如图，该三视图所表示的几何体为三棱锥，显然最长棱为，且，故选A.

考查方向

三视图

解题思路

由三视图所表示的几何体表求为三棱锥，很容易看出AB最长

易错点

三视图还原几何体直观图

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

11.在中，分别是边的中点，分别是线段的中点，分别是线段的中点， 设数列满足：向量，有下列四个命题，其中假命题是：（   ）

A数列是单调递增数列，数列是单调递减数列

B数列是等比数列

C数列有最小值，无最大值

D若中，，，，则最小时，

正确答案

C

解析

由，，所以，

所以C为假命题，故选C.

考查方向

向量的线性运算及数列的性质.

解题思路

向量的线性运算为基础，得到数列的通项公式，进而考查数列的性质

易错点

数列的性质的灵活运用

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

2.已知均为单位向量，且，则向量的夹角为（   ）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

向量的夹角为,因为，所以，即，，故选A.

考查方向

向量相关的概念及向量的数量积及运算.

解题思路

由题，得出余弦值，进而得到夹角

易错点

向量的数量积的运用

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

4.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式）.

A2寸

B3寸

C4寸

D5寸

正确答案

B

解析

根据题意可得平地降雨量，故选B.

考查方向

圆台的体积

解题思路

由圆台的体积计算公式直接代入得

易错点

圆台的上下底

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

7.已知函数是奇函数，当时，（且），且，则的值为（   ）

A

B

C3

D9

正确答案

B

解析

因为，所以，，又，所以，故选B.

考查方向

函数的奇偶性及函数的表示与求值

解题思路

由即，又由奇函数定义又又，所以

易错点

函数的奇偶性的灵活运用

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

9.将边长为的正方形沿对角线折成一个直二面角.则四面体的内切球的半径为（   ）

A1

B

C

D

正确答案

D

解析

设球心为，球的半径为，由，知，故选D.

考查方向

多面体内切球问题及等体积转换.

解题思路

由，很容易求解

易错点

多面体内切球

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

10.已知为双曲线的左焦点，点为双曲线虚轴的一个顶点，过的直线与双曲线的一条渐近线在轴右侧的交点为，若，则此双曲线的离心率是（   ）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

：的方程为，即，联立得，所以，解得，故选A.

考查方向

双曲线的几何性质与向量的坐标运算

解题思路

根据条件建立，，之间的等量关系，再由曲线中的内在联系，进而得到的等量关系，从而求出离心率

易错点

向量的坐标运算

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

12.若方程有四个不同的实数根，且，则的取值范围是（   ）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

方程有四个不同的实数根,在同一坐标系内作出函数与函数的图象如下图所示，所以是方程的两根，是方程的两根，由求根公式得，且，所以，令，由得，函数在区间递增，在区间递减，又，所以所求函数的取值范围是，故选B.

考查方向

函数与方程、导数与函数的单调性、极值以及一元二次方程

解题思路

通过构造函数，再利用数形结合、进而用导数研究函数单调性、极值，得出

易错点

运用导数求函数的单调性、极值

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

8.设关于的不等式组表示的平面区域内存在点，满足.则的取值范围是（   ）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

由线性约束条件可画出如图所示的阴影区域，要使区域内存在点使成立，只要点在直线下方即可，即解得，故选C.

考查方向

简单线性规划

解题思路

由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数求得x+y的最大值．

易错点

数形结合的解题思想方法

简答题（综合题） 本大题共70分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型：简答题
|
分值: 12分

（本小题满分12分）

如图，菱形中，，与相交于点，平面，.

21.求证：平面；

22.当直线与平面所成角的大小为时，求的长度.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

四边形是菱形，

.

平面，平面，

，

又平面，平面，，

平面.

考查方向

直线与平面垂直的判定与性质

解题思路

由菱形的性质可知，由平面可得，由此可证平面

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

2

解析

以为原点，以所在直线分别为轴，轴，以过点且平行于的直线为轴建立空间直角坐标系.………………（6分）

则.设，则，

，

设平面的法向量为，则

即令，得，

，

直线与平面所成角的大小为，

，

解得或（舍），.

考查方向

二面角的平面角及求法

解题思路

以为原点，以所在直线分别为轴，轴，以过点且平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量及向量，由直线与平面所成角的大小为，利用向量公式可求出的长度.

易错点

认真审题，寻找法向量

1
题型：简答题
|
分值: 12分

（本小题满分12分）

某水泥厂销售工作人员根据以往该厂的销售情况，绘制了该厂日销售量的频率分布直方图，如图所示：

将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.

23.求未来3天内，连续2天日销售量不低于8吨，另一天日销售量低于8吨的概率；

24.用表示未来3天内日销售量不低于8吨的天数，求随机变量的分布列及数学期望.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由频率分布直方图可知，日销售量不低于吨的频率为：

，

记未来天内，第天日销售量不低于吨为事件，则，

未来天内，连续天日销售不低于吨，另一天日销量低于吨包含两个互斥事件和，

则：

.

考查方向

互斥事件的加法公式，频率分布直方图

解题思路

在频率直方图中，大于吨的两个矩形的面积即为日销售量不低于吨的频率，未来三天内连续天日销售不低于吨，另一天日销量低于吨包含两个互斥事件，即第一、二天高于吨第三天低于吨与第一天低于吨而第二、三天高于吨，分别计算其概率相加即可

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

的可能取值为，且～

，

，

，

，

所以的分布列为

.

考查方向

离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列

解题思路

的可能取值为，且～，由二项分布公式计算其相应的概率及期望即可.

易错点

离散型随机变量及其分布列

1
题型：简答题
|
分值: 10分

（本小题满分10分）

已知等差数列满足:，该数列的前三项分别加上1,1,3后成等比数列，且.

17.求数列,的通项公式；

18.求数列的前项和.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

设为等差数列的公差，且，

由，

因三式分别加上后成等比数列，所以，

因为，所以，

所以，

又，所以，即

考查方向

等差数列的定义与性质及对数的性质

解题思路

用基本量法，即用为等差数列的公差与表示已知条件，列出方程，解出，即可求数列的通项公式；由可得，即可求出数列的通项公式；

易错点

等差数列的性质应用

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由（1）知，所以，①

，②

① —②，得

，

，

所以.

考查方向

错位相减法

解题思路

因为，所以用错位相减法求即可

易错点

错位相减法的灵活运用

1
题型：简答题
|
分值: 12分

（本小题满分12分）

在中，，，分别是角，，的对边，且.

19.求的大小；

20.若，，求的面积．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由，

得，

，

，

，

又.

考查方向

正弦定理及三角恒等变换

解题思路

由同角三角函数基本关系及两角和与差的余弦公式化简已知条件可得，由三角形内角和公式及诱导公式可得，从而可求出角的值

易错点

正弦定理的灵活运用

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由，得，）

又，

.

考查方向

余弦定理、三角形内角和定理及三角形面积公式

解题思路

由余弦定理得，从而可求出，代入三角形面积公式即可

易错点

三角形面积公式的运用

1
题型：简答题
|
分值: 12分

（本小题满分12分）

已知椭圆的离心率为，且过点.若点在椭圆上，则点称为点的一个“椭点”.

25.求椭圆的标准方程；

26.若直线与椭圆相交于两点，且两点的“椭点”分别为，以为直径的圆经过坐标原点，试求的面积.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由，得，

又，椭圆，

因点在上，，得，

所以椭圆的方程为：；

考查方向

椭圆的标准方程与几何性质

解题思路

由,用表示，将点代入椭圆方程可求出的值，从而求出的值，得到椭圆的方程

易错点

注意求椭圆的标准方程

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

设，则，

由以为直径的圆经过坐标原点，得，

即   （1）

由，消除整理得：，

由，得，

而  （2）

    （3）

将（2）（3）代入（1）得：，

即，

又，

原点到直线的距离，

，

把代入上式得，即的面积是为.

考查方向

直线与椭圆的位置关系

解题思路

设，则，由以为直径的圆经过坐标原点，得即，将直线方程代入椭圆方程，由根与系数关系得到，代入关系式得到与的关系式，再求出弦长与点到直线的距离，即可求得三角形的面积.

易错点

直线与椭圆的位置关系

1
题型：简答题
|
分值: 12分

（本小题满分12分）

已知函数，.

27.求函数在上的最小值；

28.对一切，恒成立，求实数的取值范围；

29.探讨函数是否存在零点？若存在，求出函数的零点；若不存在，请说明理由.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

(1)  ；(2) ；(3) 函数无零点.

，

由得，，由得，

函数在上单调递减，在上单调递增.

当时，；

当时，在上单调递增，，

考查方向

导数与函数的单调性

解题思路

求函数的层数可得，并由导数的符号判断函数的单调性可得函数在区间上的最小值为，分别讨论当与时函数在区间上的单调性与最小值即可

易错点

注意运用导数求单调性

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

原问题可化为，

设，

，当时，在上单调递减；

当时，在上单调递增；

，故的取值范围为.

考查方向

函数与不等式及恒成立问题

解题思路

对一切，恒成立，构造函数，求函数的最小值即可

易错点

恒成立问题

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

无零点

解析

令，得，即，

当（Ⅰ）知当且仅当时，的最小值是，

设，则，易知在上单调递增，在上单调递减，

当且仅当时，取最大值，且，

对都有，即恒成立，

故函数无零点.

考查方向

函数与方程

解题思路

，由（Ⅰ）知当且仅当时，的最小值是，构造函数，求其导数，研究函数的单调性与最值可知，且两个函数取得最大值点与最小值点时不相等，所以有，即两个函数无公共点，即函数无零点.

易错点

零点问题转化为最值问题

填空题 本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在题中横线上。
1
题型：填空题
|
分值: 5分

13.若命题“”是假命题，则实数的取值范围是________.

正确答案

解析

“”是假命题等价于，即，解之得，即实数的取值范围是.

考查方向

特称命题与全称命题及不等式恒成立与一元二次不等式

解题思路

“”是假命题等价于，，解之即可

易错点

转化为不等式恒成立问题

1
题型：填空题
|
分值: 5分

14.两所学校分别有2名、3名学生获奖，这5名学生要排成一排合影，则同校学生排在一起的概率是__________.

正确答案

解析

5名学生要排成一排合影共有种不同的排法，同校学生排在一起共有种不同的排法，所以所求概率为.

考查方向

古典概型及排列与组合.

解题思路

5名学生要排成一排有，同校学生排在一起共有种，进而求概率得

易错点

灵活运用排列与组合

1
题型：填空题
|
分值: 5分

15.过点的直线与圆交于两点，为圆心，当最小时，直线的方程为_________.

正确答案

解析

由题意得，当时，最小，从而直线方程为，即.

考查方向

直线与圆的位置关系.

解题思路

当时，最小，进而计算而得

易错点

几何法计算直线与圆的位置

1
题型：填空题
|
分值: 5分

16.已知函数，给出下列四个命题：

①函数的图象关于直线对称；②函数在区间上单调递增；

③函数的最小正周期为；④函数的值域为.

其中真命题的序号是____________.（将你认为真命题的序号都填上）

正确答案

②④

解析

,作出函数图象（如下图所示），由图可知②④正确.

【名师点睛】本题考查三角函数的图象与性质，属中档题；三角函数最值与绝对值的综合，是最的效的方法..

考查方向

绝对值的意义，三角函数的图象与性质

解题思路

由绝对值的意义去掉绝对值符号，利用数形结合，极端位置的考虑方法

解决问题

易错点

数形结合的极端位置分析

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知道啦