理科数学 大庆市2015年高三试卷
精品
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单选题 本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

2.命题“∃x∈R,2x+x2≤1”的否定是(  )

A∀x∈R,2x+x2>1,假命题

B∀x∈R,2x+x2>1,真命题

C∃x∈R,2x+x2>1,假命题

D∃x∈R,2x+x2>1,真命题

正确答案

A

解析

∵原命的否定为∀x∈R,2x+x2>1,∴取x=0,则20+02=1,故它是假命题.

知识点

全(特)称命题的否定
1
题型: 单选题
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分值: 5分

5. 已知函数f(x)=,若存在α∈(0,π)使得f(x+α)=f(x+3α)恒成立,则α等于(  )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

f(x+a)=sin(2x+2a-)f(x+3a)=sin(2x+6a-),因为f(x+a)=f(x+3a),且a∈(0,π)所以2x+2a-+2π=2x+6a- ∴a= 即存在a= 使得f(x+a)=f(x+3a)恒成立.

知识点

函数恒成立问题三角函数的周期性及其求法
1
题型: 单选题
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分值: 5分

6.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与曲线x2+y2-6x-7=0相切,则p的值为(  )

A2

B1

C

D

正确答案

A

解析

整理圆方程得(x-3)2+y2=16∴圆心坐标为(3,0),半径r=4∵圆与抛物线的准线相切∴圆心到抛物线准线的距离为半径,即=4求得p=2

知识点

抛物线的标准方程和几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
1
题型: 单选题
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分值: 5分

8. 设O为坐标原点,F为抛物线y2=4x的焦点,A为抛物线上一点,若=-4,则点A的坐标为(  )

A(2,±2)

B(1,±2)

C(1,2)

D(2,2)

正确答案

B

解析

F(1,0)设A(,y0)则=(,y0),=(1-,-y0),由=-4∴y0=±2,∴A(1,±2)

知识点

平面向量数量积的运算向量在几何中的应用抛物线的标准方程和几何性质
1
题型: 单选题
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分值: 5分

10.若满足条件AB=,C=的三角形ABC有两个,则边长BC的取值范围是(  )

A(1,)

B()

C(,2)

D(,2)

正确答案

C

解析

∵C=,AB=,设BC=a,

∴由正弦定理得:

= ,解得:sinA=

由题意得:当A∈()时,满足条件的△ABC有两个,

所以<1,

解得:<a<2,则BC的取值范围是(,2).

知识点

正弦定理
1
题型: 单选题
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分值: 5分

7.圆心在直线y=x上,经过原点,且在x轴上截得弦长为2的圆的方程为(  )

A(x-1)2+(y-1)2=2

B(x-1)2+(y+1)2=2

C(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2

D(x-1)2+(y+1)2=或(x+1)2+(y-1)2=2

正确答案

C

解析

由于圆心在y=x上,所以可设圆的方程为(x-a)2+(y-a)2=r2,将y=0代入得:x2-2ax+2a2=r2∴x1+x2=a,x1•x2=2a2-r2,∴弦长=|x1-x|==2代入可得:7a2-4r2+4=0   ①再将点(0,0)代入方程(x-a)2+(y-a)2=r2,得2a2=r2=0…②,联立①②即可解出a=1、r2=2,或a=-1,r2=2,(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2

知识点

圆的标准方程
1
题型: 单选题
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分值: 5分

3. 已知△ABC中,tanA=-,则cosA=(  )

A

B

C

D 

正确答案

D

解析

∵△ABC中,tanA=-,∴A为钝角,cosA<0.由=-,sin2A+cos2A=1,可得cosA=-

知识点

同角三角函数间的基本关系
1
题型: 单选题
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分值: 5分

9.函数y=logax+1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线(m>0,n>0)上,则m+n的最小值为(  )

A

B2

C1

D4

正确答案

C

解析

当x=1时,y=loga1+1=1,

∴函数y=logax+1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A(1,1),

∵点A在直线+-4=0(m>0,n>0)上,

=4.

∴m+n=()(m+n)= (2+)≥(2+2)=1,

当且仅当m=n=时取等号.

知识点

对数函数的单调性与特殊点利用基本不等式求最值
1
题型: 单选题
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分值: 5分

1.设集合,则A∩B为(  )

A[0,3]

B(2,3]

C[3,+∞)

D[1,3]

正确答案

B

解析

A={x|x},B={y|y>2}则A∩B=(2,3]

知识点

交集及其运算
1
题型: 单选题
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分值: 5分

4. 若奇函数f(x)(x∈R)满足f(3)=1,f(x+3)=f(x)+f(3),则f等于(  )

A0

B1

C

D

正确答案

C

解析

∵f(x+3)=f(x)+f(3),令x=-,则f(-+3)=f(- )+f(3),即f()=f(- )+f(3),∴f()=

知识点

函数奇偶性的性质抽象函数及其应用
1
题型: 单选题
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分值: 5分

12.已知点P是椭圆(x≠0,y≠0)上的动点,F1、F2分别为椭圆的左、右焦点,O是坐标原点,若M是∠F1PF2的平分线上一点,且,则的取值范围是(  )

A[0,3)

B(0,2)

C[2,3)

D(0,4]

正确答案

B

解析

如图,

当点P在椭圆与y轴交点处时,点M与原点O重合,

此时||取最小值0.

当点P在椭圆与x轴交点处时,点M与焦点F1重合,

此时||取最大值2

∵xy≠0,∴||的取值范围是(0,2).

知识点

量积判断两个平面向量的垂直关系向量在几何中的应用椭圆的几何性质圆锥曲线中的范围、最值问题
1
题型: 单选题
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分值: 5分

11.函数f(x)的定义域是R,f(0)=2,对任意x∈R,f(x)+f ′(x)>1,则不等式ex·f(x)>ex+1的解集为(  )

A{x|x>0}

B{x|x<0}

C{x|x<-1,或x>1}

D{x|x<-1,或0<x<1}

正确答案

A

解析

令g(x)=ex•f(x)-ex,则g′(x)=ex•[f(x)+f′(x)-1]∵对任意x∈R,f(x)+f′(x)>1,∴g′(x)>0恒成立,即g(x)=ex•f(x)-ex在R上为增函数,又∵f(0)=2,∴g(0)=1故g(x)=ex•f(x)-ex>1的解集为{x|x>0},即不等式ex•f(x)>ex+1的解集为{x|x>0}

知识点

函数单调性的性质抽象函数及其应用导数的运算
填空题 本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
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分值: 5分

13. 设不等式组所表示的平面区域为S,若A、B为区域S内的两个动点,则|AB|的最大值______.

正确答案

解析

作出不等式组对应的平面区域如图:则由图象可知当A位于(0,3),B位于(2,0)时,|AB|的长度最大为|AB|==

知识点

其它不等式的解法两点间的距离公式
1
题型:填空题
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分值: 5分

14.已知|a|=|b|=2,(a+2b)·(a-b)=-2,则a与b的夹角为________.

正确答案

解析

∵||=||=2∴||2=||2=4,∵(+2)·()=-2展开得:||2+-2||2=4cosθ-4=-2,
即cosθ=又∵0≤θ≤π故θ=

知识点

平面向量数量积的运算数量积表示两个向量的夹角
1
题型:填空题
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分值: 5分

16.函数f(x)=xex-a有两个零点,则实数a的取值范围是________.

正确答案

-<a<0

解析

∵函数f(x)=xex-a的导函数f′(x)=(x+1)ex

令f′(x)=0,则x=-1

∵当x∈(-∞,-1)时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减;

当x∈(-1,+∞)时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;

故当x=-1时,函数取最小值f(-1)=-e-1-a,

若函数f(x)=xex-a有两个零点,

则f(-1)=-e-1-a<0;即a>-

又∵a≥0时,x∈(-∞,-1)时,f(x)=xex-a<0恒成立,不存在零点

故a<0综上,-<a<0

知识点

函数零点的判断和求解
1
题型:填空题
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分值: 5分

15.两个等差数列的前n项和之比为,则它们的第7项之比为________.

正确答案

3:1

解析

设这两个等差数列的前n项和分别为Sn,Tn,由题意知.

知识点

等差数列的基本运算等差数列的性质及应用等差数列的前n项和及其最值
简答题(综合题) 本大题共70分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
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分值: 10分

17. 已知函数f(x)=2sinxcos(x+)-cos2x+m.

(1)求函数f(x)的最小正周期;

(2)当时,函数f(x)的最小值为-3,求实数m的值

正确答案

解析

解析已在路上飞奔,马上就到!

知识点

三角函数的周期性及其求法三角函数中的恒等变换应用三角函数的最值
1
题型:简答题
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分值: 12分

18. 已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边,c=asinC-ccosA.

(1)求A;

(2)若a=,△ABC的面积为2,求b、c.

正确答案

解析

解析已在路上飞奔,马上就到!

知识点

正弦定理余弦定理三角形中的几何计算
1
题型:简答题
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分值: 12分

20. 椭圆C的中心在原点,一个焦点F(-2,0),且短轴长与长轴长的比是

(1)求椭圆C的方程;

(2)设点M(m,0)在椭圆C的长轴上,点P是椭圆上任意一点.当最小时,点P恰好落在椭圆的右顶点,求实数m的取值范围.

正确答案

解析

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知识点

椭圆的定义及标准方程圆锥曲线中的范围、最值问题
1
题型:简答题
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分值: 12分

19.各项都为正数的数列{an},满足a1=1,

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)求数列的前n项和Sn.

正确答案

解析

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知识点

由递推关系式求数列的通项公式错位相减法求和
1
题型:简答题
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分值: 12分

21.点F为(1,0),M点在x轴上,P点在y轴上,且

(1)当点P在y轴上运动时,求N点的轨迹C的方程;

(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2)、D(x3,y3)是曲线C上的三点,且|、成等差数列,当AD的垂直平分线与x轴交于E(3,0)时,求B点的坐标.

正确答案

解析

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知识点

量积判断两个平面向量的垂直关系向量在几何中的应用等差数列的性质及应用直接法求轨迹方程
1
题型:简答题
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分值: 12分

22.已知.

(1)若 ,函数在其定义域内是增函数,求的取值范围;

(2)当时,证明函数只有一个零点;

(3)的图象与轴交于, ()两点,中点为, 求证:

正确答案

解析

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知识点

导数的乘法与除法法则

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