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2.命题“∃x∈R,2x+x2≤1”的否定是( )
正确答案
解析
∵原命的否定为∀x∈R,2x+x2>1,∴取x=0,则20+02=1,故它是假命题.
知识点
5. 已知函数f(x)=,若存在α∈(0,π)使得f(x+α)=f(x+3α)恒成立,则α等于( )
正确答案
解析
f(x+a)=sin(2x+2a-)f(x+3a)=sin(2x+6a-),因为f(x+a)=f(x+3a),且a∈(0,π)所以2x+2a-+2π=2x+6a- ∴a= 即存在a= 使得f(x+a)=f(x+3a)恒成立.
知识点
6.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与曲线x2+y2-6x-7=0相切,则p的值为( )
正确答案
解析
整理圆方程得(x-3)2+y2=16∴圆心坐标为(3,0),半径r=4∵圆与抛物线的准线相切∴圆心到抛物线准线的距离为半径,即=4求得p=2
知识点
8. 设O为坐标原点,F为抛物线y2=4x的焦点,A为抛物线上一点,若=-4,则点A的坐标为( )
正确答案
解析
F(1,0)设A(,y0)则=(,y0),=(1-,-y0),由=-4∴y0=±2,∴A(1,±2)
知识点
10.若满足条件AB=,C=的三角形ABC有两个,则边长BC的取值范围是( )
正确答案
解析
∵C=,AB=,设BC=a,
∴由正弦定理得:,
即= ,解得:sinA= ,
由题意得:当A∈(,)时,满足条件的△ABC有两个,
所以<<1,
解得:<a<2,则BC的取值范围是(,2).
知识点
7.圆心在直线y=x上,经过原点,且在x轴上截得弦长为2的圆的方程为( )
正确答案
解析
由于圆心在y=x上,所以可设圆的方程为(x-a)2+(y-a)2=r2,将y=0代入得:x2-2ax+2a2=r2∴x1+x2=a,x1•x2=2a2-r2,∴弦长=|x1-x2 |==2代入可得:7a2-4r2+4=0 ①再将点(0,0)代入方程(x-a)2+(y-a)2=r2,得2a2=r2=0…②,联立①②即可解出a=1、r2=2,或a=-1,r2=2,(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2
知识点
3. 已知△ABC中,tanA=-,则cosA=( )
正确答案
解析
∵△ABC中,tanA=-,∴A为钝角,cosA<0.由=-,sin2A+cos2A=1,可得cosA=-.
知识点
9.函数y=logax+1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线(m>0,n>0)上,则m+n的最小值为( )
正确答案
解析
当x=1时,y=loga1+1=1,
∴函数y=logax+1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A(1,1),
∵点A在直线+-4=0(m>0,n>0)上,
∴=4.
∴m+n=()(m+n)= (2+)≥(2+2)=1,
当且仅当m=n=时取等号.
知识点
1.设集合,,则A∩B为( )
正确答案
解析
A={x|x},B={y|y>2}则A∩B=(2,3]
知识点
4. 若奇函数f(x)(x∈R)满足f(3)=1,f(x+3)=f(x)+f(3),则f等于( )
正确答案
解析
∵f(x+3)=f(x)+f(3),令x=-,则f(-+3)=f(- )+f(3),即f()=f(- )+f(3),∴f()=
知识点
12.已知点P是椭圆(x≠0,y≠0)上的动点,F1、F2分别为椭圆的左、右焦点,O是坐标原点,若M是∠F1PF2的平分线上一点,且,则的取值范围是( )
正确答案
解析
如图,
当点P在椭圆与y轴交点处时,点M与原点O重合,
此时||取最小值0.
当点P在椭圆与x轴交点处时,点M与焦点F1重合,
此时||取最大值2.
∵xy≠0,∴||的取值范围是(0,2).
知识点
11.函数f(x)的定义域是R,f(0)=2,对任意x∈R,f(x)+f ′(x)>1,则不等式ex·f(x)>ex+1的解集为( )
正确答案
解析
令g(x)=ex•f(x)-ex,则g′(x)=ex•[f(x)+f′(x)-1]∵对任意x∈R,f(x)+f′(x)>1,∴g′(x)>0恒成立,即g(x)=ex•f(x)-ex在R上为增函数,又∵f(0)=2,∴g(0)=1故g(x)=ex•f(x)-ex>1的解集为{x|x>0},即不等式ex•f(x)>ex+1的解集为{x|x>0}
知识点
13. 设不等式组所表示的平面区域为S,若A、B为区域S内的两个动点,则|AB|的最大值______.
正确答案
解析
作出不等式组对应的平面区域如图:则由图象可知当A位于(0,3),B位于(2,0)时,|AB|的长度最大为|AB|==,
知识点
14.已知|a|=|b|=2,(a+2b)·(a-b)=-2,则a与b的夹角为________.
正确答案
解析
∵||=||=2∴||2=||2=4,∵(+2)·(-)=-2展开得:||2+•-2||2=4cosθ-4=-2,
即cosθ=又∵0≤θ≤π故θ=
知识点
16.函数f(x)=xex-a有两个零点,则实数a的取值范围是________.
正确答案
-<a<0
解析
∵函数f(x)=xex-a的导函数f′(x)=(x+1)ex,
令f′(x)=0,则x=-1
∵当x∈(-∞,-1)时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减;
当x∈(-1,+∞)时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;
故当x=-1时,函数取最小值f(-1)=-e-1-a,
若函数f(x)=xex-a有两个零点,
则f(-1)=-e-1-a<0;即a>- ,
又∵a≥0时,x∈(-∞,-1)时,f(x)=xex-a<0恒成立,不存在零点
故a<0综上,-<a<0
知识点
15.两个等差数列的前n项和之比为,则它们的第7项之比为________.
正确答案
3:1
解析
设这两个等差数列的前n项和分别为Sn,Tn,由题意知.
知识点
17. 已知函数f(x)=2sinxcos(x+)-cos2x+m.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)当时,函数f(x)的最小值为-3,求实数m的值
正确答案
解析
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知识点
18. 已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边,c=asinC-ccosA.
(1)求A;
(2)若a=,△ABC的面积为2,求b、c.
正确答案
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知识点
20. 椭圆C的中心在原点,一个焦点F(-2,0),且短轴长与长轴长的比是
(1)求椭圆C的方程;
(2)设点M(m,0)在椭圆C的长轴上,点P是椭圆上任意一点.当最小时,点P恰好落在椭圆的右顶点,求实数m的取值范围.
正确答案
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知识点
19.各项都为正数的数列{an},满足a1=1,。
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列的前n项和Sn.
正确答案
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知识点
21.点F为(1,0),M点在x轴上,P点在y轴上,且,
(1)当点P在y轴上运动时,求N点的轨迹C的方程;
(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2)、D(x3,y3)是曲线C上的三点,且、|、成等差数列,当AD的垂直平分线与x轴交于E(3,0)时,求B点的坐标.
正确答案
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知识点
22.已知.
(1)若 ,函数在其定义域内是增函数,求的取值范围;
(2)当,时,证明函数只有一个零点;
(3)的图象与轴交于, ()两点,中点为, 求证:.
正确答案
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