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2.设是虚数单位,若复数
为纯虚数,则实数
的值是( )
正确答案
解析
=
,若
为纯虚数,则
=0且
,所以a=2.
考查方向
解题思路
化简复数,根据纯虚数的概念求得a=2.
易错点
复数的化简.
4.已知,|
|=7,则
在
方向上的投影为( )
正确答案
解析
将||=7两边平方,得
=49,
=
,
在
方向上的投影为
=
.
考查方向
解题思路
由||=7得到
=
,再计算
=
.
易错点
向量的投影.
6.过双曲线(
,
)的右焦点
向渐近线作垂线,交两条渐近线于
,
两点,若
,则双曲线的离心率
等于( )
正确答案
解析
由图形可知,因为,所以A为BF的中点,又AF垂直渐近线,所以三角形OBF是等腰三角形,∠2=∠4,∠1=∠3,∠1=2∠2,又∠2+∠3=900,所以∠1=600,根据渐近线定义,OF=c,OA=a,所以离心率c/a=2.
考查方向
解题思路
主要是根据题设条件画出相关图形,如图,可得出0A是等腰三角形OBF的高,OF=c,OA=a,所以离心率c/a=2.
易错点
不能根据题意做出正确的几何简图。
7.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的所有棱中,最长的棱长为( )
正确答案
解析
结合三视图,画出立体图形的直观图,如图所示,根据三视图中的数据和位置关系可知,几何体为三棱锥B-ACD,高为BD,可求得BC=3,AB=CD=,AD=1,BD=2,AC=2
,所以最长棱为BC=3.
考查方向
解题思路
画出三视图对应的直观图,根据三视图中的数据和位置关系可知,最长棱为BC=3.
易错点
对三视图的判断, 几何图形的位置与数量关系.
10.在正方体中,
,
分别是
,
的中点,则
与平面
所成角的余弦值为( )
正确答案
解析
设正方体边长为2,则CE=1,DF=DE=,EF=
,设点C到面DEF的距离为h,则四面体FCDE的体积=
;所以有
,
=
=
,所以h=
.CE=1,因为BC与平面DEF所成的角,即为CE与平面DEF所成的角,设所成的角为
则
.
考查方向
解题思路
利用四面体的体积=;设出点C到面DEF的距离为h,求出体积及
即可求h.再根据线面角的定义,
.
易错点
本题用向量计算时坐标容易出错。
1.已知集合,
,M
N=( )
正确答案
解析
因为,所以-2
,m
M={-2,-1,0,1,2};
,所以M
N={2}.
考查方向
解题思路
化简M={-2,-1,0,1,2};,N={x|},然后求交集为{2}.
易错点
不等式解法.
3.若正方形边长为
,
为边上任意一点,则
的长度大于
的概率等于( )
正确答案
解析
取CD,BC的中点F,H,AF=AH=AE=,所以点E在折线FCH上运动,所以AE长度大于
的概率为2/8=0.25.
考查方向
解题思路
画出图形,得到长度大于的点的活动范围是图中的折线FCH,利用线段长度比得概率为0.25.
易错点
不能正确画出几何图形.
5.的展开式中,
的系数为( )
正确答案
解析
(x+y
,
,根据题意,m=2且
=2,求得m=2,k=1,所以
的系数为
=60,所以选A.
考查方向
解题思路
由二项式展开式可得,m=2且
=2,得m=2,k=1,
的系数为
=60,
易错点
对二项式定理的变式应用不熟练.
8.已知,函数
在
上单调递减,则
的取值范围是( )
正确答案
解析
函数的单调递减区间应满足 ,(k
),所以单调递减区间为[
],f(x)在给定的(
)区间上单调递减,则(
)
,解得:
,k=0时得
考查方向
解题思路
求出原函数的单调区间,因为原函数在给定的区间()上单调递减(
)
,解得:
易错点
函数在两个单调区间上递减的处理,集合的包含关系中端点值的取舍。
9.执行如图所示的程序框图,如果输入的,则输出的最后一个
的值为( )
正确答案
解析
s=0;
i=1,15?成立;
a=3,
s=s+a=0+6=6;
i=2,25?成立;
a=3
s=s+a=6+12=18;
……
s=s+a=6+12=186;
i=6, 65?不成立;所以S=186,所以答案选A.
考查方向
解题思路
根据程序的运行过程计算下去,当i=6, 65?不成立;所以S=186,所以答案选A.
易错点
对框图的结构不理解,导致程序运行有误。
11.,
,
是半径为
的圆上的三个动点,若
恒等于
,则
面积的最大值为( )
正确答案
解析
如图,不妨在圆中作等边三角形OPQ,则点A在优弧上运动时,∠PAQ恒等于,所以最大面积是当点A运动到最高点T时,此时面积最大,最大面积=
=2+
.
考查方向
解题思路
不妨在圆中作等边三角形OPQ,则点A在优弧上运动时,∠PAQ恒等于,即可求面积的最大值。
易错点
处理圆中的动点与恒定问题的方法。
12.已知奇函数是定义在
上的连续函数,满足
,且
在
上的导函数
,则不等式
的解集为( )
正确答案
解析
设F(x)=f(x)-,
,因为在(0,+
)上,
,所以F(x)在(0,+
)上
,所以F(x) 在(0,+
)上为减函数,设x
则-
,F(-x)=f(-x)+
,所以F(x)= f(x)-
,所以F(x)在R上为奇函数,又F(x) 在(0,+
)上为减函数,所以F(x)在R上为减函数,F(2)=f(2)-
=-1,又原不等式f(x)
可化为f(x)-
,即F(x)
,所以不等式的解集为(-
).
考查方向
解题思路
通过所求不等式变形为f(x)-,构造新函数F(x)= f(x)-
,利用已知条件,讨论新函数的单调性,即可解函数不等式F(x)
.
易错点
构造新函数,对函数的综合性质的应用。
15.已知实数,
满足
若
只在点
处取得最大值,则
的取值范围是__________.
13.若函数为奇函数,则实数
__________.
正确答案
解析
将原函数变为f(x)=(a-1)+,函数图象的对称中心为(1-
,a-1),所以1-
=0且a-1=0,解得a=1.
考查方向
解题思路
从函数的特征入手,形如f(x)=,可以转化成反比例函数的平移,利用分离常数法求出对称中心,若为奇函数,则对称中心为(0,0).
易错点
没有抓住函数特征,进而无法确定函数的对称中心。
14.已知数列的前
项和为
,
,
(
),则
__________.
正确答案
解析
+
+
=2
,
=2
=6,
,所以当n
时,
,两式相减整理得,
,所以该数列从第2项起为公比为3的等比数列,所以
=162. 当n
时,
,与
对应相减,得
,该数列从第2项起为公比为3的等比数列,即可求解。
考查方向
解题思路
通过数列的前n项和与通项的关系。,所以该数列从第2项起为公比为3的等比数列,所以
=162.
易错点
应用公式,不能忽略条件 n
.
16.是过抛物线
的焦点的弦,点
坐标为
,当
时,直线
的方程为__________.
正确答案
解析
如图,设抛物线的焦点为F,则F(1,0),因为M(-1,0),所以过M 作直线l⊥x轴,则l为抛物线的准线,不妨设点A()在x轴上方,点B(
)在x轴下方,过A,B作直线l的垂线,垂足分别为A1、B1,由抛物线的几何意义可知,
|MA=
, |MB
=
,
tan∠AMB=
,
sin∠AMB=
,
|MA||MB|sin∠AMB=
;
=
|MF|(|
|+|
|)=
|MF||
-
|=|
-
|,
所以|MA||MB|sin∠AMB=|
-
|(※)
又=4
,
=4
,(※)可转化为
,
的代数式,
即(
+1)(
+1)=
+
+2.
化简上式+
+
+36
+
+
+1=25(
+
+2).(▲)
设直线AB:与
联立,得
=-4;
=4t,
又因为=4
,
=4
,
所以=1,代入(▲)中,整理得(
+
-13(
+
)-14=0,
解得,+
=14,又由直线可知,,
+
=2+t(
),
即14=2+4 ,所以
=3,t=
,
所以直线方程为x.
考查方向
解题思路
利用抛物线的几何性质,构建以面积为“桥梁”的等式关系|MA||MB|sin∠AMB=|
-
|,再将等式转化成
,
的代数式,利用根与系数的关系求得直线中重要参量t,进而确定出直线方程。
易错点
由于本题的代数解法中出现大量运算,易在推导中出现符号和整理上的错误。
如图,在四边形中,
,
,
,将
沿
折起,得到三棱锥
,
为
的中点,
为
的中点,点
在线段
上,满足
.
19.证明:平面
;
20.若,在线段
上是否存在点
,使得二面角
的余弦值为
?若存在,求出此时
的值;若不存在,请说明理由.
正确答案
略.
解析
解:过点作
的平行线,交直线
于点
,
过点作
的平行线,交直线
于点
,…………………………………1分
,
,
,
且,
四边形
为平行四边形,……………………3分
,且
平面
,
平面
,
平面
.……………………………………………………………4分
考查方向
解题思路
根据已知条件,主要是在面中找与MN平行的直线,由题中的线段比例关系可得,过M,N作BD的平行线,证明四边形为平行四边形,证得MN//EF,从而得证。
易错点
容易忽略证明线面平行时的三个条件。
正确答案
解析
,
,且
,
,
平面
,如图以
为坐标原点,建立空间直角坐标系,……………………………6分
则有,
,
,
.
设(
),
,
,
,
设平面BQC的法向量为,
解得,………………9分
又平面的法向量为
,…………10分
由,
,
或
(舍去),
.……………………………………………………12分
考查方向
解题思路
如图,以为坐标原点,建立空间直角坐标系,分别求出两个面的法向量。
通过二面角平面角的余弦值。解出参数
。
易错点
空间坐标系的建立以及坐标的运算、向量的计算。
的内角
,
,
的对边分别为
,
,
,已知
.
17.求;
18.若,且
边的中线
,求
的值.
正确答案
B=
解析
由已知,得 ,所以,1+cos(A+C)=cosB……3分
即1-cosB=cosB,所以cosB=…………………………………………………………5分
因为B,所以B=
………………………………………………………………6分.
考查方向
解题思路
根据等式的特点,利用余弦定理及三角恒等变化将边转成角,即可解出角B.
易错点
对余弦定理及三角恒等变换公式应用不熟。
正确答案
a=1
解析
因为MB为AC边的中线,所以+
)……………………8分
两边同时平方,得,
整理,得,…………………………………………………………10分
解得(舍去)或
.……………………………………………………12分
考查方向
解题思路
应用中线向量的公式得+
),再由题中条件转成a的方程,即可求解。
易错点
中线向量公式的应用。
已知抛物线,过动点
作抛物线的两条切线,切点分别为
,
,且
.
24.求点的轨迹方程;
25.试问直线是否恒过定点?若恒过定点,请求出定点坐标;若不恒过定点,请说明理由.
正确答案
y=1.
解析
设,则直线
:
,代入抛物线方程:
,因为直线与抛物线相切,
,…………………………………………………2分
同理,有,……………………………………………………3分
,
分别为方程
的两个不同的实数根,………………5分
,
,
点
的轨迹方程为
.…………………6分
考查方向
解题思路
设出点设,写出两直线的方程并与抛物线联立,因为两直线与抛物线相切,判别式等于零,再结合两切线的斜率之积为定值,即可解出动点轨迹。
易错点
动点轨迹的求法及直线与抛物线相切条件的转换.
正确答案
直线恒过定点
.
解析
设,
,则抛物线
即
,抛物线在A,B点的切线方程分别为
,
,……8分
又都过点,
………………………………………………9分
直线
的方程为
,……………………………………………………11分
直线
恒过定点
.………………………………………………………………12分
考查方向
解题思路
设出A,B坐标,利用导数写出两切线的方程分别为,
,利用点在两切线上,直接写出AB方程:
,由方程点斜式可知,直线过定点(0,1).
易错点
不容易想到切线用导数方法确定,如用其它方法计算量大,易出错。
定义在上的函数
及其导函数
满足
.
26.求函数的解析式;
27.若不等式在
(
)上的解集非空,求实数
的取值范围.
正确答案
解析
由已知,可得,即
,………1分
设,则
(
为常数).
即,…………………………………………………………2分
函数在定义域
上为连续函数,
,解得
.………………………………………4分
,
(
).…………………………5分
当时,由
,可得
6分
考查方向
解题思路
用导数确定函数解析式,主要是将导数进行合理的还原.,即
,设
,则
(
为常数).由定义域的特殊值,求得a=
,
,
(
).最后改写成分段函数形式
易错点
将导数还原成原函数时,易出现x的原函数写成(2). 忽略函数定义域,函数没有写成分段函数形式。
正确答案
(0,)
解析
,
,
在
上的解集非空,即
在
上有解.
,使
.
设(
),则只需
.……………………8分
,令
(
),
,
在
为增函数.
当
时,
.
.
在
为减函数,
.……………………11分
,解得
.
实数
的取值范围是
.………12分
考查方向
解题思路
首先将题意进行等价转化,在
上的解集非空,即
在
上有解.
,使
.设
(
),则只需
接下来,求导,确定单调区间,进而求出最小值。
易错点
确定函数的单调区间和最值;存在性问题的数学思想转换.
选修4-5:不等式选讲
设函数.
30.求函数的最小值;
31.若有解,求实数
的取值范围.
正确答案
3
解析
由不等式的性质,可得,
所以当且仅当时函数
的最小值为
.…………………………5分
考查方向
解题思路
直接由绝对值和不等式的性质可得当且仅当
时函数
的最小值为
.
易错点
本题容易在解题的严密性上出现逻辑错误.
正确答案
可得或
.
解析
,……………………………………7分
又函数恒过定点
,结合函数图象,可得
或
.…………10分
考查方向
解题思路
将函数f(x)写成分段函数,并画出图象,由图象可知A(-),B(1,3)设g(x)=
,直线过定点C(0,1),直线BC斜率
,利用数形结合,可得
或
.
易错点
数形结合应用失误。
某学校为了制定治理学校门口上学、放学期间家长接送孩子乱停车现象的措施,对全校学生家长进行了问卷调查.根据从其中随机抽取的份调查问卷,得到了如下的列联表:
已知在抽取的份调查问卷中随机抽取一份,抽到不同意限定区域停车问卷的概率为
.
21.请将上面的列联表补充完整;
22.是否有的把握认为是否同意限定区域停车与家长的性别有关?请说明理由;
23.学校计划在同意限定区域停车的家长中,按照性别分层抽样选取人,在上学、放学期间在学校门口维持秩序.已知在同意限定区域停车的
位女性家长中,有
位日常开车接送孩子.记参与维持秩序的女性家长中,日常开车接送孩子的女性家长人数为
,求
的分布列和数学期望.
附临界值表及参考公式:
,其中
.
正确答案
略
解析
列联表补充如下:
考查方向
解题思路
根据题意,直接填写列联表中的数据。
易错点
列联表中的数据统计.
正确答案
有的把握认为是否同意限定区域停车与家长的性别有关.
解析
因为,所以我们有
的把握认为是否同意限定区域停车与家长的性别有关.…………………………………5分
考查方向
解题思路
根据列联表算出卡方的观测值,并与临界值进行对比,P(
)=0.005, 所以我们有
的把握认为是否同意限定区域停车与家长的性别有关.
易错点
卡方公式计算以及卡方观测值解释。
正确答案
的分布列(略),E
=0.9.
解析
由题意知,同意限定区域停车的位女性家长中,参与维持秩序的女性家长人数为
人.随机变量
的所有可能取值为
,
,
,
.…………6分
;
;
;
.
所以的分布列为
…………………………………………………………………………………10分
则.………………………12分
考查方向
解题思路
根据题意,随机变量的所有可能取值为0,1,2,3,并分别求出对应的概率,既可得到列联表,然后利用期望公式,计算随机变量数学期望.
易错点
随机变量的确定以及对应的概率.
选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为
(
,
为参数)若以坐标系原点为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
(
).
28.求曲线的普通方程和曲线
的直角坐标方程;
29.将曲线向下平移
(
)个单位后得到的曲线恰与曲线
有两个公共点,求实数
的取值范围.
正确答案
(
,
),
:
.
解析
解:(Ⅰ)由已知,消去参数,得
:
(
,
),…………………………………3分;
由互化公式
:
.………………………………………………………………………………5分
考查方向
解题思路
:可根据参数的几何意义,直接写出曲线
的普通方程;
由互化公式
,所以
直角坐标方程为y=x.
易错点
容易忽略变量的取值范围.
正确答案
解析
将曲线向下平移
(
)个单位后得到的曲线对应方程为
,则当直线与圆相切时,
,即
,……………………………8分
又直线恰过点时,
,结合图象,可得
.…………10分
考查方向
解题思路
先确定直线与圆相切的条件, 再结合图形,直线恰过点(2,-2),可得
.
易错点
忽略数形结合,m的范围易在端点处出错.