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1.已知集合,则 等于( )
正确答案
解析
由可得或,所以或,又,所以,因此A不正确,B不正确,D不正确,所以选C选项.
考查方向
解题思路
解本题可先将集合A进行化简,然后根据集合交集定义进行求解即可.
易错点
本题的易错点是集合A的化简以及交集定义.
2.复数的实部为( )
正确答案
解析
因为,所以复数z的实部为0. 因此B不正确,C不正确,D不正确,所以选A选项.
考查方向
解题思路
解本题可应先将复数z进行化简,然后根据复数的概念进行解答即可.
易错点
本题的易错点是复数的运算和复数概念.
7.若实数满足不等式组且的最大值为5,则等于( )
正确答案
解析
作出实数满足不等式组表示的平面区域,如图:
的最大值为5,由可行域可知,经过A时,z取得最大值,
由,可得可得,解得.因此A不正确,B不正确,D不正确,所以选C选项.
考查方向
解题思路
画出约束条件的可行域,利用目标函数的几何意义,在可行域中找出最优点,然后求解即可.
易错点
本题的易错点是不等式组表示的平面区域以及简单的线性规划.
8.如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( )
正确答案
解析
根据几何体的三视图可得该几何体下面是一个三棱柱,底面是等腰直角三角形,直角边长为4,高为1,上面是一个长方体,长、宽、高分别为2,2,1,
所以该几何体的体积为,因此A不正确,B不正确,D不正确,所以选C选项.
考查方向
解题思路
解本题可先根据几何体的三视图可得该几何体是三棱柱和长方体组合而成,进而根据三视图得出有关数据,再根据简单几何体的体积公式进行计算即可.
易错点
本题的易错点是根据几何体的三视图还原几何体的直观图以及简单几何体的体积公式.
9.若,则实数的值为( )
正确答案
解析
由可得
即,
所以,即,解得.因此B不正确,C不正确,D不正确,所以选A选项.
考查方向
解题思路
利用“切化弦”的思想,在结合二倍角即可求解.
易错点
本题的易错点是二倍角公式和同角三角函数基本关系式的应用.
10.已知在区间(0,4)内任取一个为,则不等式的概率为( )
正确答案
解析
由题意可得且
或且,解得或,所以原不等式的解集为,因此所求的概率为,所以A不正确,C不正确,D不正确,所以选B选项.
考查方向
解题思路
先求出不等式的解集,再根据几何概型的概率公式进行求解即可得出结论.
易错点
本题的易错点是不能正确的得出不等式的解集以及几何概型的概率公式.
3.假设有两个分类变量和的列联表为:
对同一样本,以下数据能说明与有关系的可能性最大的一组为( )
正确答案
解析
根据2×2列联表与独立性检验的应用问题,当与相差越大,X与Y有关系的可能性越大;即a、c相差越大,与相差就越大,根据题中选项中的数据可得A中的差距最大,因此B不正确,C不正确,D不正确,所以选A选项.
考查方向
解题思路
根据题意,a、c相差越大,与相差就越大,
由此得出X与Y有关系的可能性越大.
易错点
本题的易错点是独立性检验的应用.
4.已知函数的最小正周期为,则函数的图像( )
正确答案
解析
因为函数的最小正周期为,所以,所以,
所以,因此函数的图像可由函数的图像向右平移个单位而得,因此A不正确,B不正确,C不正确,所以选D选项.
考查方向
解题思路
解本题可先由函数的最小正周期可得出,然后得出函数的解析式,进而根据函数图像的平移变换可得出结论.
易错点
本题的易错点是函数解析式的求解以及函数图像的平移变换.
5.执行如图的程序框图,若输入的值为3,则输出的值为( )
正确答案
解析
模拟程序的运行,可得
满足条件,执行循环体,,
满足条件,执行循环体,,
满足条件,执行循环体,,
满足条件,执行循环体,,
此时,不满足条件,退出循环,输出S的值为15.因此A不正确,C不正确,D不正确,所以选B选项.
考查方向
解题思路
模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的n,S的值,当n=5,S=15时,不满足条件S<kn=15,退出循环,输出S的值为15,即可得解.
易错点
本题的易错点是循环结构的程序框图的应用.
6.在中,,且,则等于( )
正确答案
解析
因为,所以点D为边AB上的靠近B点的三等分点,因为AB=3,所以AD=2,
所以
.因此A不正确,B不正确,C不正确,所以选D选项.
考查方向
解题思路
解本题可先根据已知条件得出点D的位置,进而得出AD=2,然后再根据平面向量数量积的定义得出结论.
易错点
本题的易错点是平面向量的数量积的定义.
11.已知抛物线的焦点为,点是抛物线上一点,圆与线段相交于点,且被直线截得的弦长为.若,则等于( )
正确答案
解析
由题意是抛物线上一点,则,即,①
由抛物线的性质可知,,由可得,
因为直线截得的弦长为,则,
由,在中,,
即,代入整理的:,②
由①②解得,所以.因此A不正确,C不正确,D不正确,故选B选项.
考查方向
解题思路
解本题可根据是抛物线上一点得出,再根据椭圆的性质,分别表示出,然后利用勾股定理求出与的关系,再与联立即可求出,进而求得即可.
易错点
本题的易错点是抛物线和椭圆的性质的应用.
12.已知函数,且,设函数在区间上的最小值为,则的取值范围是( )
正确答案
解析
因为,所以,
因为,所以,又,所以,
由,解得,由,解得,
所以为函数的极小值点,也是最小值点,
所以函数的最小值为,
所以,由可得,
所以函数在上单调递减,所以当时,取得最大值为,
当时,取得最小值为-2,所以的取值范围为.因此B不正确,C不正确,D不正确,所以选A选项.
考查方向
解题思路
解本题可先利用导数求出函数的最小值,然后再根据导数以及求出的最值,进而得出的取值范围.
易错点
本题的易错点是利用导数研究函数的单调性和最值.
13. 的展开式中常数项为 .
正确答案
43
解析
因为,所以所求常数项即可中的常数项之和,又中的常数项即为中含项的系数,即;
又中的常数项即为中常数项的3倍,即为,因此所求的常数项为40+3=43.
考查方向
解题思路
解本题可先将式子进行变形,然后根据二次项定理进行求解即可.
易错点
本题的易错点是二项式定理.
16.在长方体中,底面是边长为的正方形, ,是的中点,过作平面与平面交于点,则与平面所成角的正切值为 .
正确答案
解析
连结,交于点,因为四边形是正方形,底面,
所以平面,则当与垂直时,平面,
因为平面,所以,所以是与平面所成角,
在矩形中,,则,
因为,所以,所以,
所以,所以与平面所成角的正切值为.
考查方向
解题思路
连结,交于点,当与垂直时,平面,从而,进而是与平面所成角,由,求出,由此即可得出结论.
易错点
本题的易错点是正确的找出线面角.
14.已知双曲线的左、右端点分别为,点,若线段的垂直平分线过点,则双曲线的离心率为 .
正确答案
解析
由题意可得,又点,所以AC的中点为,
所以,由线段的垂直平分线过点,可得,
即,所以,所以双曲线的离心率为.
考查方向
解题思路
解本题根据题意得出A,B的坐标,然后求出AC的中点坐标,再根据线段的垂直平分线过点,可得,进而求解即可得出结论.
易错点
本题的易错点是双曲线的简单几何性质以及两直线垂直斜率的关系.
15.我国南宋著名理科数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”,设三个内角所对的边分别为,面积为,则“三斜求积”公式为,若,,则用“三斜求积”公式求得的面积为 .
正确答案
解析
根据正弦定理:由可得:,由于,可得,
所以.
考查方向
解题思路
由已知利用正弦定理可求的值,可求,代入“三斜求积”公式即可计算得解.
易错点
本题的易错点是正弦定理的应用.
已知等比数列的前项和,且.
17.求的值及数列的通项公式;
18.若,求数列的前项和.
正确答案
解析
∵,∴当时,,
当时,,即,
∵是等比数列,∴,则,得,
∴数列的通项公式为.
考查方向
解题思路
解本题可先根据数列的前n项和求出通项,然后再根据求出a的值即可.
易错点
本题的易错点是利用等比数列的前n项和求数列的通项公式.
正确答案
解析
由得,
∴
考查方向
解题思路
解本题可先根据数列的通项公式求出数列的通项公式,进而得出数列的通项公式,然后再利用裂项相消法进行求和即可.
易错点
本题的易错点是裂项相消法数列求和.
某中点中学为了了解高一年级学生身体发育情况,对全校700名高一年级学生按性别进行分层抽样检查,测得身高(单位: )频数分布表如下表1、表2.
19.求该校高一女生的人数;
20.估计该校学生身高在[165,180)的概率;
21.以样本频率为概率,现从高一年级的男生和女生中分别选出1人,设表示身高在[165,180)学生的人数,求的分布列及理科数学期望.
正确答案
300
解析
设高一女生人数为,由表1和表2得样本中男、女生人数分布为40和30,
则,得,即该校高一女生的人数为300.
考查方向
解题思路
先根据样本得出男女生人数,进而根据分层抽样进行求解即可得出结论.
易错点
本题的易错点是分层抽样.
正确答案
解析
由表1、表2知,样本中身高在[165,180)的学生人数为:,
样本容量为70,所以样本中学生身高在[165,180)的频率为,
故由频率估计该校学生身高在[165,180)的频率.
考查方向
解题思路
先根据样本得出身高在[165,180)的学生人数,然后根据频数除以样本容量即为频率进行求解即可.
易错点
本题的易错点是频率的计算公式.
正确答案
分布列略,理科数学期望为
解析
依题意知的可能取值为0,1,2,
由上表知:女生的身高在[165,180)的频率为,男生身高在[165,180)的频率为,
∴,
,
,
∴的分布列为:
的理科数学期望.
考查方向
解题思路
解本题可先得出X的可能取值,然后求出X取每一个值时的概率,进而得出概率分布列,计算理科数学期望.
易错点
本题的易错点是离散型随机变量的概率分布列和理科数学期望.
已知右焦点为的椭圆过点,且椭圆关于直线对称的图形过坐标原点.
24.求椭圆的方程;
25.过点作直线与椭圆交于两点,线段的中点为,点是椭圆的右顶点,求直线的斜率的取值范围.
正确答案
解析
∵椭圆过点,∴,①
∵椭圆关于直线对称的图形过坐标原点,∴,
∵,∴,②
由①②得,
∴椭圆的方程为.
考查方向
解题思路
先根据点在椭圆上,得出的一个关系式,然后再根据椭圆关于直线对称的图形过坐标原点得出的关系式,再结合椭圆中的关系即可求出,进而写出方程即可.
易错点
本题的易错点是不能正确的得出的关系式.
正确答案
解析
(2)依题意,直线过点且斜率不为零,故可设其方程为.
由方程组消去,并整理得.
设,
∴,
∴,
∴,∴.
①当时,;
②当时,,
∵,∴.
∴,∴且.
综合①、②可知,直线的斜率的取值范围是.
考查方向
解题思路
直线过点且斜率不为零,故可设其方程为,再将直线方程与椭圆方程联立,把的斜率用直线的斜率表示,进而由基本不等式求得范围.
易错点
本题的易错点是“设而不求”的解题思想方法的应用和利用基本不等式求最值.
在如图所示的几何体中,四边形是矩形,平面,是的中点.
22.求证:平面;
23.若,求二面角的余弦值.
正确答案
取的中点,连接,∵,∴,
∵,∴,∵是的中位线,∴,
∵,∴平面平面,
∵平面,∴平面.
考查方向
解题思路
先根据三角形中位线的性质得出,进而根据线面平行的判定定理进行证明即可.
易错点
本题的易错点是线面平行的判定定理.
正确答案
解析
连接,则,以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,
∴.
设平面的一个法向量为,则即
令,则,∴.
∵向量是平面的一个法向量,∴.
又由图可知二面角为锐二面角,
∴二面角的余弦值为.
考查方向
解题思路
解本题应先建立空间直角坐标系,然后求出二面角中的两半平面的法向量,进而利用空间向量的数量积求夹角余弦值即可.
易错点
本题的易错点是空间直角坐标系的建立和利用利用空间向量的数量积求夹角.
选修4-5:不等式选讲
设函数.
30.求不等式的解集;
31.若关于的不等式有解,求实数的取值范围.
正确答案
解析
函数可化为
当时,,不合题意;
当时,,即;
当时,,即.
综上,不等式的解集为.
考查方向
解题思路
先将函数化为分段函数,然后分段讨论,进而得出结论.
易错点
本题的易错点是绝对值不等式的解法.
正确答案
解析
关于的不等式有解等价于,
因为,得,
即,解得.
所以m的取值范围为.
考查方向
解题思路
关于的不等式有解等价于,再根据分段函数的图象,确定函数的最大值,从而可求实数的取值范围.
易错点
本题的易错点是不等式的等价转化以及绝对值的几何意义.
已知函数,其中.
26.设函数,求函数的单调区间;
27.若存在,使得成立,求的取值范围.
正确答案
当时,在上单调递减,在上单调递增;当时,函数在上单调递增.
解析
,
,
①当时,即时,在上,在上,
所以在上单调递减,在上单调递增;
②当,即时,在上,
所以,函数在上单调递增.
考查方向
解题思路
求出的导数,通过讨论的范围,求出函数的单调区间,从而进一步确定的范围即可.
易错点
本题的易错点是利用导数研究函数的单调性.
正确答案
解析
若存在,使得成立,即存在,使得,即函数在上的最小值小于零.
由(1)可知:
①当,即时,,在上单调递减,
所以的最小值为,
由可得,
因为,所以.
②当,即时,在上单调递增,
所以最小值为,由可得.
③当,即时,可得的最小值为,
因为,所以,,故,不合题题.
综上可得,所求的范围是.
考查方向
解题思路
解本题可先将不等式进行变形,然后构造函数,进而将本题转化为求函数在给定区间上的最值进行求解即可.
易错点
本题的易错点是不等式的恒等转化以及利用导数求函数最值.
选修4-4:坐标系与参数方程
在极坐标系中,已知三点.
28.求经过的圆的极坐标方程;
29.以极点为坐标原点,极轴为的正半轴建立平面直角坐标系,圆的参数方程为(是参数),若圆与圆外切,求实数的值.
正确答案
解析
对应的直角坐标分别为,则过的圆的普通方程为,又因为,代入可求得经过的圆的极坐标方程为.
考查方向
解题思路
解本题可先将三点的极坐标化为直角坐标,然后求出过三点的圆的一般式方程,进而化为极坐标方程即可.
易错点
本题的易错点是极坐标与直角坐标的互化公式和圆的一般式方程的求解.
正确答案
解析
圆:(是参数)对应的普通方程为,
当圆与圆外切时,有,解得.
考查方向
解题思路
解本题可先将圆的参数方程化为普通方程,然后根据两圆外切的半径关系得出结论.
易错点
本题的易错点是参数方程与普通方程的互化以及两圆位置关系.