• 理科数学 常州市2014年高三试卷
填空题 本大题共14小题,每小题5分,共70分。把答案填写在题中横线上。
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1.设集合,则=(    )

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2. 若,i为虚数单位),则的值为(    )

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3.已知双曲线的一条渐近线方程为,则a的值为(    )

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4.某学校选修羽毛球课程的学生中,高一,高二年级分别有80名,50名。现用分层抽样的方法在这130名学生中抽取一个样本,已知在高一年级学生中抽取了24 名,则在高二年级学生中应抽取的人数为(    )

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5.某市连续5天测得空气中PM2.5(直径小于或等于2.5微米的颗粒物)的数据(单位:)分别为115,125,132,128,125,则该组数据的方差为(    )

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6.函数的最小正周期为(     )

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7.已知5瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁类饮料。从这5瓶饮料中随机取2瓶,则所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为(    )

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9.若曲线与曲线处的切线互相垂直,则实数a的值为(    )

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8.已知实数满足约束条件的最大值为(    )

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11.已知,等比数列中,,若数列的前2014项的和为0,则的值为(     )

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10.给出下列命题:

(1)若两个平面平行,那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面;

(2)若两个平面平行,那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面;

(3)若两个平面垂直,那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面;

(4)若两个平面垂直,那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面。

则其中所有真命题的序号为(    )

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12.已知函数f(x)=,则实数k的取值范围为(    )

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14.在平面直角坐标系中,已知圆O:,点,M,N为圆O上不同的两点,且满足.若,则的最小值为(    )

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13.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,则(    )

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简答题(综合题) 本大题共130分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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15.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.设向量

(1)若,求角A;

(2)若,求的值。

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16.如图,在直三棱柱中,AB⊥BC,E,F分别是的中点。

(1)求证:EF∥平面ABC;

(2)求证:平面⊥平面

(3)若,求三棱锥的体积。

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18.在平面直角坐标系中,椭圆E:的右准线为直线l,动直线交椭圆于A,B两点,线段AB的中点为M,射线OM分别交椭圆及直线l于P,Q两点,如图,若A,B两点分别是椭圆E的右顶点,上顶点时,点的纵坐标为(其中为椭圆的离心率),且

(1)求椭圆E的标准方程;

(2)如果OP是OM,OQ的等比中项,那么是否为常数?若是,求出该常数;若不是,请说明理由。

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17.设等差数列的公差为d,前n项和为,已知

(1)求数列的通项公式;

(2)若为互不相等的正整数,且等差数列满足,求数列的前n项和

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19.几名大学毕业生合作开设打印店,生产并销售某种产品。已知该店每月生产的产品当月都能销售完,每件产品的生产成本为元,该店的月总成本由两部分组成:第一部分是月销售产品的生产成本,第二部分是其它固定支出元。假设该产品的月销售量(件)与销售价格(元/件)()之间满足如下关系:

①当时,

②当时,。设该店月利润为(元),月利润=月销售总额-月总成本。

(1)求关于销售价格的函数关系式;

(2)求该打印店月利润的最大值及此时产品的销售价格。

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22.如图,三棱锥P-ABC中,已知平面PAB⊥平面ABC,AC⊥BC,AC=BC=2a,点O,D分别是AB,PB的中点,PO⊥AB,连结CD。

(1)若,求异面直线PA与CD所成角的余弦值的大小;

(2)若二面角A-PB-C的余弦值的大小为,求PA。

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23.设集合A,B是非空集合M的两个不同子集,满足:A不是B的子集,且B也不是A的子集。

(1)若M=,直接写出所有不同的有序集合对(A,B)的个数;

(2)若M=,求所有不同的有序集合对(A,B)的个数。

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20.已知函数

(1)当时,求函数的极大值;

(2)求函数的单调区间;

(3)当时,设函数,若实数满足:,求证:

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21.【选做题】

在A、B、C、D 四小题中只能选做两题。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

A.选修4-1:几何证明选讲

      如图,等腰梯形ABCD内接于,AB∥CD。过点A作的切线交CD的延长线于点E。

           

     求证:

B.选修4-2:矩阵与变换

     已知直线在矩阵对应的变换作用下得到直线,若直线过点(1,1),求实数a的值。

C.选修4-4:坐标系与参数方程

     在极坐标系中,已知点,直线,求点P到直线的距离。

D.选修4-5:不等式选讲

     已知,求证:


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