• 理科数学 常州市2012年高三试卷
填空题 本大题共14小题,每小题5分,共70分。把答案填写在题中横线上。
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1.若复数)是纯虚数,则实数a的值为(        )

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2.集合A={0,2,a},B={1,a2},若A∪B={0,1,2,4,16},则a的值为(    )

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3.经过点(2,-1),且与直线2x-3y-1=0垂直的直线方程是(    )

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4.平面直接坐标系xoy中,角α的始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=﹣x上,则sinα=(    )

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5.某学校有两个食堂,甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐,则他们在同一个食堂用餐的概率为(    )

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6.下图是一个算法流程图,则执行该算法后输出的s=(    )

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7.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=1,b=2,cosC=,则sinB=(    )

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8.设向量的夹角为120°,则实数k=(     )

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9.过点的直线l与圆C:(x-1)2+y2=4交于A、B两点,C为圆心,当∠ACB最小时,直线l的方程为(    )

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10.已知函数f(x)=,若f(3-2a2)>f(a),则实数a的取值范围是(     )

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11.设函数f(x)=(x>0),观察:f1(x)=f(x)=,f2(x)=f(f1(x))=,f3(x)=f(f2(x))=,…,根据以上事实,由归纳推理可得:当n∈N*且n≥2时,fn(x)=(    )

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12.如图,在平面直角坐标系xoy中,A1,A2,B1,B2为椭圆的四个顶点,F为其右焦点,直线A1B2与直线B1F相交于点T,线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点,则该椭圆的离心率为(          )

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14.已知f(x)=cosx,g(x)=sinx,记Sn=2,Tm=S1+S2+…+Sm,若Tm<11,则m的最大值为(      )

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13.已知函数f(x)=,若关于的方程满足f(x)=m(m∈R)有且仅有三个不同的实数根,且α,β分别是三个根中最小根和最大根,则的值为(        )

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简答题(综合题) 本大题共90分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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16.已知⊙C过点P(1,1),且与⊙M:(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)关于直线x+y+2=0对称。

(1)求⊙C的方程;

(2)设Q为⊙C上的一个动点,求的最小值。

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15.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且

(Ⅰ)求的值;

(Ⅱ)若,求△ABC面积的最大值。

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19.设数列{an},对任意n∈N*都有(kn+b)(a1+an)+p=2(a1+a2…+an),(其中k、b、p是常数)。

(1)当k=0,b=3,p=-4时,求a1+a2+a3+…+an

(2)当k=1,b=0,p=0时,若a3=3,a9=15,求数列{an}的通项公式;

(3)若数列{an}中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项,则称该数列是“封闭数列”。当k=1,b=0,p=0时,设Sn是数列{an}的前n项和,a2-a1=2,试问:是否存在这样的“封闭数列”{an},使得对任意n∈N*,都有Sn≠0,且.若存在,求数列{an}的首项a1的所有取值;若不存在,说明理由。

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17.如图,2012年春节,摄影爱好者S在某公园A处,发现正前方B处有一立柱,测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为30°,已知S的身高约为米(将眼睛距地面的距离按米处理)。

(1)求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度;

(2)立柱的顶端有一长2米的彩杆MN绕中点O在S与立柱所在的平面内旋转。摄影者有一视角范围为60°的镜头,在彩杆转动的任意时刻,摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面?说明理由。

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18.如图,椭圆C:+=1的右顶点是A,上下两个顶点分别为B,D,四边形DAMB是矩形(O为坐标原点),点E,P分别是线段OA,MA的中点。

(1)求证:直线DE与直线BP的交点在椭圆C上。

(2)过点B的直线l1,l2与椭圆C分别交于R,S(不同于B点),且它们的斜率k1,k2满足k1•k2=-求证:直线SR过定点,并求出此定点的坐标。

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20.已知函数(a∈R且a≠0)

(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;

(Ⅱ) 记函数y=F(x)的图象为曲线C.设点A(x1,y1),B(x2,y2)是曲线C上的不同两点,如果在曲线C上存在点M(x0,y0),使得:

②曲线C在M处的切线平行于直线AB,则称函数F(x)存在“中值相依切线”。

试问:函数f(x)是否存在“中值相依切线”,请说明理由。

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