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2.的共轭复数为
正确答案
6.下列说法不正确的是
正确答案
3.已知,则
的值为
正确答案
5.执行如图所示的程序框图,输出的
正确答案
8.等比数列的前
项和为
,已知
,且
与
的等差中项为
,则
正确答案
9.函数的图像大致为
正确答案
10.已知函数,若
,则
零点所在区间为
正确答案
4.如图,网格上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则几何体的表面积为
正确答案
1.已知集合,集合
,则
正确答案
7.已知某线性规划问题的约束条件是,则下列目标函数中,在点
处取得最小值是
正确答案
12.设函数的最小值记为
,则函数
的单调递增区间为
正确答案
11.如图,已知椭圆的中心为原点
,
为
的左焦点,
为
上一点,满足
,则椭圆的方程为
正确答案
13._______.
正确答案
e
15.函数且
的图象恒过定点
,若点
在直线
上,则
的最小值为_______.
正确答案
2
14.设两个非零向量与
,满足
,,则向量
与
的夹角等于_______.
正确答案
16.若实数满足方程
(
是自然对数的底),则
_______.
正确答案
1
17.已知公差不为0的等差数列满足
,且
,
,
成等比数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,求数列
的前
项和
.
正确答案
18.在中,内角
、
、
所对的边分别为
,
,
,
,且
.
(1)求角的值;
(2)设函数,且
图象上相邻两最高点间的距离为
,求
的取值范围.
正确答案
(I)因为,由余弦定理知
,所以
,…1分
又因为,则由正弦定理得
, ……………………2分
所以, ……………………4分
因为, ……………………5分
所以. ……………………6分
(Ⅱ), ……………………8分
由已知, ……………………9分
则
因为,
,
所以,整理得
.
因为,所以
,所以
. ……………………10分
① ,
② ,
故的取值范围是
. ……………………12分
19.如图,平面,四边形
底面为矩形,
,
为
的中点,
.
(1)求证:;
(2)若,求二面角
的余弦值
正确答案
连接,因为
,
是
的中点,故
.
又因为平面平面
,面
面
,
面
,
故平面
.
因为面
,于是
. ……………………2分
又,
,所以
平面
,所以
. ……………………4分
又因为,
,故
平面
, ……………………5分
所以. ……………………6分
(Ⅱ)由(I)得,,不妨设
,取
的中点
,以
为原点,
所在的直线分别为
轴,建立空间直角坐标系。因为
,所以,
,于是有
,从而
,
,设平面
的法向量
,由
得得
, …………………………9分
同理,可求得平面的一个法向量
,设
的夹角为
,
则, …………………………11分
由于二面角为钝二面角,所以所求余弦值为
. …………………………12分
20.抛物线准线过椭圆
的左焦点,以原点为圆心,以
为半径的圆分别与抛物线
在第一象限的图像以及
轴的正半轴相交于点
,直线
与
轴相交于点
(1)求抛物线的方程
(2)设点的横坐标为
,点
的横坐标为
,抛物线
上点
的横坐标为
,求直线
的斜率
正确答案
(I)因为椭圆的左焦点为
,所以
,可得
,
故抛物线方程为. …………………………4分
(II) 由题意知,,因为
,所以
,
由于,故有
① …………………………6分
由点的坐标知,直线
的方程为
,
又因为点在直线
上,故有
, …………………………8分
将①代入上式,得,
解得, …………………………10分
又因为或
,
所以直线的斜率
或. ………………12分
24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
已知函数,
.
(1)若关于的不等式
的解集为
,求实数
的值;
(2)若的图象恒在
图象的上方,求实数
的取值范围.
正确答案
因为,所以
,所以
,……………3分
由题意知 ,所以
. ………………………5分
(Ⅱ)因为图象总在
图象上方,所以
恒成立,
即恒成立, ………………………7分
因为,当且仅当
时等式成立,…9分
所以的取值范围是
. ………………………10分
21.已知函数.
(1)当 时,求函数
的极值
(2)若对任意实数,当
时,函数
的最大值为
,求
的取值范围
正确答案
(I)当时,
,则
,
整理得, …………………………1分
令得
,
,
当变化时,
变化如下表:
极大值
极小值
…………………………3分
计算得,
,
所以函数在
处取到极大值
,在
处取到极小值
. ………………………4分
(II)由题意,
(1)当时,函数
在
上单调递增,在
上单调递减,此时,不存在实数
,使得当
时,函数
的最大值为
. ………………………6分
(2)当时,令
,有
,
,
(i)当时,函数
在
上单调递增,显然符合题意. ………………………7分
(ii)当即
时,函数
在
和
上单调递增,在
上单调递减,
在
处取得极大值且
,只需
,解得
,又
,所以此时实数
的取值范围是
. ………………………9分
(iii)当即
时,函数
在
和
上单调递增,
在上单调递减,要存在实数
,使得当
时,函数
的最大值为
,需
,
代入化简得
令,因为
恒成立,
故恒有,所以
时,
恒成立,
综上,实数的取值范围是
. ………………………12分
22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
如图,为圆的内接三角形,
,
为圆的弦,且
,过点
作圆的切线与
的延长线交于点
,
与
交于点
.
(1)求证:四边形为平行四边形;
(2)若,
,求线段
的长.
正确答案
(Ⅰ)因为与圆相切于点
,所以
.
因为,所以
,所以
,
所以. ……………………… 3分
因为,所以四边形
为平行四边形. ……………………… 5分
(Ⅱ)因为与圆相切于点
,所以
,
即,解得
, ………………………7分
根据(Ⅰ)有,
设,由
,得
,即
,解得
,即
.…10分
23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
已知圆锥曲线(
为参数)和定点
,
、
是此圆锥曲线的左、右焦点,以原点
为极点,以
轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求直线的直角坐标方程;
(2)经过点且与直线
垂直的直线
交此圆锥曲线于
、
两点,求
的值.
正确答案
曲线可化为
, ………………………2分
其轨迹为椭圆,焦点为. ………………………3分
经过和
的直线方程为
,即
. ………………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,直线的斜率为
,因为
,所以
的斜率为
,倾斜角为
,
所以的参数方程为
(
为参数), ………………………7分
代入椭圆的方程中,得
. ………………………8分
因为在点
的两侧,所以
. ………………………10分