理科数学 热门试卷

（Ⅰ）因为该同学通过各校考试的概率均为，所以该同学恰好通过2所高校自主招生考试的概率为.    

（Ⅱ）设该同学共参加了次考试的概率为（）.

∵，

∴所以该同学参加考试所需费用的分布列如下：

所以， 

令,     （1）

则,    （2）

由（1）-（2）得，

所以， 

所以

(元).  

（Ⅰ）证法一：∵面，∴，.

又∵，∴四边形是正方形，

∴.    

∵，

∴.    

又∵,  ∴. 

∵,

∴.   

证法二：

∵面，∴，.

又∵，

∴分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系.

则，

，

∴， 

∴.  

又∵

∴.   

证法三：

∵面，∴，.

又∵，

∴分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 

则,

.

设平面的法向量，

则，解得.

令，则，   

∵,    ∴.   

（Ⅱ）∵，

∴点到平面的距离等于点到平面的距离

∴,

，

令，得（舍去）或，

得

∴当时，.   

（Ⅲ）

分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系.

则,

，

，. 

设平面的法向量，

则，解得,

令，则.   

设平面的法向量，

则.

由于，所以解得.

令，则.  

设二面角的平面角为，

则有.

化简得,解得（舍去）或.

所以当时，二面角的平面角的余弦值为.   

（Ⅰ）解法一：因为，， 

所以  

.                

解法二：平移到（移到，移到），

由的坐标与的坐标相等，都等于点的坐标. 

由平几知识易得直线的倾斜角为，

∵，∴根据三角函数的定义可得，

所以.  

（Ⅱ）解法一：，

∵，∴，    

∴     

，              

所以当时，取得最大值.  

解法二：，

∵，∴，即，

∴.

∵，∴，

∴,  

+

,    

所以当时，取得最大值.    

（Ⅰ）因点到点的距离等于它到直线的距离，

所以点的轨迹是以为焦点、直线为准线的抛物线，其方程为.           

（Ⅱ）解法一：假设存在满足题设的直线.设直线与轨迹交于，

依题意，得. 

①当直线的斜率不存在时，不合题意.  

②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

联立方程组，

消去，得，（*）

∴，解得.   

此时，方程（*）为，其判别式大于零，

∴存在满足题设的直线　　　　　　　　　　

且直线的方程为：即.  　　

解法二：假设存在满足题设的直线.设直线与轨迹交于，

依题意，得.

易判断直线不可能垂直轴， 

∴设直线的方程为，

联立方程组，

消去，得，

∵,

∴直线与轨迹必相交. 

又，∴.    

∴存在满足题设的直线　　　　　     

且直线的方程为：即.   

解法三：假设存在满足题设的直线.设直线与轨迹交于，

依题意，得.  

∵在轨迹上，

∴有，将，得. 

当时，弦的中点不是，不合题意，  

∴，即直线的斜率,  

注意到点在曲线的张口内（或：经检验，直线与轨迹相交）

∴存在满足题设的直线　   

且直线的方程为：即.  

（Ⅰ） （）. 

（Ⅱ）∵，

∴当时，；当时，.

∴当时，取得极小值，

即（）.   

（Ⅲ） 解法一：∵，所以

又，

∴，

令，则.   

∵在单调递增，∴，

∵，，

∴存在使得.   

∵在单调递增，

∴当时，；当时，，

即在单调递增，在单调递减，

∴，

又∵，，，

∴当时，取得最小值.  

解法二： ∵，所以

又，

∴，

令，

则，

当时，

，又因为，所以，，

所以，所以.

又，，

∴当时，取得最小值.