理科数学 西城区2012年高三试卷
精品
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单选题 本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

4. 执行下侧框图所表达的算法,如果最后输出的值为,那么判断框中实数的取值范围是(      )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解析已在路上飞奔,马上就到!

知识点

程序框图
1
题型: 单选题
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分值: 5分

1. 复数等于(    )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

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知识点

复数代数形式的乘除运算
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

5. 下列四个条件:

均为直线;  

是直线,是平面;

是直线,是平面;

均为平面.

其中,能使命题成立的有(     )

A1个

B2个

C3个

D4个

正确答案

C

解析

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知识点

命题的真假判断与应用
1
题型: 单选题
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分值: 5分

9. 为调查某校学生喜欢数学课的人数比例,采用如下调查方法:

(1)在该校中随机抽取100名学生,并编号为1,2,3,……,100;

(2)在箱内放置两个白球和三个红球,让抽取的100名学生分别从箱中随机摸出一球,记住其颜色并放回;

(3)请下列两类学生举手:

(ⅰ)摸到白球且号数为偶数的学生;

(ⅱ)摸到红球且不喜欢数学课的学生.

如果总共有26名学生举手,那么用概率与统计的知识估计,该校学生中喜欢数学课的人数比例大约是(       )

A88%

B90%

C92%

D94%

正确答案

B

解析

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知识点

收集数据的方法
1
题型: 单选题
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分值: 5分

3. 已知,则等于(    )

A

B

C5

D25

正确答案

C

解析

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知识点

向量的模平面向量的坐标运算
1
题型: 单选题
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分值: 5分

7. 已知二次函数,则“”是“函数单调递增”的(       )

A充要条件

B充分不必要条件

C必要不充分条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

C

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知识点

充要条件的判定
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

8. 已知分别为椭圆的左右顶点,椭圆上异于的点恒满足,则椭圆的离心率为(         )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

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知识点

椭圆的几何性质
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

2. 已知集合,则等于(        )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

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知识点

交集及其运算
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

6. 已知实数满足的最大值是(     )

A5

B-1

C2

D

正确答案

D

解析

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知识点

其它不等式的解法
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

10. 函数的图象与方程的曲线有着密切的联系,如把抛物线的图象绕原点沿逆时针方向旋转就得到函数的图象.若把双曲线绕原点按逆时针方向旋转一定角度后,能得到某一个函数的图象,则旋转角可以是(           )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

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知识点

双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
填空题 本大题共5小题,每小题4分,共20分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
|
分值: 4分

12. 一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图所示,则该三棱锥俯视图的面积为________.

正确答案

解析

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知识点

简单空间图形的三视图棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
1
题型:填空题
|
分值: 4分

13. 在中,,则周长的最大值为_________.

正确答案

解析

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知识点

正弦定理余弦定理
1
题型:填空题
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分值: 4分

14. 已知,设,则由函数的图象与轴、直线所围成的封闭图形的面积为__________.

正确答案

解析

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知识点

定积分的简单应用
1
题型:填空题
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分值: 4分

11. 已知等差数列中, ,,则__________.

正确答案

解析

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知识点

等差数列的基本运算
1
题型:填空题
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分值: 4分

15. 数学与文学之间存在着许多奇妙的联系. 诗中有回文诗,如:“云边月影沙边雁,水外天光山外树”,倒过来读,便是“树外山光天外水,雁边沙影月边云”,其意境和韵味读来真是一种享受!数学中也有回文数,如:88,454,7337,43534等都是回文数,无论从左往右读,还是从右往左读,都是同一个数,称这样的数为“回文数”,读起来还真有趣!

二位的回文数有11,22,33,44,55,66,77,88,99,共9个;

三位的回文数有101,111,121,131,…,969,979,989,999,共90个;

四位的回文数有1001,1111,1221,…,9669,9779,9889,9999,共90个;

由此推测:10位的回文数总共有________个.

正确答案

90000

解析

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知识点

进行简单的合情推理
简答题(综合题) 本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
|
分值: 13分

18. 已知等10所高校举行的自主招生考试,某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为.

(Ⅰ)如果该同学10所高校的考试都参加,试求恰有2所通过的概率;

(Ⅱ)假设该同学参加每所高校考试所需的费用均为元,该同学决定按顺序参加考试,一旦通过某所高校的考试,就不再参加其它高校的考试,试求该同学参加考试所需费用的分布列及数学期望.

正确答案

(Ⅰ)因为该同学通过各校考试的概率均为,所以该同学恰好通过2所高校自主招生考试的概率为.    

(Ⅱ)设该同学共参加了次考试的概率为).

∴所以该同学参加考试所需费用的分布列如下:

所以, 

,     (1)

,    (2)

由(1)-(2)得

所以, 

所以

(元).  

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知识点

n次独立重复试验中恰好发生k次的概率离散型随机变量及其分布列、均值与方差
1
题型:简答题
|
分值: 13分

19.如图,侧棱垂直底面的三棱柱中,是侧棱上的动点.

(Ⅰ)当时,求证:

(Ⅱ)试求三棱锥的体积取得最大值时的值;

(Ⅲ)若二面角的平面角的余弦值为,试求实数的值.

正确答案

(Ⅰ)证法一:.

又∵,∴四边形是正方形,

.    

.    

又∵,  ∴

,

.   

证法二

.

又∵

∴分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系.

, 

.  

又∵

.   

证法三

.

又∵

∴分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 

,

.

设平面的法向量

,解得.

,则,   

,    ∴.   

(Ⅱ)∵

∴点到平面的距离等于点到平面的距离

,

,得(舍去)或

∴当时,.   

(Ⅲ)

分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系.

,

设平面的法向量

,解得,

,则.   

设平面的法向量

.

由于,所以解得.

,则.  

设二面角的平面角为

则有.

化简得,解得(舍去)或.

所以当时,二面角的平面角的余弦值为.   

解析

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知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积直线与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法
1
题型:简答题
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分值: 13分

17.将边长为1的正三角形按如图所示的方式放置,其中顶点与坐标原点重合.记边所在直线的倾斜角为,已知.

(Ⅰ)试用表示的坐标(要求将结果化简为形如的形式);

(Ⅱ)定义:对于直角坐标平面内的任意两点,称两点间的“taxi距离” ,并用符号表示.试求的最大值.

正确答案

(Ⅰ)解法一:因为, 

所以  

.                

解法二:平移移到移到),

的坐标与的坐标相等,都等于点的坐标. 

由平几知识易得直线的倾斜角为

,∴根据三角函数的定义可得

所以.  

(Ⅱ)解法一:

,∴,    

     

,              

所以当时,取得最大值.  

解法二:

,∴,即

.

,∴

,  

+

,    

所以当时,取得最大值.    

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知识点

任意角的三角函数的定义两角和与差的正弦函数
1
题型:简答题
|
分值: 13分

16.已知点,直线,动点到点的距离等于它到直线的距离.

(Ⅰ)试判断点的轨迹的形状,并写出其方程.

(Ⅱ)是否存在过的直线,使得直线被截得的弦恰好被点所平分?

正确答案

(Ⅰ)因点到点的距离等于它到直线的距离,

所以点的轨迹是以为焦点、直线为准线的抛物线,其方程为.           

(Ⅱ)解法一:假设存在满足题设的直线.设直线与轨迹交于

依题意,得

①当直线的斜率不存在时,不合题意.  

②当直线的斜率存在时,设直线的方程为

联立方程组

消去,得,(*)

,解得.   

此时,方程(*)为,其判别式大于零,

∴存在满足题设的直线          

且直线的方程为:.    

解法二:假设存在满足题设的直线.设直线与轨迹交于

依题意,得.

易判断直线不可能垂直轴, 

∴设直线的方程为

联立方程组

消去,得

,

∴直线与轨迹必相交. 

,∴.    

∴存在满足题设的直线          

且直线的方程为:.   

解法三:假设存在满足题设的直线.设直线与轨迹交于

依题意,得.  

在轨迹上,

∴有,将,得

时,弦的中点不是,不合题意,  

,即直线的斜率,  

注意到点在曲线的张口内(或:经检验,直线与轨迹相交)

∴存在满足题设的直线    

且直线的方程为:.  

解析

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知识点

抛物线的定义及应用直线与抛物线的位置关系圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
1
题型:简答题
|
分值: 14分

20.已知,…,).

(Ⅰ)请写出的表达式(不需证明);

(Ⅱ)设的极小值点为,求

(Ⅲ)设的最大值为的最小值为,试求的最小值.

正确答案

(Ⅰ) (). 

(Ⅱ)∵

∴当时,;当时,.

∴当时,取得极小值

).   

(Ⅲ) 解法一:∵,所以

,则.   

单调递增,∴

∴存在使得.   

单调递增,

∴当时,;当时,

单调递增,在单调递减,

又∵

∴当时,取得最小值.  

解法二: ∵,所以

时,

,又因为,所以

所以,所以.

∴当时,取得最小值

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知识点

导数的运算
1
题型:简答题
|
分值: 14分

21.本题有(1)、(2)、(3)三个选答题,请考生任选2题作答。

(1)选修4—2:矩阵与变换

若二阶矩阵满足.

(Ⅰ)求二阶矩阵

(Ⅱ)把矩阵所对应的变换作用在曲线上,求所得曲线的方程.

(2)选修4-4:坐标系与参数方程

已知在直角坐标系中,曲线的参数方程为(t为非零常数,为参数),在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位,且以原点为极点,以轴正半轴为极轴)中,直线的方程为.

(Ⅰ)求曲线C的普通方程并说明曲线的形状;

(Ⅱ)是否存在实数,使得直线与曲线C有两个不同的公共点,且(其中为坐标原点)?若存在,请求出;否则,请说明理由.

(3)选修4—5:不等式选讲

已知函数的最小值为,实数满足.

(Ⅰ)求的值;

(Ⅱ)求证:

正确答案

(1)选修4—2:矩阵与变换

(Ⅰ)记矩阵,故,故.  

由已知得.  

(Ⅱ)设二阶矩阵所对应的变换为,得

解得,   

,故有,化简得.故所得曲线的方程为.  

(2)选修4—4:坐标系与参数方程

(Ⅰ)∵,∴可将曲线C的方程化为普通方程:

①当时,曲线C为圆心在原点,半径为2的圆;  

②当时,曲线C为中心在原点的椭圆.  

(Ⅱ)直线的普通方程为:.   

联立直线与曲线的方程,消,化简得.

若直线与曲线C有两个不同的公共点,则,解得

  

.

解得相矛盾.

故不存在满足题意的实数.   

(3)选修4—5;不等式选讲

(Ⅰ)法一: 

可得函数的最小值为2.故

法二:,  

当且仅当时,等号成立,故.   

(Ⅱ)  

即:,

.    



解析

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知识点

不等式的性质

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