理科数学南昌市2017年高三第一次模拟考试

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试卷目录

1、单选题

2、填空题

3、简答题

真题试卷
模拟试卷
预测试卷

单选题本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

题型：单选题

分值: 5分

2.已知全集，集合，，则（）

正确答案

解析

解：,

，

又，

，

故选D.

考查方向

本题考查一元二次不等式的解法，考查指数函数的值域，考查集合的交集以及补集运算，本题是高考的热点，

解题思路

先利用一元二次不等式解出集合，然后根据补集概念求出，再利用指数函数的性质求出集合，再利用交集的概念即可解决问题.

易错点

本题易错在不会解一元二次不等式以及不理解补集的概念.

题型：单选题

分值: 5分

3.已知函数，则“”是“函数在上为增函数”的（）

A充分而不必要条件

B必要而不充分条件

C充要条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

解析

解：，即在区间上恒成立，则，而，故选A.

考查方向

本题考查导数的计算，考查函数的单调性的应用，考查充要条件的应用，本题是一道中档题.

解题思路

先对函数求导，然后根据导数为单调函数的充要条件列出不等式，然后解不等式即可.

易错点

本题易错在求导错误.

题型：单选题

分值: 5分

4.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则（）

A若，，则

B若，，则

C若，，则

D若，，则

正确答案

解析

解析：对于A选项，两直线有可能异面或相交；对于B选项，两平面有可能相交；对于D选项，直线有可能在平面内，故选C.

考查方向

本题考查空间中的点线面位置关系，考查异面直线的判定，考查数形结合的数学思想，解题的关键是找出反例.

解题思路

根据空间中的点，线，面位置关系逐一对每一个选项进行判断，直接找出反例即可.

易错点

本题易错在不理解异面直线的概念.

题型：单选题

分值: 5分

5.运行如图所示框图的相应程序，若输入的值分别为和，则输出的值是（）

正确答案

解析

解：，

∴，

∴，根据程序框图，

，

故选D.

考查方向

本题考查程序框图的条件结构的应用，考查对数的运算，考查不等式的基本应用，本题是一道简单题.

解题思路

先根据对数的运算法则比较出，的大小关系，然后根据程序框图中的判定条件，确定运算程序，直接代入数据计算即可.

易错点

本题易错在不能根据对数的运算规则判断出，的大小关系.

题型：单选题

分值: 5分

7.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅制造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图（单位：寸）如图所示，若取3，其体积为（立方寸），则图中的为（）

正确答案

解析

解：由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成，由题意得：

，.

考查方向

本题考查三视图的还原，考查由三视图求几何体的体积，考查简单几何体的体积公式的应用，考查空间想象能力，是一道简单题.

解题思路

先根据三视图确定几何体的形状，然后根据对应的几何体体积公式代数数据计算即可.

易错点

本题易错在不能根据三视图确定几何体.

题型：单选题

分值: 5分

10.函数（其中为自然对数的底）的图象大致是（）

正确答案

解析

解：是偶函数，

所以当时，函数是，且有且只有一个极大值点是，

所以选A.

考查方向

本题考查函数的奇偶性判定，考查函数图象的判定，考查导数的计算以及函数极值点的求法，考查数形结合的数学思想，本题是一道中档题.

解题思路

先跟函数的解析式确定函数的奇偶性，然后研究函数在时的图象的情况，通过对函数求导，确定函数在处有极值点，根据四个选项即可得出结果.

易错点

本题易错在不能确定函数的极值点.

题型：单选题

分值: 5分

1.已知为虚数单位，，若是纯虚数，则的值为（）

A或1

正确答案

解析

解：∵是纯虚数，

∴，且，

∴，

故选B.

考查方向

本题考查复数的概念，考查纯虚数的判定条件，考查复数的乘法运算，考查对比系数法求参数的值，本题是一道简单题.

解题思路

先根据复数的乘法运算把复数化简，然后利用纯虚数的概念对比系数求出的值即可.

易错点

本题易错在对纯虚数的概念不理解，写不出等式.

题型：单选题

分值: 5分

6.在正方形中，点是的中点，点是的一个三等分点（靠近点），那么（）

正确答案

解析

解：在中，，因为点为的中点，所以，因为点为的一个三等分点，所以.所以，

故选D.

考查方向

本题考查平面向量的线性运算，考查三角形法则以及平行四边形的综合应用，本题是一道简单题.

解题思路

根据平面向量的加法运算在三角形中确定的表达，再利用中点以及三等分点进行转化即可.

易错点

本题易错在运用三角形法则进行平面向量的加法运算时忘记首尾相接的要求.

题型：单选题

分值: 5分

8.设满足约束条件，若目标函数，最大值为2，则的图象向右平移后的表达式为（）

正确答案

解析

解：作出可行域与目标函数直线线，由线性规划知识，可得当直线过点时，取得最大值，即，解得；则的图象向右平移个单位后得到的解析式为.

故答案为C.

考查方向

本题考查简单的线性规划求最值问题，考查三角函数图象的平移变换，考查数形结合的数学思想，本题是一道中档题.

解题思路

先根据线性约束条件画出平面区域，然后通过直线平移确定最值，从而确定的值，再通过三角函数的平移变换确定函数解析式即可.

易错点

本题易错在根据线性规划的知识确定的值.

题型：单选题

分值: 5分

9.直线与轴的交点分别为，直线与圆的交点为，.给出下面两个命题：，；.

则下面命题正确的是（）

正确答案

解析

解：，，真；

，，，

，所以，

所以假，故选C.

考查方向

本题考查直线的交点的求法，考查三角形面积公式的应用，考查直线与圆相交的问题，考查含逻辑联结词的命题的判定，考查基本不等式的应用，本题是一道中档题.

解题思路

先求出直线与两坐标轴的交点，然后求出三角形面积从而确定命题的真假，然后利用两点距离公式分别求出的值，然后通过作差比较以及基本不等式确定的大小关系.

易错点

本题易错在对基本不等式的应用不熟.

题型：单选题

分值: 5分

11.已知双曲线的左右焦点分别为，以线段为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为，若直线与圆相切，则双曲线的渐近线方程是（）

正确答案

解析

解：设切点为，则，又，所以，所以，

因此，所以渐近线方程为.

考查方向

本题考查双曲线的定义，考查直线与圆相切关系的应用，考查双曲线的渐近线方程，本题是一道中档题.

解题思路

先假设切点，然后根据平行关系确定的比例关系，然后确定的关系，从而求出渐近线方程.

易错点

本题易错在不能确定相切圆的半径与值的关系.

题型：单选题

分值: 5分

12.已知函数（为自然对数的底），若函数恰好有两个零点，则实数的取值范围是（）

正确答案

解析

解：过原点且与曲线相切的直线斜率是，作出，图象可以看出斜率的取值范围.

考查方向

本题考查导数的计算，考查导数的几何意义，考查数形结合的数学思想，解题的关键是利用相切找出极限情况，本题是一道中档题.

解题思路

先对函数求导，然后求出过原点的切线的斜率，再根据相切情况确定斜率即可.

易错点

本题易错在没有考虑相切情况.

填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在题中横线上。

题型：填空题

分值: 5分

13.已知直线与直线平行，则它们之间的距离是 .

正确答案

解析

解：由直线与直线平行，可得，

∴，直线可化为，

∴.

考查方向

本题考查直线平行的充要条件，考查两平行直线距离公式，考查运算能力，解题的关键是熟记两平行直线距离公式，本题是一道简单题.

解题思路

先根据两直线平行求出的值，然后把两直线的系数转化相同，然后利用两平行直线距离公式代入数据直接计算即可.

易错点

本题易错在没有把两平行直线转化为系数相同.

题型：填空题

分值: 5分

16.已知双曲线的离心率为，实轴为，平行于的直线与双曲线交于点，则直线，的斜率之积为 .

正确答案

解析

解：设点，则，

所以.

考查方向

本题考查双曲线的性质以及基本量的计算，考查直线斜率公式的应用，本题是一道中档题.

解题思路

先假设点的坐标，利用双曲线方程求出的关系，然后代入斜率公式计算即可.

易错点

本题易错在计算出错.

题型：填空题

分值: 5分

14.对于函数，若关于的方程有且只有两个不同的实根，则 .

正确答案

解析

解：作出函数的图象，与直线有且只有两个交点，则，两交点关于直线对称，所以.

考查方向

本题考查三角函数的图象以及性质，考查函数图象的对称性，考查数形结合的数学思想，本题是一道中档题.

解题思路

先根据函数解析式然后画出函数图象，根据图象确定的取值范围，然后再利用对称性即可解决问题.

易错点

本题易错在不能确定的取值范围.

题型：填空题

分值: 5分

15.将正整数12分解成两个正整数的乘积有三种，其中是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称为12的最佳分解.当（且）是正整数的最佳分解时，我们定义函数，例如.数列的前100项和为 .

正确答案

解析

解：当为偶数时，，当为奇数时，，

所以.

考查方向

本题考查对新定义的理解，考查等比数列的前和公式的应用，考查转化与化归以及分类讨论的数学思想，解题的关键是能够确定的通项.

解题思路

根据新定义结合为奇偶数的两种情况确定的通项，然后利用等比数列前和公式即可解决问题.

易错点

本题易错在没有利用分类讨论确定的通项.

简答题（综合题）本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

题型：简答题

分值: 12分

已知由实数组成的等比数列的前项和为，且满足.

17.求数列的通项公式；

18.对，，求数列的前项和.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

解：由条件得.

所以；

考查方向

本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的基本量计算，考查等比数列的前项和公式的应用，本题是高考的热点，是常考题型.

解题思路

先根据题干所给条件，转化为等比数列的基本量方程，然后解方程求出公比和首项，然后代入等比数列通项公式即可.

易错点

本题易错在计算出错，用错公式.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

，

所以.

考查方向

本题考查对数运算，考查利用裂项的方法求数列的前项和，考查转化与化归的数学思想，本题是一道中档题.

解题思路

先利用（1）的结论以及对数的运算法则对进行化简，然后利用对进行裂项处理，然后根据裂项求和的方法把求出来即可.

易错点

本题易错在不能把的通项化简以及没有对进行裂项处理.

题型：简答题

分值: 12分

已知椭圆的离心率，右顶点、上顶点分别为，直线被圆截得的弦长为.

23.求椭圆的方程；

24.设过点且斜率为的动直线与椭圆的另一个交点为，，若点在圆上，求正实数的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

解：（1），

所以直线的方程为即，

圆心到直线的距离为，所以，

所以椭圆的方程为；

考查方向

本题考查待定系数法求椭圆方程，考查点到直线距离公式的应用，考查两点式的直线方程，考查运算能力，本题是一道简单题.

解题思路

先根据离心率确定的关系，然后求出直线的方程，再利用弦长公式与点到直线距离公式确定的值，从而解决问题.

易错点

本题易错在不能确定直线的方程.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

解：设点的坐标为则点的坐标为，

所以，……8分

又，

所以，得.

所以正实数的取值范围是.

考查方向

本题考查直线与圆以及圆锥曲线的综合应用，考查向量的坐标运算，考查转化与化归以及数形结合的数学思想，解题的关键是合理假设点的坐标.

解题思路

先假设点的坐标，然后根据向量的坐标运算求出点的坐标，然后利用点在椭圆，点在圆上列出方程组，然后转化出的表达式，利用函数的思想解决问题.

易错点

本题易错在不能转化出的表达式.

题型：简答题

分值: 12分

已知三棱台中，平面，，，，.

21.求证：；

22.点是的中点，求二面角的余弦值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

略

解析

证明：梯形中，，得：，

从而，所以，

因为平面，且，

所以，因此，

所以；

考查方向

本题考查勾股定理证明线线垂直，考查面面垂直的性质定理，考查线面垂直的判定定理，考查空间想象能力，本题是高考的热点.

解题思路

先根据题中所给数据利用勾股定理证明，然后利用面面垂直的性质定理证明，最后利用线面垂直的判定定理即可证明原命题.

易错点

本题错在不能够利用勾股定理证明线线垂直.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

解：如图，以所在直线分别作为轴，轴，点为原点建立空间直角坐标系，则

，，，

又，

，……………………7分

平面的法向量，设平面的法向量为，

则，

，

令，得，……………………10分

所以，

所以所求二面角的余弦值是.………………12分

考查方向

本题考查空间向量求二面角，考查空间向量的数量积的计算，本题是高考必考题，是一道中档题.

解题思路

先根据题意建立空间直角坐标系，然后描出关键点的坐标，然后利用空间向量的数量积公式求出平面的法向量，然后代入数据计算出二面角的余弦值即可.

易错点

本题易错在建立空间坐标系后描点错误.

题型：简答题

分值: 12分

在中，角的对边分别为，且.

19.求角的大小；

20.已知，若对任意的，都有，求函数的单调递减区间.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

解:由条件可得：，

，

；

考查方向

本题考查平面向量的数量积，考查解三角形中边角互化的原理，考查两角和差公式的应用，本题是一道中档题.

解题思路

先根据平面向量的数量积以及正弦定理把条件的等式转化，然后利用两角和差公式化简出的余弦值，即可确定的大小.

易错点

本题易错在没有理解向量夹角的定义，弄错了与的夹角.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

，

解析

由条件得到函数在时，取到最大值，

又，周期为，

在所在周期内，递减区间为，

所以函数的递减区间是，.

考查方向

本题考查三角函数的最值以及单调性的应用，考查三角函数的周期性的应用，考查转化与化归的数学思想，本题是一道中档题.

解题思路

先由（1）取到函数的最大值，然后求出函数的周期，然后求出初始单调减区间，然后加上整数倍周期即可.

易错点

本题易错在不能根据周期性以及最大值确定初始单调减区间.

题型：简答题

分值: 10分

选修4-5：不等式选讲

已知函数.

29.若不等式的解集为，求实数的值；

30.若，使得，求实数的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

解：∵，∴，

∵的解集为，

∴，

∴.

考查方向

本题考查简单的绝对值不等式的解法，考查集合的相关应用，本题是一道简单题.

解题思路

直接解绝对值不等式，然后对比端点值即可.

易错点

本题错在不会解绝对值不等式.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

解：∵，

∵，使得成立，

∴，即，解得，或，

∴实数的取值范围是.

考查方向

本题考查绝对值不等式中的三角不等式，考查一元二次不等式的解法，考查函数的最值，考查函数思想的应用，本题是一道中档题.

解题思路

先根据绝对值中的三角不等式求出函数的最小值，然后解一元二次不等式即可求出的取值范围.

题型：简答题

分值: 12分

已知存在两个极值点.

25.求证：；

26.若实数满足等式，试求的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

略

解析

解：（1）∵，

∴结合题意，为一元二次方程的两根，

于是，且，可得：，

∴.

考查方向

本题考查导数的计算，考查一元二次方程根与系数的关系的应用，考查函数与方程的应用，本题是一道难题.

解题思路

先对函数求导，然后利用一元二次方程中的判别式以及韦达定理即可证明原不等式.

易错点

本题易错在不能确定导数的零点与原函数极值点的关系.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

解：由（1）可得，

∵

，

∴由得，整理可得

，

令，.

设函数，求导得：，所以，

函数在和上为减函数，

该函数的值域为，

因此的取值范围为.

考查方向

本题考查函数的零点的处理方法，考查分离参数法求参数的取值范围，考查利用导数判断函数的单调性以及利用导数求函数的值域，本题是一道难题.

解题思路

先根据（1）中结论确定的值，然后代入数据求出的表达式，构造函数求导，判断单调性，求出值域即可.

易错点

本题易错在不能准确把值分离开.

题型：简答题

分值: 10分

选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，曲线，曲线的参数方程为：，（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系.

27.求的极坐标方程；

28.射线与的异于原点的交点为，与的交点为，求.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

，

解析

解：将代入曲线的方程：，

可得曲线的极坐标方程为，

曲线的普通方程为，将代入，

得到的极坐标方程为.

考查方向

本题考查极坐标方程与直角坐标方程的相互转化，是一道简单题.

解题思路

根据极坐标方程以及直角坐标方程直接代入数据转化即可.

易错点

本题易错在记错转化公式.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

解：射线的极坐标方程为，与曲线的交点的极径为.

射线与曲线的交点的极径满足，解得.

所以.

考查方向

本题考查极坐标系下两点距离公式的应用，本题是一道简单题.

解题思路

先求出与曲线的交点的极径为，然后求出曲线的交点的极径，然后作差即可.

易错点

本题易错在对极坐标概念以及极径的应用不熟练.

理科数学 热门试卷

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考查方向

解题思路

易错点

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