理科数学哈尔滨市2015年高三试卷

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单选题本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

1. 集合，，则（）

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4. 下列函数在上为减函数的是（）

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2. 等差数列的前项和为，且=，=，则公差等于（）

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6. 将函数的图象向左平移个单位，所得到的函数图象关于轴对称，则的一个可能取值为（）

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10. 如图，四棱锥中，，，和都是等边三角形，则异面直线与所成角的大小为（）

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11. 已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则=（）

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7. 给出下列关于互不相同的直线、、和平面、的四个命题：

①若，，点，则与不共面；

② 若、是异面直线，，，且，，则；

③ 若，，，则；

④ 若，，，，，则，

其中为真命题的是（）

A①③④

B②③④

C①②④

D①②③

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3. 在中，，，，则的面积为，（）

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5. 方程的解所在的区间为（）

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8. 变量、满足条件，则的最小值为（）

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12. 设函数在上存在导数，，有，在上，若，则实数的取值范围为（）

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9. 如图，为等腰直角三角形，，为斜边的高，点在射线上，则的最小值为（）

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填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在题中横线上。

14. 某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为__________．

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13. 正项等比数列中，，，则数列的前项和等于__________．

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15. 已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率，则_______．

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16．定义：如果函数在定义域内给定区间上存在，满足，则称函数是上的“平均值函数”，是它的一个均值点，例如是上的平均值函数，就是它的均值点．现有函数是上的平均值函数，则实数的取值范围是_____．

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简答题（综合题）本大题共70分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. 设是锐角三角形，三个内角，，所对的边分别记为，，，并且.

（Ⅰ）求角的值；

（Ⅱ）若，，求，（其中）．

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19. 为等腰直角三角形，，，、分别是边和的中点，现将沿折起，使面面，、分别是边和的中点，平面与、分别交于、两点．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）求的长．

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20. 如图，抛物线：与椭圆：在第一象限的交点为，为坐标原点，为椭圆的右顶点，的面积为.

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）过点作直线交于、两点，射线、分别交于、两点，记和的面积分别为和，问是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

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21. 设函数，曲线过点，且在点处的切线方程为.

（Ⅰ）求，的值；

（Ⅱ）证明：当时，；

（Ⅲ）若当时，恒成立，求实数的取值范围．

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18. 已知数列满足，，令.

（Ⅰ）证明：数列是等差数列；

（Ⅱ）求数列的通项公式．

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请在第22、23、24三题中任选一题作答.

22.选修4-1：几何证明选讲

如图，四边形是⊙的内接四边形，延长和相交于点，， .

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若为⊙的直径，且，求的长．

23.选修4-4：坐标系与参数方程

已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程是

（是参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程.

（Ⅰ）判断直线与曲线的位置关系；

（Ⅱ）设为曲线上任意一点，求的取值范围．

24.选修4-5：不等式选讲

已知函数.

（Ⅰ）解不等式；

（Ⅱ）若存在实数，使得，求实数的取值范围．

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