鲁班锁是中国传统的智力玩具,起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构,它的外观是如图所示的十字立方体,其上下、左右、前后完全对称,六根等长的正四棱柱体分成三组,经90°榫卯起来.若正四棱柱的高为5,底面正方形的边长为1,现将该鲁班锁放进一个球形容器内,则该球形容器的表面积至少为________.(容器壁的厚度忽略不计,结果保留π)
秦九韶是我国南宋时期的数学家,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.下面的流程图是秦九韶算法的一个实例.若输入n,x的值分别为3,3,则输出v的值为________.
如图,两座建筑物AB,CD的高度分别是9 m和15 m,从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的张角∠CAD=45°,则这两座建筑物AB和CD的底部之间的距离BD=________m.
(第10题)
如图,△ABC为等腰三角形,∠BAC=120°,AB=AC=4,以A为圆心,1为半径的圆分别交AB,AC与点E,F,P是劣弧上的一点,则·的取值范围是________.
(本小题满分14分)
已知函数f(x)=(cosx+sinx)2-2
sin2x.
(1) 求函数f(x)的最小值,并写出f(x)取得最小值时自变量x的取值集合;
(2) 若x∈,求函数f(x)的单调增区间.
(本小题满分14分)
如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,已知E,F,G,H分别是A1D1,B1C1,D1D,C1C的中点.求证:
(1) EF∥平面ABHG;
(2) 平面ABHG⊥平面CFED.
(本小题满分14分)
如图,B,C分别是海岸线上的两个城市,两城市间由笔直的海滨公路相连,B,C之间的距离为100 km,海岛A在城市B的正东方向50 km处.从海岛A到城市C,先乘船按北偏西θ角(α<θ≤,其中锐角α的正切值为
)航行到海滨公路P处登陆,再换乘汽车到城市C.已知船速为25 km/h,车速为75 km/h.
(1) 试建立由A经P到C所用时间与θ的函数解析式;
(2) 试确定登陆点P的位置,使所用时间最少,并说明理由.
(本小题满分16分)
在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为
,椭圆上动点P到一个焦点的距离的最小值为3(
-1).
(1) 求椭圆C的标准方程;
(2) 已知过点M(0,-1)的动直线l与椭圆C交于A,B两点,试判断以AB为直径的圆是否恒过定点,并说明理由.
【选做题】本题包括21、22、23、24、四小题,请选定其中两小题,并作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
21[选修41:几何证明选讲](本小题满分10分)
如图,AB,AC与圆O分别切于点B,C,P为圆O上异于点B,C的任意一点,PD⊥AB,垂足为D,PE⊥AC,垂足为E,PF⊥BC,垂足为F.
求证:PF2=PD·PE.
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