• 理科数学 2018年高三江苏省第二次模拟考试
填空题 本大题共14小题,每小题5分,共70分。把答案填写在题中横线上。
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已知i为虚数单位,复数z=的模为________.

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已知集合A={1,2a},B={-1,1,4},且A⊆B,则正整数a=________.

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在平面直角坐标系xOy中,抛物线y2=-8x的焦点坐标为________.

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苏州轨道交通1号线每5分钟一班,其中,列车在车站停留0.5分钟,假设乘客到达站台的时刻是随机的,则该乘客到达站台立即能乘上车的概率为________.

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已知4a=2,logax=2a,则正实数x=________.

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秦九韶是我国南宋时期的数学家,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.下面的流程图是秦九韶算法的一个实例.若输入n,x的值分别为3,3,则输出v的值为________.

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已知变量x,y满足,则z=2x-3y的最大值为________.

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已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且,则a3的值为________.

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鲁班锁是中国传统的智力玩具,起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构,它的外观是如图所示的十字立方体,其上下、左右、前后完全对称,六根等长的正四棱柱体分成三组,经90°榫卯起来.若正四棱柱的高为5,底面正方形的边长为1,现将该鲁班锁放进一个球形容器内,则该球形容器的表面积至少为________.(容器壁的厚度忽略不计,结果保留π)

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如图,两座建筑物AB,CD的高度分别是9 m和15 m,从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的张角∠CAD=45°,则这两座建筑物AB和CD的底部之间的距离BD=________m.

(第10题)

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在平面直角坐标系xOy中,已知过点A(2,-1)的圆C和直线x+y=1相切,且圆心在直线y=-2x上,则圆C的标准方程为________.

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已知正实数a,b,c满足

,则c的取值范围是________.

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如图,△ABC为等腰三角形,∠BAC=120°,AB=AC=4,以A为圆心,1为半径的圆分别交AB,AC与点E,F,P是劣弧上的一点,则·的取值范围是________.

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已知直线y=a分别与直线y=2x-2,曲线y=2ex+x交于点A,B,则线段AB长度的最小值为________.

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简答题(综合题) 本大题共150分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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(本小题满分14分)

已知函数f(x)=(cosx+sinx)2-2sin2x.

(1) 求函数f(x)的最小值,并写出f(x)取得最小值时自变量x的取值集合;

(2) 若x∈,求函数f(x)的单调增区间.

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(本小题满分14分)

如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,已知E,F,G,H分别是A1D1,B1C1,D1D,C1C的中点.求证:

(1) EF∥平面ABHG;

(2) 平面ABHG⊥平面CFED.

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(本小题满分14分)

如图,B,C分别是海岸线上的两个城市,两城市间由笔直的海滨公路相连,B,C之间的距离为100 km,海岛A在城市B的正东方向50 km处.从海岛A到城市C,先乘船按北偏西θ角(α<θ≤,其中锐角α的正切值为)航行到海滨公路P处登陆,再换乘汽车到城市C.已知船速为25 km/h,车速为75 km/h.

(1) 试建立由A经P到C所用时间与θ的函数解析式;

(2) 试确定登陆点P的位置,使所用时间最少,并说明理由.

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(本小题满分16分)

在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,椭圆上动点P到一个焦点的距离的最小值为3(-1).

(1) 求椭圆C的标准方程;

(2) 已知过点M(0,-1)的动直线l与椭圆C交于A,B两点,试判断以AB为直径的圆是否恒过定点,并说明理由.

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【选做题】本题包括21、22、23、24、四小题,请选定其中两小题,并作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

21[选修41:几何证明选讲](本小题满分10分)

如图,ABAC与圆O分别切于点BCP为圆O上异于点BC的任意一点,PDAB,垂足为DPEAC,垂足为EPFBC,垂足为F.

求证:PF2=PD·PE.

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[选修42:矩阵与变换](本小题满分10分)

已知M=,求M4β.

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[选修44:坐标系与参数方程](本小题满分10分)

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[选修45:不等式选讲](本小题满分10分)

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【必做题】第25题、第26题,每题10分,共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

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(本小题满分10分)

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