对具有线性相关关系的两个变量和
,测得一组数据如下表所示:
根据上表,利用最小二乘法得到他们的回归直线方程为,则
( )
正确答案
已知向量,若
,则
在向量
上的投影为( )
正确答案
已知变量满足约束条件
,则
的取值范围为( )
正确答案
直线与圆
有两个不同交点的一个必要不充分条件是( )
正确答案
某几何体的三视图如图,其俯视图与左视图均为半径是的圆,则该几何体的表面积是( )
正确答案
设为等差数列
的前
项和
,若
的前
项和为
,则
的值为( )
正确答案
已知集合为虚数单位,
,则复数
( )
正确答案
成等差数列的三个正数的和等于,并且这三个数分别加上
后成为等比数列
中的
,则数列
的通项公式为( )
正确答案
宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题:松长五尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而长等.如图是源于其思想的一个程序图,若输入的分别为
和
为,则输出的
( )
正确答案
函数,则
的大致图象是( )
正确答案
函数的图象中相邻对称中心的距离为
,若角
的终边经过点
,则
图象的一条对称轴为( )
正确答案
在某商业促销的最后—场活动中,甲、乙、丙、丁、戊、已名成员随机抽取
个礼品,每人最多抽一个礼品,且礼品全被抽光,
个礼品中有两个完全相同的笔记本电脑,两个完全相同的山地车,则甲、乙两人都抽到礼品的情况有( )
正确答案
已知,在
的展开式中,
的系数是______.(用数字填写答案)
正确答案
设,若
,则
______.
正确答案
体积为的球与正三棱柱的所有面均相切,则该棱柱的体积为______.
正确答案
已知离心率是的双曲线
的一个焦点与抛物线
的焦点重合,则该双曲线的标准方程为______.
正确答案
(12分)已知函数的最小正周期为
.
(1)求的值;
(2)在中,
成等比数列,求此时
的值域.
正确答案
(1),因为函数
的周期为
,所以
.
(2)由(1)知,易得
.因为
,成等比数列,所以
,所以
(当且仅当
时取等号),因为
,所以
,所以
,所以函数
的值域为
.
(12分)已知是椭圆
上关于原点
对称的任意两点,且点
都不在
轴上.
(1)若,求证:直线
和
的斜率之积为定值;
(2)若椭圆长轴长为,点
在椭圆
上,设
是椭圆上异于点
的任意两点,且
.问直线
是否过一个定点?若过定点,求出该定点坐标;若不过定点,请说明理由.
正确答案
(1)由题意设,则
,所以有
,又因为
,所以
,(定值).
(2)直线过点
,理由如下:①当直线
斜率
,易得
,
直线的方程为
.直线
过点
.②由已知,椭圆
方程为
,设直线
,则
,设
,则
,,
,
,
或
(舍去),
方程为
,则直线
恒定过点
,
综上所述,直线恒定过点
.
(12分)如图,四边形是体积为
的圆柱
的轴截面,点
在底面圆周上,
是
的中点.
(1)求证: 平面
;
(2)求二面角的正弦值.
正确答案
(1)由题意可知,解得
,在直角
中,
,由勾股定理得
,又
是
的中点,
.①
为圆
的直径,
,由已知得
底面
.②
由①②可知:
平面
.
(2)由(1)知:平面
是二面角
的平面角.
,
,
所以二面角的平面角的正弦值
.
(12分)在一次爱心捐款活动中,小李为了了解捐款数额是否和居民自身的经济收入有关,随机调査了某地区的个捐款居民每月平均的经济收入.在捐款超过
元的居民中,每月平均的经济收入没有达到
元的有
个,达到
元的有
个;在捐款不超过
元的居民中,每月平均的经济收入没有达到
元的有
个.
(1)在下图表格空白处填写正确数字,并说明是否有以上的把握认为捐款数额是否超过
元和居民毎月平均的经济收入是否达到
元有关?
(2)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量居民中,采用随机抽样方法毎次抽取个居民,共抽取
次,记被抽取的
个居民中经济收入达到
元的人数为
,求
和期望
的值.
附:
,其中
正确答案
(1)由题意可知,表格如下
.因为
,所以有
以上的把握认为捐款数额是否超过
元和自身经济收入是达到
元有关.
(2)抽到自身经济收入超过元居民的频率为
,将频率视为概率.由题意知
的取值可能有
.
(12分)已知.
(1)若,讨论
的单调性;
(2)若不等式有且仅有两个整数解,求
的取值范围.
正确答案
(1),当
时,
在
上恒成立,即
在
上单调递减,当
时,
的解集为
,即
在
上单调递增,在
上单调递减.
(2)由不等式有且仅有两个整数解得,
有两个整数解.当
时,
;当
时,
,所以,
有两个整数解.设
,则
,令
,则
,又
,所以
,使得
,
在
为增函数,在
为减函数,
有两个整数解的充要条件是
,解得
.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
(10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,曲线
的参数方程
为参数)以
为极点,
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线的极坐标方程;
(2)直线的坐标方程是
,直线
与曲线
交于点
和
,与直线
交于点
,求
的长.
正确答案
(1)消去参数,得到圆
的普通方程为
,令
代入
的普通方程,得
的极坐标方程为
,即
.
(2)在的极坐标方程中令
,得
,在
的极坐标方程中令
,得
,所以
.
(10分)选修4-5:不等式选讲
已知函数.
(1)若不等式的解集为
,求实数
的值;
(2)若不等式,对任意的实数
都成立,求正实数
的最小值.
正确答案
(1)由题意知,不等式,解集为
.由
,得
,所以,由
,解得
.
(2)由题意,
,从而,
,又
,故正实数
的最小值为
.