理科数学 热门试卷

（1）由得，又，

所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，

于是，.

当时，

当时，，

，

又时，所以，.

（2）由（Ⅰ）知，，，所以.

所以 ………(1)

等式两边同乘以得

………(2)

(1)-(2)得

所以.

解：（Ⅰ）函数的定义域为.

当时，在上恒成立，于是在定义域内单调递增.

当时，得

当变化时，变化情况如下

所以的单调递增区间是，单调递减区间是.

综上，当时，单调递增区间是，

当时，的单调递增区间是，单调递减区间是.

（Ⅱ）当时，，令， 则，故为区间上增函数，所以，根据导数的几何意义可知.

（1）解：       

因为x = 2为f (x)的极值点，所以                               

即，解得：a = 0                                     

又当a = 0时，，当时，时，

从而x = 2为f (x)的极值点成立．                                       

（2）解：∵f (x)在区间[3，+∞)上为增函数，

∴在区间[3，+∞)上恒成立．          

①当a = 0时，在[3，+∞)上恒成立，所以f (x)在[3，+∞)上为增函数，故a = 0符合题意．                                               

②当a > 0时，在区间[3，+∞)上恒成立．       

令，其对称轴为   

∵a > 0，∴，从而g (x)≥0在[3，+∞)上恒成立，只要g (3)≥0即可，

由，解得：    

∵a > 0，∴．                                

综上所述，a的取值范围为[0，]                          

解：（Ⅰ）；

（Ⅱ）证明：令，

∵或1，或1；

当，时，

当，时，

当，时，

当，时，

故

∴

（Ⅲ）解：易知中共有个元素，分别记为

∵的共有个，的共有个．

∴

=

=

∴=．                                

法二：根据（Ⅰ）知使的共有个

∴=

=

两式相加得=

解： .

（1）的最小正周期为

令，解得，

所以函数的单调增区间为.

（2）因为，所以，所以 ，

于是  ，所以.

当且仅当时 取最小值

当且仅当，即时最大值.