理科数学 衡水市2017年高三第二次模拟考试
精品
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单选题 本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

1.若复数的实部为1,且,则复数的虚部是(       )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

由题意设,可得解得,故选B.

考查方向

本题考查了复数的概念,每年全国一卷二卷必出题.

解题思路

设出复数,然后利用复数的模求解即可.

易错点

容易漏解.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

2.设函数,集合,则右图中中阴影部分表示的集合为(   )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

,故从而,阴影部分表示在内且不在内的元素构成的集合,故答案D.

考查方向

本题考查了集合的运算以及定义域和值域的求法,高考必有一题.

解题思路

分别求出函数的定义域和值域,求出集合A和B后,分析韦恩图表示的含义,即可得到结果.

易错点

函数值域忽略大于等于0.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

5.实数满足条件,则的最小值为()

A16

B4

C1

D

正确答案

D

解析

设z=x-y,即y=x-z,

作出不等式组对应的平面区域如图:


由图象可知当直线y=x-z过点A(0,1)时,直线y=x-z的截距最大,此时z最小,此时z=0-1=-1,故的最小值为,答案D.

考查方向

本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决本题的关键.

解题思路

作出不等式组对应的平面区域,设z=x-y,利用z的几何意义即可得到结论.

易错点

作出不等式所表示的平面区域.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

8.已知函数的定义在R上的奇函数,当时,满足,则在区间内()

A没有零点

B恰有一个零点

C至少一个零点

D至多一个零点

正确答案

B

解析

时,两边同乘以,则,令,则是增函数,当时,>0,,∵是奇函数,当,因为所以只有一个零点.故答案B.

考查方向

本题考查了函数的奇偶性与单调性之间的关系,是一道函数综合题.

解题思路

时,两边同乘以构造判断的符号,因为是奇函数,可以判断零点个数.

易错点

构造函数.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

3.命题“函数是偶函数”的否定是(    )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

如果函数)是偶函数,则,所以命题的否定是,故答案A

考查方向

本题考查了偶函数的概念,高考时和其它函数的性质结合出题.

解题思路

根据偶函数的定义和命题的否定得出结论.

易错点

命题的否定和否命题容易混淆.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

4.已知,则(   )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

解得故答案C.

考查方向

本题考查了同角三角函数基本关系式和诱导公式,高考常与三角形结合出题.

解题思路

由条件利用二倍角公式求得正弦,再利用同角三角函数基本关系式求出余弦,再利用诱导公式求出答案.

易错点

三角函数符号容易出错.

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

6.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积等于(   )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

由三视图知几何体为直三棱柱削去一个三棱锥,如图,棱柱的高为5;底面为直角三角形且两直角边长分别为3,4,几何体的体积,故答案B.

考查方向

本题考查了由三视图求几何体的体积,解题的关键是判断几何体的形状及数据对应的几何量.是高考必考知识点.

解题思路

由三视图知几何体为直三棱柱削去一个三棱锥,画出其直观图,计算三棱柱与三棱锥的体积,再求差可得答案.

易错点

判断几何体的形状及数据对应的几何量.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

7.已知等比数列的公比,且成等差数列,则的前8项和为()

A127

B255

C511

D1023

正确答案

B

解析

∵等比数列{an}的公比q=2,且2a4,a6,48成等差数列,∴2a1•25=2a1•23+48,解得a1=1,∴{an}的前8项和S8,故答案B.

考查方向

本题考查等比数列的前项和的求法,解题时要注意等比数列的通项公式和等差数列的性质的合理运用.

解题思路

由已知条件推导出2a1•25=2a1•23+48,从而求出a1=1,由此能求出{an}的前8项和.

易错点

公式的应用.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

9.定义:,已知数列满足:,若对任意正整数,都有成立,则的值为()

A

B2

C

D

正确答案

C

解析

,∵2n2-(n+1)2=(n-1)2-2,当n≥3时,(n-1)2-2>0,∴当n≥3时an+1>an;当n<3时,(n-1)2-2<0,所以当n<3时an+1<an

∴当n=3时an取到最小值为f(3)=,故答案C.

考查方向

本题主要考查了数列和不等式的综合运用.考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力.

解题思路

根据题意可求得数列{an}的通项公式,进而求得

根据2n2-(n+1)2=(n-1)2-2,进而可知当当n≥3时,(n-1)2-2>0,推断出当n≥3时数列单调增,n<3时,数列单调减,进而可知n=3时an取到最小值求得数列的最小值,进而可知的值.

易错点

判断数列的单调性.

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

10.如图,正方体的棱长为,以顶点A为球心,2为半径作一个球,则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于()

A

B

C

D

正确答案

A

解析

如图,球面与正方体的六个面都相交,所得的交线分为两类:一类在顶点A所在的三个面上,即面AA1B1B、面ABCD和面AA1D1D上;另一类在不过顶点A的三个面上,即面BB1C1C、面CC1D1D和面A1B1C1D1上.在面AA1B1B上,交线为弧EF且在过球心A的大圆上,因为AE=2,AA1=则∠A1AE=同理,所以,故弧EF的长为:2×,而这样的弧共有三条.在面BB1C1C上,交线为弧FG且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上,此时,小圆的圆心为B,半径为1,∠FBG=,所以弧FG的长为:1×,于是所得的曲线长为:,故选:A.

考查方向

本题考查空间几何的性质和综合应用,是高考必考题,考查了学生的空间想象能力.

解题思路

球面与正方体的六个面都相交,所得的交线分为两类:一类在顶点A所在的三个面上,即面AA1B1B、面ABCD和面AA1D1D上;另一类在不过顶点A的三个面上,即面BB1C1C、面CC1D1D和面A1B1C1D1上.由空间几何知识能求出这两段弧的长度之和.

易错点

等价转化方面容易出错.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

12.在平面直角坐标系中,点,对于某个正实数,存在函数,使得为常数),这里点的坐标分别为,则的取值范围是( )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

由题设知,点P(1,a),Q(k,ak2),A(5,0),

(为常数),,两式相除得

.故答案选A.

考查方向

本题考查平面向量的综合运算,考查了化归转化思想.

解题思路

由题设知

,由,由此求出的取值范围.

易错点

运算方面容易出错.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

11.当时,某函数满足:①;②;③对任意,则可以是下列函数中的()

A

B

C

D

正确答案

D

解析

排除法,符合的函数图形是凹图像,对于A不满足②;B不满足③,C不满足②,故答案D.

考查方向

本题考查了函数性质的综合应用,高考常以选择题压轴题出现.

解题思路

本题结合不等式的解法和函数的图象和性质进行排除.

易错点

和正切函数线的应用.

填空题 本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
|
分值: 5分

13.设,函数的导函数为,且是奇函数,则

正确答案

-1

解析

求导数可得f′(x)==(ex)′-a(e-x)′=ex+,∵是奇函数,∴f′(0)=1+a=0,解得a=-1,故答案-1.

考查方向

本题考查导数的运算,涉及函数的奇偶性.是一道综合题.

解题思路

求导数,由是奇函数可得,解方程可得a值.

易错点

忽略常规运算容易出错.

1
题型:填空题
|
分值: 5分

14.点P是函数的图象的最高点,M、N与点P相邻的该图象与轴的两个交点,且,若,则的值为

正确答案

解析

由题意可得△PMN为等腰直角三角形,斜边上的高等于2,故斜边长等于4,
再根据N(3,0),可得M(-1,0),∴P(1,2),解得,再由五点法作图可得,故答案.

考查方向

本题主要考查由函数的部分图象求解析式,由周期求出ω,由五点法作图求出φ的值,是高考必考知识.

解题思路

由题意可得△PMN为等腰直角三角形,求得M(-1,0),P(1,2),由周期求的ω=,再由五点法作图求得的值.

易错点

△PMN为等腰直角三角形的判断,以及的求法.

1
题型:填空题
|
分值: 5分

15.设锐角的内角对边分别为,若,则的取值范围是

正确答案

解析

锐角△ABC中,由于A=2B,∴0°<2B<90°,2B+B>,∴30°<B<45°,由正弦定理可得,,故答案.

考查方向

本题主要考查正弦定理的应用,求得30°<B<45°,是解题的关键.

解题思路

由条件求得30°<B<45°,可得的范围.再由正弦定理可得,从而求得的取值范围.

易错点

忽略B的取值范围.

1
题型:填空题
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分值: 5分

16.三棱锥P-ABC的四个顶点都在体积为的球的表面上,底面ABC所在的小圆的面积为,则该三棱锥的高的最大值为

正确答案

8

解析

如图,设球的半径为R,由球的体积公式得:,又设小圆半径为r,则=16π,

∴r=4.显然,当三棱锥的高过球心O时,取得最大值;
,所以高.故答案8.

考查方向

本题考查了由球的体积求半径,由圆的面积求半径,以及勾股定理的应用

解题思路

由球的体积为,可以得球的半径;由小圆面积为16π,可以得小圆的半径;由图知三棱锥高的最大值应过球心,故可以作出解答.

简答题(综合题) 本大题共70分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
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分值: 12分

设各项均为正数的数列的前n项和为,已知,数列是公差为的等差数列.

21.求数列的通项公式(用表示)

22.设为实数,对满足的任意正整数,不等式都成立,求的最大值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由题意知:

化简得:,

时,适合的情形,

.

考查方向

本小题主要考查等差数列的通项.

解题思路

根据等差数列的通项公式,结合已知,列出关于的方程,求出进而推出再利用的关系求出.

易错点

(1)没验证;(2)运算过程出错.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

恒成立.

,故,即的最大值为.

考查方向

本题考查了数列求和以及基本不等式等有关知识,考查探索、分析及论证的能力.

解题思路

利用(21)的结论,对Sm+Sn>c进行化简,转化为基本不等式问题求解;或求出c的最大值的范围,利用夹逼法求出c的值.

易错点

的应用.

1
题型:简答题
|
分值: 12分

已知斜三棱柱的底面是直角三角形,,侧棱与底面所成角为,点在底面上射影D落在BC上.

23.求证:平面

24.若点D恰为BC的中点,且,求的大小;

25.若,且当时,求二面角的大小.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

证明:∵点B1在底面上的射影D落在BC上,∴B1D⊥平面ABC,AC⊂平面ABC,
∴B1D⊥AC,又∵∠ACB=90°,∴BC⊥AC,B1D∩BC=D,∴AC⊥平面BB1C1C.

考查方向

本题考查直线与平面垂直的判定,考查了学生空间想象能力.

解题思路

要证:AC⊥平面BB1C1C,只需证明B1D⊥AC,BC⊥AC即可.

易错点

射影的利用.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

∵B1D⊥面ABC,∴B1D⊥AC,又∵AC⊥BC,∴AC⊥面BB1C1C.∵AB1⊥BC1
∴由三垂线定理可知,B1C⊥BC1,即平行四边形BB1C1C为菱形,又∵B1D⊥BC,且D为BC的中点,∴B1C=B1B,即△BB1C为正三角形,∴∠B1BC=60°,∵B1D⊥面ABC,且点D落在BC上,
∴∠B1BC即为侧棱与底面所成的角,∴60°.

考查方向

本题考查了线面角的求法.

解题思路

由题意可得:B1D⊥AC,再结合题意得到:AC⊥面BB1C1C,得到平行四边形BB1C1C为菱形,再根据解三角形的有关知识可得:∠B1BC=60°,进而结合线面角的定义得到答案.

易错点

证明△BB1C为正三角形.

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

以C点为原点,CA为x轴,CB为y轴,过C点且垂直于平面ABC的直线为z轴,建立空间直角坐标系,则平面ABC的法向量

,设平面的法向量为二面角大小是锐二面角,二面角的大小是.

考查方向

本题考查了二面角的求法以及学生的空间想象能力和运算能力.

解题思路

求出平面ABC和平面的法向量,然后求出这两个法向量所成的角,进而求出的大小.

易错点

(1)空间直角坐标系的建立;(2)法向量的运算.

1
题型:简答题
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分值: 10分

已知分别是的三个内角的对边,.

17.求A的大小.

18.当时,求的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

△ABC中,,由正弦定理得:


【解题思路】先利用正弦定理将边换成角,去分母,再利用两角和的正弦公式化简得到,再在中,考虑角的范围求角.

考查方向

本题主要考查解三角形中正弦定理的应用,以及利用两角和与差的正弦公式进行三角变换,考查基本运算能力.

易错点

的转换.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由正弦定理得,
=,

考查方向

本题主要考查解三角形中正弦定理的应用,以及利用两角和与差的正弦公式、倍角公式等公式进行三角变换,考查基本运算能力,考查分析问题解决问题的能力.是高考的必考题型.

解题思路

利用正弦定理将边用角来表示,利用降幂公式化简,再将C用B角表示,用两角差的正弦公式化简,最后化简成,利用角B的取值范围求函数的值域.

1
题型:简答题
|
分值: 12分

已知数列的前n项和为,且,数列满足,且.

19.求数列的通项公式;

20.设,求数列的前2n项的和

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

∵Sn=2an-2,∴n=1时,a1=2a1-2,解得a1=2,n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2an-2)-(2an-1-2)=2an-2an-1,∴an=2an-1,∴{an}是首项为2,公比为2的等比数列,∴an=2n
∵数列满足b1=1,且,∴是首项为1,公差为2的等差数列,.

考查方向

本题考查数列的通项公式的求法.

解题思路

由已知条件推导出{an}是首项为2,公比为2的等比数列,所以an=2n是首项为1,公差为2的等差数列,所以=2n-1.

易错点

当n=1时不验证.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

.

解析

=.

考查方向

本题考查了数列求和,考查了学生的转化能力.

解题思路

,由此利用分组求和法能求出数列的前项和.

易错点

(1)数列的项数;(2)运算过程出错.

1
题型:简答题
|
分值: 12分

如图所示,某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段OSM,该曲线段为函数的图象,且图象的最高点为;赛道的后一部分为折线段MNP,为保证赛道运动员的安全,限定.

26.求的值和两点间的距离;

27.应如何设计,才能使折线段赛道MNP最长?

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

因为图像的最高点为所以,由图知的周期为所以,所以,所以

考查方向

本题考查了三角函数的图像和性质,由性质求函数解析式,考查两点间的距离公式.

解题思路

由图得到A及周期,利用三角函数的周期公式求出,将M的横坐标代入求出M的纵坐标,利用两点距离公式求出.

易错点

运算出错.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

当角

解析

在△MNP中,,由正弦定理得

设使折线段赛道MNP为L,则=

所以当角时L的最大值是.

考查方向

本题考查了三角形的正弦定理,考查了三角函数的有界性,是全国卷常考题的类型.

解题思路

利用三角形的正弦定理求出NP,MN,求出折线MNP的长,化简三角函数,利用三角函数的有界性求出最大值.

易错点

的化简.

1
题型:简答题
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分值: 12分

已知函数,点.

28.若,求函数在点处的切线方程;

29.当时,若不等式对任意的正实数恒成立,求的取值范围;

30.若,函数处取得极值,且直线OA与直线OB垂直(是坐标原点),求的最小值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由题意知所以

所求的切线方程为

考查方向

本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程,考查了直线方程的求法.

解题思路

根据导数的几何意义求出的切线的斜率,根据点斜式求出切线方程.

易错点

运算出错

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

时,,即

,则

由上表知的最小值,所以.

考查方向

本题考查了不等式恒成立以及利用导数求最值,高考常以压轴题出现

解题思路

分离常数得

转化为的最值.

易错点

(1)转化问题;(2)中间运算容易出错.

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

假设,即

又由的两根可得,,从而

,即

当且仅当时,即时取等号,所以的最小值为.

考查方向

本题考查了用基本不等式求最值,考查了转化的思想.

解题思路

根据垂直时向量之间的关系列出a,b关系式,把,t用a,b表示,根据不等式求出a+b的最小值.

易错点

(1)转化;(2)中间运算.

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