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理科数学 衡水市2017年高三第二次模拟考试
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理科数学 热门试卷

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试卷目录
1、单选题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2、填空题
13
14
15
16
3、简答题
17
18
19
20
21
22
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单选题 本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

1.若复数的实部为1，且，则复数的虚部是(       )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

由题意设，可得解得，故选B.

考查方向

本题考查了复数的概念，每年全国一卷二卷必出题.

解题思路

设出复数，然后利用复数的模求解即可.

易错点

容易漏解.

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

2.设函数，集合，则右图中中阴影部分表示的集合为(   )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

由得，故从而,阴影部分表示在内且不在内的元素构成的集合，故答案D.

考查方向

本题考查了集合的运算以及定义域和值域的求法，高考必有一题.

解题思路

分别求出函数的定义域和值域，求出集合A和B后，分析韦恩图表示的含义，即可得到结果.

易错点

函数值域忽略大于等于0.

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

5.实数满足条件，则的最小值为（）

A16

B4

C1

D

正确答案

D

解析

设z=x-y，即y=x-z，

作出不等式组对应的平面区域如图：


由图象可知当直线y=x-z过点A（0，1）时，直线y=x-z的截距最大，此时z最小，此时z=0-1=-1，故的最小值为，答案D.

考查方向

本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．

解题思路

作出不等式组对应的平面区域，设z=x-y，利用z的几何意义即可得到结论.

易错点

作出不等式所表示的平面区域.

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

8.已知函数的定义在R上的奇函数，当时，满足，则在区间内（）

A没有零点

B恰有一个零点

C至少一个零点

D至多一个零点

正确答案

B

解析

当时，两边同乘以得即，则，令，则是增函数，当时，>0,，∵是奇函数，当时，因为所以在只有一个零点.故答案B.

考查方向

本题考查了函数的奇偶性与单调性之间的关系，是一道函数综合题.

解题思路

当时，两边同乘以得构造判断的符号，因为是奇函数，可以判断零点个数.

易错点

构造函数.

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

3.命题“函数是偶函数”的否定是(    )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

如果函数（）是偶函数，则，所以命题的否定是，故答案A

考查方向

本题考查了偶函数的概念，高考时和其它函数的性质结合出题.

解题思路

根据偶函数的定义和命题的否定得出结论.

易错点

命题的否定和否命题容易混淆.

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

4.已知，则（   ）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

解得故故答案C.

考查方向

本题考查了同角三角函数基本关系式和诱导公式，高考常与三角形结合出题.

解题思路

由条件利用二倍角公式求得正弦，再利用同角三角函数基本关系式求出余弦，再利用诱导公式求出答案.

易错点

三角函数符号容易出错.

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

6.若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于(   )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

由三视图知几何体为直三棱柱削去一个三棱锥，如图，棱柱的高为5；底面为直角三角形且两直角边长分别为3,4，几何体的体积,故答案B.

考查方向

本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及数据对应的几何量.是高考必考知识点.

解题思路

由三视图知几何体为直三棱柱削去一个三棱锥，画出其直观图，计算三棱柱与三棱锥的体积，再求差可得答案.

易错点

判断几何体的形状及数据对应的几何量.

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

7.已知等比数列的公比，且成等差数列，则的前8项和为（）

A127

B255

C511

D1023

正确答案

B

解析

∵等比数列{an}的公比q=2，且2a4，a6，48成等差数列，∴2a1•25=2a1•23+48，解得a1=1，∴{an}的前8项和S8＝，故答案B.

考查方向

本题考查等比数列的前项和的求法，解题时要注意等比数列的通项公式和等差数列的性质的合理运用．

解题思路

由已知条件推导出2a1•25=2a1•23+48，从而求出a1=1，由此能求出{an}的前8项和.

易错点

公式的应用.

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

9.定义：，已知数列满足：，若对任意正整数，都有成立，则的值为（）

A

B2

C

D

正确答案

C

解析

,∵2n2-（n+1）2=（n-1）2-2，当n≥3时，（n-1）2-2＞0，∴当n≥3时an+1＞an；当n＜3时，（n-1）2-2＜0，所以当n＜3时an+1＜an．

∴当n=3时an取到最小值为f（3）=,故答案C.

考查方向

本题主要考查了数列和不等式的综合运用．考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力．

解题思路

根据题意可求得数列{an}的通项公式，进而求得

根据2n2-（n+1）2=（n-1）2-2，进而可知当当n≥3时，（n-1）2-2＞0，推断出当n≥3时数列单调增，n＜3时，数列单调减，进而可知n=3时an取到最小值求得数列的最小值，进而可知的值．

易错点

判断数列的单调性.

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

10.如图，正方体的棱长为，以顶点A为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于（）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A所在的三个面上，即面AA1B1B、面ABCD和面AA1D1D上；另一类在不过顶点A的三个面上，即面BB1C1C、面CC1D1D和面A1B1C1D1上．在面AA1B1B上，交线为弧EF且在过球心A的大圆上，因为AE=2，AA1=则∠A1AE=同理,所以,故弧EF的长为：2×,而这样的弧共有三条．在面BB1C1C上，交线为弧FG且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上,此时，小圆的圆心为B，半径为1，∠FBG=,所以弧FG的长为：1×,于是所得的曲线长为：,故选：A．

考查方向

本题考查空间几何的性质和综合应用，是高考必考题，考查了学生的空间想象能力.

解题思路

球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A所在的三个面上，即面AA1B1B、面ABCD和面AA1D1D上；另一类在不过顶点A的三个面上，即面BB1C1C、面CC1D1D和面A1B1C1D1上．由空间几何知识能求出这两段弧的长度之和．

易错点

等价转化方面容易出错.

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

12.在平面直角坐标系中，点，对于某个正实数，存在函数，使得为常数），这里点的坐标分别为，则的取值范围是（ ）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

由题设知，点P（1，a），Q（k，ak2），A（5，0），

(为常数），，两式相除得

且.故答案选A.

考查方向

本题考查平面向量的综合运算，考查了化归转化思想.

解题思路

由题设知

，由知，，由此求出的取值范围.

易错点

运算方面容易出错.

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

11.当时，某函数满足：①；②；③对任意有，则可以是下列函数中的（）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

排除法，符合的函数图形是凹图像，对于A不满足②；B不满足③，C不满足②，故答案D.

考查方向

本题考查了函数性质的综合应用，高考常以选择题压轴题出现.

解题思路

本题结合不等式的解法和函数的图象和性质进行排除.

易错点

和正切函数线的应用.

填空题 本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在题中横线上。
1
题型：填空题
|
分值: 5分

13.设，函数的导函数为，且是奇函数，则

正确答案

-1

解析

求导数可得f′（x）==（ex）′-a（e-x）′=ex+，∵是奇函数，∴f′（0）=1+a=0，解得a=-1，故答案-1.

考查方向

本题考查导数的运算，涉及函数的奇偶性.是一道综合题.

解题思路

求导数，由是奇函数可得，解方程可得a值．

易错点

忽略常规运算容易出错.

1
题型：填空题
|
分值: 5分

14.点P是函数的图象的最高点，M、N与点P相邻的该图象与轴的两个交点，且，若，则的值为

正确答案

解析

由题意可得△PMN为等腰直角三角形，斜边上的高等于2，故斜边长等于4，
再根据N（3，0），可得M（-1，0），∴P（1，2），解得，再由五点法作图可得，故答案.

考查方向

本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，是高考必考知识.

解题思路

由题意可得△PMN为等腰直角三角形，求得M（-1，0），P（1，2），由周期求的ω=,再由五点法作图求得的值．

易错点

△PMN为等腰直角三角形的判断，以及的求法.

1
题型：填空题
|
分值: 5分

15.设锐角的内角对边分别为，若，则的取值范围是

正确答案

解析

锐角△ABC中，由于A=2B，∴0°＜2B＜90°，2B+B＞，∴30°＜B＜45°，由正弦定理可得,,故答案.

考查方向

本题主要考查正弦定理的应用，求得30°＜B＜45°，是解题的关键.

解题思路

由条件求得30°＜B＜45°，可得的范围．再由正弦定理可得，从而求得的取值范围．

易错点

忽略B的取值范围.

1
题型：填空题
|
分值: 5分

16.三棱锥P-ABC的四个顶点都在体积为的球的表面上，底面ABC所在的小圆的面积为，则该三棱锥的高的最大值为

正确答案

8

解析

如图，设球的半径为R，由球的体积公式得：,又设小圆半径为r，则=16π，

∴r=4．显然，当三棱锥的高过球心O时，取得最大值；
由,所以高.故答案8.

考查方向

本题考查了由球的体积求半径，由圆的面积求半径，以及勾股定理的应用

解题思路

由球的体积为，可以得球的半径；由小圆面积为16π，可以得小圆的半径；由图知三棱锥高的最大值应过球心，故可以作出解答．

简答题（综合题） 本大题共70分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型：简答题
|
分值: 12分

设各项均为正数的数列的前n项和为，已知，数列是公差为的等差数列.

21.求数列的通项公式（用表示）

22.设为实数，对满足且的任意正整数，不等式都成立，求的最大值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由题意知：

化简得：,

当时，适合的情形，

故.

考查方向

本小题主要考查等差数列的通项.

解题思路

根据等差数列的通项公式，结合已知，列出关于的方程，求出，进而推出再利用与的关系求出.

易错点

（1）没验证；（2）运算过程出错.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

恒成立.

又且，故,即的最大值为.

考查方向

本题考查了数列求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证的能力.

解题思路

利用（21）的结论，对Sm+Sn＞c进行化简，转化为基本不等式问题求解；或求出c的最大值的范围，利用夹逼法求出c的值．

易错点

的应用.

1
题型：简答题
|
分值: 12分

已知斜三棱柱的底面是直角三角形，，侧棱与底面所成角为，点在底面上射影D落在BC上.

23.求证：平面；

24.若点D恰为BC的中点，且，求的大小；

25.若，且当时，求二面角的大小.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

证明：∵点B1在底面上的射影D落在BC上，∴B1D⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，
∴B1D⊥AC，又∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC，B1D∩BC=D，∴AC⊥平面BB1C1C．

考查方向

本题考查直线与平面垂直的判定，考查了学生空间想象能力.

解题思路

要证：AC⊥平面BB1C1C，只需证明B1D⊥AC，BC⊥AC即可.

易错点

射影的利用.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

∵B1D⊥面ABC，∴B1D⊥AC，又∵AC⊥BC，∴AC⊥面BB1C1C．∵AB1⊥BC1，
∴由三垂线定理可知，B1C⊥BC1，即平行四边形BB1C1C为菱形，又∵B1D⊥BC，且D为BC的中点，∴B1C=B1B，即△BB1C为正三角形，∴∠B1BC=60°，∵B1D⊥面ABC，且点D落在BC上，
∴∠B1BC即为侧棱与底面所成的角，∴60°．

考查方向

本题考查了线面角的求法.

解题思路

由题意可得：B1D⊥AC，再结合题意得到：AC⊥面BB1C1C，得到平行四边形BB1C1C为菱形，再根据解三角形的有关知识可得：∠B1BC=60°，进而结合线面角的定义得到答案．

易错点

证明△BB1C为正三角形.

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

以C点为原点，CA为x轴，CB为y轴，过C点且垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则平面ABC的法向量

，设平面的法向量为由得，二面角大小是锐二面角，二面角的大小是.

考查方向

本题考查了二面角的求法以及学生的空间想象能力和运算能力.

解题思路

求出平面ABC和平面的法向量，然后求出这两个法向量所成的角，进而求出的大小.

易错点

（1）空间直角坐标系的建立；（2）法向量的运算.

1
题型：简答题
|
分值: 10分

已知分别是的三个内角的对边，.

17.求A的大小.

18.当时，求的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

△ABC中，，由正弦定理得：，
即，

故
【解题思路】先利用正弦定理将边换成角，去分母，再利用两角和的正弦公式化简得到，再在中，考虑角的范围求角.

考查方向

本题主要考查解三角形中正弦定理的应用，以及利用两角和与差的正弦公式进行三角变换，考查基本运算能力.

易错点

的转换.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由正弦定理得,
=,

考查方向

本题主要考查解三角形中正弦定理的应用，以及利用两角和与差的正弦公式、倍角公式等公式进行三角变换，考查基本运算能力，考查分析问题解决问题的能力.是高考的必考题型.

解题思路

利用正弦定理将边用角来表示，利用降幂公式化简，再将C用B角表示，用两角差的正弦公式化简，最后化简成,利用角B的取值范围求函数的值域.

1
题型：简答题
|
分值: 12分

已知数列的前n项和为，且，数列满足，且.

19.求数列，的通项公式；

20.设，求数列的前2n项的和

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

∵Sn=2an-2，∴n=1时，a1=2a1-2，解得a1=2，n≥2时，an=Sn-Sn-1=（2an-2）-（2an-1-2）=2an-2an-1，∴an=2an-1，∴{an}是首项为2，公比为2的等比数列，∴an＝2n．
∵数列满足b1=1，且,∴是首项为1，公差为2的等差数列，.

考查方向

本题考查数列的通项公式的求法.

解题思路

由已知条件推导出{an}是首项为2，公比为2的等比数列，所以an＝2n．是首项为1，公差为2的等差数列，所以=2n-1．

易错点

当n=1时不验证.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

.

解析

，

=.

考查方向

本题考查了数列求和，考查了学生的转化能力.

解题思路

，由此利用分组求和法能求出数列的前项和.

易错点

（1）数列的项数；（2）运算过程出错.

1
题型：简答题
|
分值: 12分

如图所示，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数的图象，且图象的最高点为；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证赛道运动员的安全，限定.

26.求的值和两点间的距离；

27.应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

因为图像的最高点为所以,由图知的周期为所以，所以，所以

考查方向

本题考查了三角函数的图像和性质，由性质求函数解析式，考查两点间的距离公式.

解题思路

由图得到A及周期，利用三角函数的周期公式求出，将M的横坐标代入求出M的纵坐标，利用两点距离公式求出.

易错点

运算出错.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

当角

解析

在△MNP中，故，由正弦定理得，

设使折线段赛道MNP为L,则=

所以当角时L的最大值是.

考查方向

本题考查了三角形的正弦定理，考查了三角函数的有界性，是全国卷常考题的类型.

解题思路

利用三角形的正弦定理求出NP,MN，求出折线MNP的长，化简三角函数，利用三角函数的有界性求出最大值.

易错点

的化简.

1
题型：简答题
|
分值: 12分

已知函数，点.

28.若，求函数在点处的切线方程；

29.当时，若不等式对任意的正实数恒成立，求的取值范围；

30.若，函数在和处取得极值，且直线OA与直线OB垂直（是坐标原点），求的最小值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由题意知所以又，

所求的切线方程为

考查方向

本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了直线方程的求法.

解题思路

根据导数的几何意义求出的切线的斜率，根据点斜式求出切线方程.

易错点

运算出错

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

当时，，即，

令，则由得

由上表知的最小值，所以.

考查方向

本题考查了不等式恒成立以及利用导数求最值，高考常以压轴题出现

解题思路

由分离常数得，

转化为的最值.

易错点

（1）转化问题；(2)中间运算容易出错.

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

假设,即，

故

又由为的两根可得，，从而，

，即

当且仅当时，即时取等号，所以的最小值为.

考查方向

本题考查了用基本不等式求最值，考查了转化的思想.

解题思路

根据垂直时向量之间的关系列出a,b关系式，把,t用a,b表示,根据不等式求出a+b的最小值.

易错点

（1）转化；（2）中间运算.

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