理科数学 热门试卷

（1）一：由①可得当时，②，

由①-②可得，，所以，

即当时，，

所以，将上面各式两边分别相乘得，

，即（），又，所以（），此结果也满足，故对任意都成立。……………7分

二：由及可得，即，

当时，

（此式也适合），对任意正整数均有，

当时，（此式也适合），故。……………7分

（2）依题意可得

……………12分

（1）∵cos2C=cosC，∴2cos2C-cosC-1=0

即(2cosC+1)(cosC-1)=0，又0<C<π，∴，∴C=.………6分

（2）由余弦定理得：c2=a2+(2a)2-2a·(2a)cos=7a2，∴c=a

又由正弦定理得：sinC=sinA，∴sinA=.………9分

∵S=absinC，∴absinC=sinA·sinB，

∴，得：c=sin=.………12分

（1）不妨设=1，又，

∴在△ABC中，，

∴，则=，………………1分

所以,

又,

∴,且也为等腰三角形.………3分

（法一）取AB中点Q，连接MQ、NQ，∴，

∵面，

∴，∴，…………5分

所以AB⊥平面MNQ，又MN平面MNQ

∴AB⊥MN……6分

（法二），则,以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系

可得，，,,…………4分

∴,

则，所以．…………6分

（2）同（1）法二建立空间直角坐标系，可知，，

平面的法向量可取为，……8分

设平面的法向量为，

，，

则，即，可取，……10分

∴，

故平面与平面的夹角的余弦值．…12分

（Ⅲ），令得

由题意知方程有两个不相等的正数根，则

解得， 解方程得，则. …………9分

又由得，

所以=,

当时， ，即函数是上的增函数

所以，故的取值范围是.

则.…………11分

同理可求，=，

，即函数是上的减函数

所以，故的取值范围是

则=或=0…………12分

当=时，；

当=时，.…………14分