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设集合,
,集合
中所有元素之和为8,则实数
的取值集合为( )
正确答案
在复平面内,复数满足
,则
的共轭复数
对应的点位于( )
正确答案
若直线与直线
互相垂直,则
展开式中
的系数为( )
正确答案
已知命题:存在
,使得
;命题
:对任意
,都有
,
则( )
正确答案
如图是某个四面体的三视图,若在该四面体的外接球内任取一点,
则点落在四面体内的概率为( )
正确答案
已知等差数列的前n项和为
,又知
,且
,
,则
为( )
正确答案
已知为第二象限角,
,则
( )
正确答案
某教研机构随机抽取某校个班级,调查各班关注汉字听
写大赛的学生人数,根据所得数据的茎叶图,以组距为
将数据分组成,
,
,
,
,
,
,
时,所作的频率分布直方图如图所示,则
原始茎叶图可能是( )
正确答案
已知实数满足
,若目标函数
的最大值为
,最小值为
,则实数
的取值范围是( )
正确答案
已知函数,若存在
,使得函数
有三个零点,则实数
的取值范围是( )
正确答案
(2)设,若不等式
对任意实数
恒成立,则
的取值范围是( )
正确答案
选做题:请考生在下列两题中任选一题作答. 若两题都做,则按所做的第一题评阅计分,本题共5分.
(1)直线的参数方程是
(其中
为参数),圆
的极坐标方程
,过直线上的点向圆引切线,则切线长的最小值是( )
正确答案
如右表中的数阵,其特点是每行每列都成等差数列,记第行
第列的数为
,则数字41在表中出现的次数为 .
正确答案
8;
已知,
,
,
,则
与
的夹角大小为 .
正确答案
;
11. 某程序框图(即
算法流程图)
如右图所示,若使
输出的结果不大于20,则输入的整数的最大值为_______.
正确答案
4;
设是双曲线
在第一象限内的点,
为其右焦点,点
关于原点
的对称点为
若
设
且
则双曲线离心率的取值范围是 .
正确答案
(本小题满分12分)
已知数列的前
项和为
,首项
,且对于任意
都有
.
(1)求的通项公式;
(2)设,且数列
的前
项之和为
,求证:
.
正确答案
(1)一:由①可得当
时,
②,
由①-②可得,,所以
,
即当时,
,
所以,将上面各式两边分别相乘得,
,即
(
),又
,所以
(
),此结果也满足
,故
对任意
都成立。……………7分
二:由及
可得
,即
,
当
时,
(此式也适合),
对任意正整数
均有
,
当
时,
(此式也适合
),故
。……………7分
(2)依题意可得
……………12分
(本小题满分12分)
在中,角
所对的边分别为
,且
.
(1)求角C;
(2)若,
的面积
,求
及边
的值.
正确答案
(1)∵cos2C=cosC,∴2cos2C-cosC-1=0
即(2cosC+1)(cosC-1)=0,又0<C<π,∴,∴C=
.………6分
(2)由余弦定理得:c2=a2+(2a)2-2a·(2a)cos=7a2,∴c=
a
又由正弦定理得:sinC=sinA,∴sinA=
.………9分
∵S=absinC,∴
absinC=
sinA·sinB,
∴,得:c=
sin
=
.………12分
(本小题满分12分)
甲、乙、丙三位同学彼此独立地从A、B、C、D、E五所高校中,任选2所高校参加自主招生考试(并且只能选2所高校),但同学甲特别喜欢A高校,他除选A校外,在B、C、D、E中再随机选1所;同学乙和丙对5所高校没有偏爱,都在5所高校中随机选2所即可.
(1)求甲同学未选中E高校且乙、丙都选中E高校的概率;
(2)记X为甲、乙、丙三名同学中未参加E校自主招生考试的人数,求X的分布列及数学期望.
正确答案
(本小题满分12分)
如图,在三棱锥中,
面
,
,且
,
为
的中点,
在
上,且
.
(1)求证:;
(2)求平面
与平面
的夹角的余弦值.
正确答案
(1)不妨设=1,又
,
∴在△ABC中,,
∴,则
=
,………………1分
所以,
又,
∴,且
也为等腰三角形.………3分
(法一)取AB中点Q,连接MQ、NQ,∴,
∵面
,
∴,∴
,…………5分
所以AB⊥平面MNQ,又MN平面MNQ
∴AB⊥MN……6分
(法二),则
,以A为坐标原点,
的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系
可得,
,
,
,…………4分
∴
,
则,所以
.…………6分
(2)同(1)法二建立空间直角坐标系,可知,
,
平面的法向量可取为
,……8分
设平面的法向量为
,
,
,
则,即
,可取
,……10分
∴,
故平面与平面
的夹角的余弦值
.…12分
(本小题满分14分)
设函数.
(1)当时,求过点
且与曲线
相切的切线方程;
(2)求函数的单调递增区间;
(3)若函数有两个极值点
,且
,记
表示不大于
的最大整数,试比较
与
的大小.
正确答案
(Ⅲ),令
得
由题意知方程有两个不相等的正数根,则
解得, 解方程得
,则
. …………9分
又由得
,
所以=
,
当时,
,即函数
是
上的增函数
所以,故
的取值范围是
.
则.…………11分
同理可求,
=
,
,即函数
是
上的减函数
所以,故
的取值范围是
则=
或
=0…………12分
当=
时,
;
当=
时,
.…………14分
(本小题满分13分)
已知椭圆的左右焦点分别为
,点
为短轴的一个端点,
.
(1)求椭圆的方程;
(2)如图,过右焦点,且斜率为
的直线
与椭圆
相交于
两点,
为椭圆的右顶点,直线
分别交直线
于点
,线段
的中点为
,记直线
的斜率为
.求证:
为定值.
正确答案
(1)由条件可知, 故所求椭圆方程为
. ……4分
(2)设过点的直线
方程为:
.
由可得:
因为点在椭圆内,所以直线
和椭圆都相交,即
恒成立.
设点,则
. ……8分
因为直线的方程为:
,直线
的方程为:
,
令,可得
,
,
所以点的坐标
.……10分
直线的斜率为
,所以
为定值
. ……13分