理科数学 成都市2017年高三第一次模拟考试
精品
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单选题 本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

2.已知,则复数(     )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

,所以

考查方向

本题主要考查了复数的乘法运算,共轭复数

解题思路

复数的乘法运算,利用共轭复数可求z

易错点

复数的乘法运算

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

5. 已知函数,在0处的导数为27,则(    )

A-27

B27

C-3

D3

正确答案

D

解析

f′(x)=(4x3+60x2+6x+7)(2x3+3x2+kx)(x+k)+(x4+20x3+3x2+7x+k)(6x2+6x+k)(x+k)+(x4+20x3+3x2+7x+k)(2x3+3x2+kx),

f′(0)=k3=27,解得k=3.

选:D

考查方向

本题主要考查了导数的运算法则

解题思路

利用导数的运算法则求解

易错点

导数的运算法则

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

6. 下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗(吨标准煤)的几组对应数据,根据表中提供的数据,求出关于的线性回归方程,那么表中的值为?(    )

A4

B3.5

C3

D4.5

正确答案

C

解析

根据所给的表格可以求出=4.5,=

∵这组数据的样本中心点在线性回归直线上,

=0.7×4.5+0.35,

m=3,

选:C

考查方向

本题主要考查了线性回归方程

解题思路

据表格中所给的数据,求出这组数据的x,y的平均值,代入得到关于m的方程,解方程即可

易错点

中心点在线性回归直线上

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

7.化简(    )

A1

B

C

D

正确答案

D

解析

2n﹣Cn1×2n﹣1+Cn2×2n﹣2+…+(﹣1)n﹣1Cnn﹣1×2

=×2n﹣Cn1×2n﹣1+Cn2×2n﹣2+…+(﹣1)n﹣1Cnn﹣1×2+(﹣1)n×20﹣(﹣1)n

=(2﹣1)n﹣(﹣1)n=1﹣(﹣1)n

选:D.

考查方向

本题主要考查了二项式展开式的公式

解题思路

利用二项式展开式的公式逆用化简

易错点

二项式展开式的公式逆用

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

8.已知在中,上的点,则的距离的乘积的最大值为(    )

A3

B2

C

D9

正确答案

A

解析

作PM⊥AC于M,PN⊥BC于N.设PM=x

因为三角形是直角三角形,显然△AMP∽△ACB,所以可得:

所以AM=,MC=4﹣. 所以PN=4﹣

PM•PN=x(4﹣)=x(3﹣x)=(﹣x2+3x

=﹣x2+3.

x=时(此时点P是AB的中点),PM•PN有最大值3

选A

考查方向

本题主要考查了解三角形

解题思路

作PM⊥AC于M,PN⊥BC于N.设PM=x,通过三角形相似,求出PM,PN,即可推出点P到AC,BC的距离的积的表达式,利用二次函数求出乘积的最大值

易错点

列出表达式

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

9.已知的内角所对的边分别为,若,则角的度数为(    )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解:∵3acosC=2ccosA,tanA=

∴3sinAcosC=2sinCcosA,可得:tanA=tanC,解得:tanC=

tanB=﹣tan(A+C)=﹣=﹣1,

∵B∈(0°,180°),

∴B=135°.

选:B

考查方向

本题主要考查了正弦定理,同角三角函数关系式,诱导公式,两角和的正切函数

解题思路

利用正弦定理可得tanA=tanC,从而解得tanC,利用三角函数关系求tanB的值,结合范围B∈(0°,180°),即可得解B的值

易错点

三角函数化简

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

10. 如果某射手每次射击击中目标的概率为0.74,每次射击的结果相互独立,那么他在10次射击中,最有可能击中目标儿几次(    )

A6

B7

C8

D9

正确答案

C

解析

由题意,假设最可能击中目标的次数为k,则,可得k=8,

选C

考查方向

本题主要考查了n次独立重复实验中恰好发生k次的概率计算公式的应用

解题思路

假设最可能击中目标的次数为k,由条件利用n次独立重复实验中恰好发生k次的概率公式可得k的最大值

易错点

n次独立重复实验中恰好发生k次的概率计算公式的应用

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

1.设集合,则(    )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

根据题意:集合A={x|x<﹣1或x>1},集合B={x|x>1}

∴A∩B={x|x>1}.

选A

考查方向

本题主要考查了交集运算, 一元二次不等式和对数不等式的解法

解题思路

解一元二次不等式和对数不等式化简集合A,B,再求交集

易错点

对数不等式的解法

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

3.设曲线及直线所围成的封闭图形为区域,不等式组所确定的区域为,在区域内随机取一点,该点恰好在区域的概率为(    )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

画出由曲线y=x+1与纵轴及直线y=2所围成的封闭图形区域D(阴影部分),

以及不等式组所确定的区域E,

如图所示,

则在区域E内随机取一点,该点恰好在区域D的概率为:

P==

选 C.

考查方向

本题主要考查了几何概型

解题思路

分别画出由曲线y=x+1与纵轴及直线y=2所围成的封闭图形区域D(阴影部分),以及不等式组所确定的区域E,计算阴影面积与正方形面积比即可

易错点

画出曲线所围成的封闭图形区域

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

4. 若随机变量服从正态分布,则(   )

A

B

C

D1

正确答案

A

解析

∵随机变量X服从正态分布N(5,1),

∴P(4<X<6)=0.6826, P(5<X<7)=0.9544,

∴P(6<X<7)=(0.9544﹣0.6826)=0.1359,

选A

考查方向

本题主要考查了正态分布

解题思路

利用随机变量X服从正态分布N(5,1),可得P(4<X<6)=0.6826,P(5<X<7)=0.9544,从而得出结论

易错点

正态分布

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

11.函数的定义域为,以下命题正确的是(    )

①同一坐标系中,函数与函数的图象关于直线对称;

②函数的图象既关于点成中心对称,对于任意,又有,则的图象关于直线对称;

③函数对于任意,满足关系式,则函数是奇函数.

A①②

B①③

C②③

D①②③

正确答案

D

解析

①,∵y=fx)与y=f(﹣x)关于y轴对称,

y=fx﹣1)与y=f(1﹣x)都是y=fx)与y=f(﹣x)向右平移1个单位得到的,

∴函数y=fx﹣1)与函数y=f(1﹣x)的图象关于直线x=1对称,故①正确;

②,函数fx)的图象既关于点(﹣,0)成中心对称,

f)=﹣fx),而对于任意x,又有fx+)=﹣fx),

f)=fx+),即f(﹣x)=fx),

又根据fx+)=﹣fx),可得函数周期T=3,∴fx+)=f)=fx),

fx)的图象关于直线x=﹣对称,则fx)的图象关于直线x=对称,故②正确;

③,∵,∴函数fx)的图象关于(3,0)对称,

而函数y=fx+3)是把y=fx)向左平移3个单位得到的,

∴函数y=fx+3)是奇函数,故③正确.

故选:D.

考查方向

本题主要考查了命题的真假判断与应用,函数的相关性质

解题思路

y=fx)与y=f(﹣x)关于y轴对称,同时结合函数的图象平移判断①;由函数fx)的图象的两个对称性可得函数周期T=3,进一步得fx+)=f)=fx)判断②;

由已知可得函数fx)的图象关于(3,0)对称,而函数y=fx+3)是把y=fx)向左平移3个单位得到的判断③

易错点

函数的相关性质的运用

1
题型: 单选题
|
分值: 5分

12.定义域为的连续可导函数,若满足以下两个条件:

的导函数没有零点,②对,都有.

则关于方程有(    )个解.

A2

B1

C0

D以上答案均不正确

正确答案

A

解析

由②对∀x∈(0,+∞),都有ffx)+logx)=3.

可得fx)+logx为常数,

k=fx)+logx

fx)=﹣logx+k=log2x+k

log2k+k=3,

解得:k=2,

fx)=log2x+2,

经检验满足条件,

在同一坐标系中画出fx)=log2x+2和y=2+的图象,如下图所示:

由图可得:两个函数图象有两个交点,

故关于x方程fx)=2+有2个解.

考查方向

本题主要考查了用数形结合解决方程解的个数问题

解题思路

由已知可得fx)=log2x+2,在同一坐标系中画出两函数的图象,数形结合得答案

易错点

作出图像

填空题 本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
|
分值: 5分

13.已知的二项式展开式中第4项和第8项的二项式系数相等,则          .

正确答案

10

解析

解:由题意可得=,由二项式系数的性质可得 3+7=n,解得n=10,

故答案为10

考查方向

本题主要考查了二项式系数的性质

解题思路

由题意可得=,根据二项式系数的性质, 得到n的值

易错点

二项式系数的性质

1
题型:填空题
|
分值: 5分

14.已知函数,若,则的范围是          .

正确答案

解析

函数fx)=xexex)=f(﹣x),

函数fx)=xexex)是偶函数,

f′(x)=(exex)+xex+ex),

x>0时,f′(x)>0,fx)递增,

x<0时,fx)递减,

fa+3)>f(2a),

∴|a+3|>|2a|,

解得:﹣1<a<3,

考查方向

本题主要考查了利用导数研究函数的单调性;用单调性、奇偶性解不等式

解题思路

判断出函数fx)的奇偶性,单调性,问题转化为|a+3|>|2a|,求出a的范围

易错点

用单调性、奇偶性解不等式

1
题型:填空题
|
分值: 5分

15.设为平面上过点的直线,的斜率等可能的取,用表示坐标原点到的距离,则随机变量的数学期望          .

正确答案

解析

设直线方程为y=kx+1,

则点(0,1)到直线的距离

k代入,

分别求得距离为,1,

由于l的斜率取什么值是等可能的,

∴X的分布列为

考查方向

本题主要考查了离散型随机变量的分布列和期望

解题思路

根据题意设出直线的方程,表示出坐标原点到直线的距离,将直线的斜率代入,求出所有的距离,算出取各个距离时的概率,写出分布列和期望

易错点

离散型随机变量的分布列和期望

1
题型:填空题
|
分值: 5分

16.已知三次函数,下列命题正确的是          .

①函数关于原点中心对称;

②以两不同的点为切点作两条互相平行的切线,分别与交于两点,则这四个点的横坐标满足关系

③以为切点,作切线与图像交于点,再以点为切点作直线与图像交于点,再以点作切点作直线与图像交于点,则点横坐标为

④若,函数图像上存在四点,使得以它们为顶点的四边形有且仅有一个正方形.

正确答案

①②④

解析

①三次函数fx)=ax3+bxa>0),

f(﹣x)=﹣ax3bx=﹣fx),∴函数y=fx)为奇函数,

∴函数y=fx)的图象关于原点对称.

故①正确.

②由fx)=ax3+bx   求导f′(x)=3ax2+b

A(xAfxA)),B(xBfxB))两不同的点的为切点作两条互相平行的切线,

f′(xA)=f′(xB

∵A,B为不同的两点,∴xA=﹣xB

根据①可知,fxA)=﹣fxB

以点A为切点的切线方程为:y﹣(+bxA)=(3a+b)(xxA),

整理得:y=(3a+bx﹣2

代入fx)=ax3+bx可得:(x+2xA)(xxA2=0,

xC=﹣2xA,   同理可得:xD=﹣2xB

又∵xA=﹣xB

∴(xCxB):(xBxA):(xAxD)=1:2:1,

∴②正确,

∵③以A(x0fx0))为切点,作切线与fx)图象交于点B,

再以点B为切点作直线与fx)图象交于点C,

再以点C为切点作直线与fx)图象交于点D,

此时满足xB=﹣2x0xC=﹣2xBxD=﹣2xC

xD=﹣8x0

③错误.

,设正方形ABCD的对角线AC所在的直线方程为y=kx.BD所在的直线方程为

解得,所以

同理:

, 则

,则方程为

解得

此时正方形只有一个,④正确

考查方向

本题主要考查了函数图象的性质,考查导数的几何意义及直线方程的应用,解析几何的计算

解题思路

根据函数的奇偶性即可得到函数fx)关于原点(0,0)中心对称;求导利用导数的几何意义及直线方程xA=﹣xBxC=﹣2xAxD=﹣2xB,即可求得(xCxB):(xBxA):(xAxD)=1:2:1;由xB=﹣2x0xC=﹣2xBxD=﹣2xC,可得xD=﹣8x0;设直线方程与曲线联立方程组解出一组解

易错点

函数图象的性质,解析几何的复杂计算

简答题(综合题) 本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
|
分值: 12分

四棱锥中,底面为矩形,侧面底面.

19.证明:

20.设与平面所成的角为,求二面角的余弦值的大小.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

解:(1)取中点,连接于点.

,∴

又平面平面,∴平面

.

考查方向

本题主要考查了线面垂直与线线垂直

解题思路

先证明CE⊥面ADF,得线线垂直

易错点

线面垂直

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

(2)在面内过点作的垂线,垂直为.

,∴,∴

即为所求二面角的平面角.

,则

考查方向

本题主要考查了求二面角的大小

解题思路

在面AED内过点E作AD的垂线,垂足为G,则可得∠CGE即为所求二面角的平面角,根据解三角形求角

易错点

求二面角的大小

1
题型:简答题
|
分值: 12分

等差数列的前项和为,已知为整数,且.

17.求的通项公式;

18.设,求数列的前项和的最大值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

解:(1)由为整数知,的通项公式为

考查方向

本题主要考查了等差数列的通项公式

解题思路

等差数列的通项公式由为整数知,知,从而通项公式可求

易错点

等差数列为整数知,知

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

(2),于是CA

.

结合的图象,以及定义域只能取正整数,所以的时候取最大值.

考查方向

本题主要考查了“裂项求和方法”、数列的单调性

解题思路

先用“裂项求和方法”,再用数列的单调性求得最大值

易错点

裂项求和方法

1
题型:简答题
|
分值: 12分

调查表明,高三学生的幸福感与成绩,作业量,人际关系的满意度的指标有极强的相关性,现将这三项的满意度指标分别记为,并对它们进行量化:0表示不满意,1表示基本满意,2表示满意.再用综合指标的值评定高三学生的幸福感等级:若,则幸福感为一级;若,则幸福感为二级;若,则幸福感为三级. 为了了解目前某高三学生群体的幸福感情况,研究人员随机采访了该群体的10名高三学生,得到如下结果:

21.在这10名被采访者中任取两人,求这两人的成绩满意度指标相同的概率;

22.从幸福感等级是一级的被采访者中任取一人,其综合指标为,从幸福感等级不是一级的被采访者中任取一人,其综合指标为,记随机变量,求的分布列及其数学期望.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

解:(1)设事件这10名被采访者中任取两人,这两人的成绩满意度指标相同

成绩满意度指标为0的有:1人

成绩满意度指标为1的有:7人

成绩满意度指标为2的有:2人

考查方向

本题主要考查了离散型随机变量的概率

解题思路

列举相关事件的个数,求出他们的职业满意度指标相同的概率

易错点

列举事件的个数

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

(2)统计结果,幸福感等级是一级的被采访者共6人,幸福感等级不是一级的被采访者共4名,随机变量的所有可能取值为1,2,3,4,5

,过程略

.

考查方向

本题主要考查了离散型随机变量的分布列、数学期望

解题思路

由已知得随机变量X的所有可能取值为:1,2,3,4,5,分别求出相应的概率,由此能求出X的分布列及其数学期望

易错点

离散型随机变量的分布列

1
题型:简答题
|
分值: 12分

已知椭圆的离心率为,以为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.

23.求椭圆的标准方程;

24.已知点,和面内一点,过点任作直线与椭圆相交于两点,设直线的斜率分别为,若,试求满足的关系式.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

解:(1)由题意,,解得a=b=1.

∴椭圆C的标准方程为

考查方向

本题主要考查了椭圆的标准方程

解题思路

由题意列出关于abc的方程组,求得ab的值,则可得椭圆方程

易错点

解方程组

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

(2)①当直线斜率不存在时,由,解得,不妨设

因为,所以,所以的关系式为.

②当直线的斜率存在时,设点,设直线,联立椭圆整理得:,根系关系略,所以

所以,所以的关系式为.

考查方向

本题主要考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用,以及“设而不求”的解题思想方法

解题思路

当直线斜率不存在时,求出A,B的坐标,得到直线AN,BN的斜率,可得mn满足的关系式.当直线的斜率存在时,设点A,B坐标,设直线l方程,联立椭圆整理得一元二次方程,利用根与系数的关系求得直线AN,BN的斜率和,进一步得到NP的斜率,可得mn满足的关系式

易错点

“设而不求”的解题思想方法

1
题型:简答题
|
分值: 12分

已知函数.

25.当时,求函数的最大值;

26.函数轴交于两点,证明:.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

-1

解析

解:(1)当时,,求导得,很据定义域,容易得到在处取得最大值,得到函数的最大值为-1

考查方向

本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值

解题思路

利用导数求出单调性,即可求最值

易错点

利用导数求闭区间上函数的最值

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

(2)根据条件得到,两式相减得

因为

因为,所以,要证

即证

即证,即证

,原式即证,即证

构造求导很容易发现为负,单调减,所以得证

考查方向

本题主要考查了导函数的综合应用:利用构造函数的方法证明不等式

解题思路

把交点代入,求出m的关系;利用构造函数的方法,证明问题

易错点

构造函数

1
题型:简答题
|
分值: 10分

选做题一  选修4-4:坐标系与参数方程

在直角坐标系中,曲线的参数方程为为参数,),在以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线.

27.求曲线的普通方程,并将的方程化为极坐标方程;

28.直线的极坐标方程为,其中满足,若曲线的公共点都在上,求.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

的普通方程的极坐标方程

解析

解:(1)消去参数得到的普通方程,将代入的普通方程,得到的极坐标方程

考查方向

本题主要考查了参数方程,极坐标与直角坐标的互化

解题思路

把曲线C1的参数方程变形,然后两边平方作和即可得到普通方程,可知曲线C1是圆,化为一般式,结合x2+y22ysinθ化为极坐标方程

易错点

极坐标与直角坐标的互化

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

1

解析

(2)曲线的公共点的极坐标满足方程组,若

由方程组得,由已知,可解得

根据,得到,当时,极点也为的公共点,在上,所以.

考查方向

本题主要考查了两圆公共弦所在直线方程的求法

解题思路

化曲线C2、C3为直角坐标方程,把C1与C2的方程作差求出圆C1与C2的公共弦所在直线方程,结合公共弦所在直线方程为y=2x可得1﹣a2=0,求出a

易错点

两圆公共弦所在直线方程的求法

1
题型:简答题
|
分值: 10分

选做题二 (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲

已知函数.

29.当时,求不等式的解集;

30.若的图象与轴围成的三角形面积大于6,求的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

(1)当时,不等式化为

,不等式化为,无解;

,不等式化为,解得

,不等式化为,解得

综上,不等式的解集为.

考查方向

本题主要考查了绝对值不等式的解法

解题思路

a=1时,讨论符号 去掉绝对值,转化为与之等价的三个不等式组,分别求得每个不等式组的解集,再取并集

易错点

讨论绝对值符号

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

(2)由题设把写成分段函数,所以函数图象与轴围成的三角形的三个顶点分别为

解得,由题设得,得到,所以的范围是.

考查方向

本题主要考查了绝对值化分段函数,解不等式

解题思路

化简绝对值为分段函数,求得它的图象与x轴围成的三角形的三个顶点的坐标,从而求得fx)的图象与x轴围成的三角形面积;再根据fx)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,从而求得a的取值范围

易错点

绝对值化分段函数

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