• 理科数学 南京市2014年高三试卷
填空题 本大题共14小题,每小题5分,共70分。把答案填写在题中横线上。
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2.若复数 (i是虚数单位)为纯虚数,则实数a=(     )

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1.设集合A={x|-1<x<2},B={x|0<x<4,x∈N},则A∩B=(    )

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3.某时段内共有100辆汽车经过某一雷达测速区域,将测得的汽车时速绘制成如图所示的频率分布直方图。根据图形推断,该时段时速超过50km/h的汽车辆数为(    )

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4.如图是一个算法流程图,则输出的S的值是(    )

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5.一只口袋内装有大小相同的5只球,其中3只黑球,2只白球,从中一次随机摸出2只球,至少有1只黑球的概率是(     )

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7.函数的单调增区间是(    )

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8.设实数x,y,b满足,若z=2x+y的最小值为3,则实数b的值为(    )

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6.已知α,β表示两个不同的平面,m为平面α内的一条直线,则“α⊥β”是“m⊥β”的(    )条件。(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)

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9.设a,b均为正实数,则的最小值是(    )

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10.设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增,则满足不等式f(1)<f(lg(2x))的x的取值范围是(    )

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12.在平面直角坐标系xOy中,点M是椭圆(a>b>0)上的点,以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F,圆M与y轴相交于P,Q两点。若△PQM是钝角三角形,则该椭圆离心率的取值范围是(    )

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13.对于定义域内的任意实数x,函数f(x)=的值恒为正数,则实数a的取值范围是(    )

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14.记数列{an}的前n项和为Sn,若不等式对任意等差数列{an}及任意正整数n都成立,则实数m的最大值为(    )

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11.在△ABC中,已知∠BAC=90°,AB=6,若D点在斜边BC上,CD=2DB,则的值为(    )

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简答题(综合题) 本大题共130分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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15.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且

(1)求角的值;

(2)若角边上的中线=,求的面积。

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16.在四棱锥P-ABCD中,∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点。

(1)求证:平面PAC⊥平面PCD;

(2)求证:CE//平面PAB。

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18.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆(a>b>0)的离心率为,两个顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。过点D(1,0)的直线交椭圆于M,N两点,直线A1M与NA2的交点为G 。

(1)求实数a,b的值;

(2)当直线MN的斜率为1时,若椭圆上恰有两个点P1,P2使得△P1MN和△P2MN的面积为S,求S的取值范围;

(3)求证:点G在一条定直线上。

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19.已知数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且满足a1+a2+a3=9,b1b2b3=27。

(1)若a4=b3,b4-b3=m

①当m=18时,求数列{an}和{bn}的通项公式;

②若数列{bn}是唯一的,求m的值;

(2)若a1+b1,a2+b2,a3+b3均为正整数,且成等比数列,求数列{an}的公差d的最大值。

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20.设a是实数,函数f(x)=ax2+(a+1)x-2lnx

(1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;

(2)当a=2时,过原点O作曲线y=f(x)的切线,求切点的横坐标;

(3)设定义在D上的函数y=g(x)在点P(x0,y0)处的切线方程为l:y=h(x),当x≠x0 时,若<0在D内恒成立,则称点P为函数y=g(x)的“巧点”。当a=时,试问函数y=f(x)是否存在“巧点”?若存在,请求出“巧点”的横坐标;若不存在,说明理由。

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17.某商场为促销要准备一些正三棱锥形状的装饰品,用半径为10cm的圆形包装纸包装。要求如下:正三棱锥的底面中心与包装纸的圆心重合,包装纸不能裁剪,沿底边向上翻折,其边缘恰好达到三棱锥的顶点,如图所示。设正三棱锥的底面边长为xcm,体积为Vcm在所有能用这种包装纸包装的正三棱锥装饰品中,V的最大值是多少?并求此时x的值。

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21.【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

A.几何证明选讲

如图,设AB、CD是圆O的两条弦,直线AB是线段CD的垂直平分线。已知AB=6,CD=,求线段AC的长度。

B.矩阵与变换

设矩阵A=,矩阵A属于特征值的一个特征向量为,属于特征值的一个特征向量,求ad-bc的值。

C.坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。设点A,B分别在曲线为参数)和曲线上,求线段AB的最小值。

D.不等式选讲

设a,b,c均为正数,abc=1,求证:

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22.在一个盒子中放有大小质量相同的四个小球,标号分别为1,2,3,4,现从这个盒子中有放回地先后摸出两个小球,它们的标号分别为x,y,记ξ=|x-y|。

(1)求P(ξ=1);

(2)求随机变量ξ的分布列和数学期望。

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23.有三种卡片分别写有数字1,10和100。设m为正整数,从上述三种卡片中选取若干张,使得这些卡片上的数字之和为m。考虑不同的选法种数,例如当m=11时,有如下两种选法:“一张卡片写有1,另一张卡片写有10”或“11张写有1的卡片”,则选法种数为2。

(1)若m=100,直接写出选法种数;

(2)设n为正整数,记所选卡片的数字和为100n的选法种数为a当n≥2时,求数列{an}的通项公式。

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