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2016年高考真题 理科数学 (天津卷)
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理科数学 热门试卷

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试卷目录
1、单选题
1
2
3
4
5
6
7
8
2、填空题
9
10
11
12
13
14
3、简答题
15
16
17
18
19
20
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单选题 本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

1.已知集合则=（   ）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

，，∴，选D．

考查方向

本题主要考查了集合的运算，为高考必考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高，常与函数函数定义域及值域、解不等式等知识点交汇命题。

解题思路

先求出集合B，再求交集。

易错点

本题容易审错题意，误求并集，忽略集合B中代表元素及导致出错。

知识点

交集及其运算
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

4.阅读程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（    ）

A2

B4

C6

D8

正确答案

B

解析

依次循环：第一次：，

第二次：，

第三次：，

结束循环，输出，选B.

考查方向

本题主要考查了循环结构流程图，在近几年的各省高考题出现的频率较高，常与数列求和、函数性质等知识点交汇命题。

解题思路

算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项，本题直接按照程序逐步列出运行结果。

易错点

不知何时终止循环导致出错。

知识点

循环结构
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

5.设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对任意的正整数n，”的（    ）

A充要条件

B充分而不必要条件

C必要而不充分条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

C

解析

由题意得，，故是必要不充分条件，故选C.

考查方向

本题主要考查了推出与充分条件、必要条件的判断，为高考常考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高，常与函数、不等式、数列的性质等知识点交汇命题。

解题思路

充分、必要条件的判断可以用定义法、等价法货集合法．本题直接利用数列的通项公式进行转化即可解决。

易错点

不能灵活应用数列的通项公式已知条件进行转化导致出错。

知识点

充要条件的应用
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

6.已知双曲线（b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（    ）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

渐近线

设，则，

∴，∴，∴，∴

∴

考查方向

本题主要考查了双曲线的渐近线方程、标准方程等知识点，为高考常考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高，常与双曲线的定义、性质等知识点交汇命题。

解题思路

设出B点坐标，根据题中条件“四边形的ABCD的面积为2b”即可求出八，进而求出双曲线的标准方程.

易错点

不知如何应用“四边形的ABCD的面积为2b”导致本题无思路。

知识点

双曲线的定义及标准方程
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

3.在△ABC中，若,BC=3， ,则AC= （    ）

A1

B2

C3

D4

正确答案

A

解析

设

由余弦定理得：

或（舍），∴，选A．

考查方向

本题主要考查了余弦定理、解一元二次方程等知识点，在近几年的各省高考题出现的频率较高，常与三角函数的性质、正余弦定理等知识点交汇命题。

解题思路

利用正、余弦定理解三角形其关键是运用两个定理实现边角互化，从而达到知三求三的目的．本题直接根据余弦定理进行计算即可。

易错点

对余弦定理不熟悉导致出错。

知识点

诱导公式的推导
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

2.设变量x，y满足约束条件则目标函数的最小值为（    ）

A

B6

C10

D17

正确答案

B

解析

可行域如上图所示，则当取点时，取得最小值为6

考查方向

本题主要考查了线性规划求目标函数最值问题，为高考常考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高，常与函数的性质、目标函数的几何意义等知识点交汇命题。

解题思路

线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围，本题根据约束条件画出可行域，作出直线，在可行域内平移该直线并观察，即可求出目标函数的最大值。

易错点

不知道目标函数的几何意义导致本题出错。

知识点

其它不等式的解法
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

7.已知△ABC是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（    ）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

设，，∴，，

，∴，故选B.

考查方向

本题主要考查了向量数量积的运算，为高考常考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高，常与向量数量积的运算、性质等知识点交汇命题。

解题思路

研究向量数量积，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简.本题首先选好基底，然后用向量的记法及数量积德运算法则进行计算即可求出的值.

易错点

不能熟知向量数量积的运算公式导致出错。

知识点

二次函数的应用
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

8.已知函数f（x）=（a>0,且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（    ）

A（0，]

B[，]

C[，]{}

D[，）{}

正确答案

C

解析

由在上递减可知，由方程恰好有两个不相等的实数解，可知，，又∵时，抛物线与直线相切，也符合题意，∴实数的去范围是，故选C.

考查方向

本题主要考查了函数的单调性、图像、函数的零点等知识点，为高考常考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高，常与函数的图像、性质等知识点交汇命题。

解题思路

根据函数的单调性先求出，再由程恰好有两个不相等的实数解求出，再检验时是否符合题意。

易错点

忽略时符合题意导致出错。

教师点评

函数性质综合应用

知识点

函数单调性的性质函数零点的判断和求解二次函数的零点问题
填空题 本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填写在题中横线上。
1
题型：填空题
|
分值: 5分

10.的展开式中的系数为__________.(用数字作答)

正确答案

解析

，∴系数为-56

考查方向

本题主要考查了二项式定理．

解题思路

求特定项系数问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．本题先写出通项,再确定r的值,从而确定指定项系数。

易错点

不能准确记忆二项式定理的通项公式导致出错。

知识点

求二项展开式的指定项或指定项的系数
1
题型：填空题
|
分值: 5分

9.已知，i是虚数单位，若，则的值为_______.

正确答案

2

解析

，则，所以，，故答案为2．

考查方向

本题主要考察考查复数的基本运算和复数相等的概念等知识点．

解题思路

本题首先求出实数a，b，然后求比值。首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如

，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、共轭为

易错点

相关知识点不熟悉导致出错。

知识点

复数的基本概念复数代数形式的混合运算
1
题型：填空题
|
分值: 5分

13.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间（-，0）上单调递增.若实数a满足，则a的取值范围是______.

正确答案

解析

由是偶函数可知，单调递增；单调递减

又，

可得，即

考查方向

本题主要考查了函数的单调性、奇偶性、利用函数的性质求参数的范围等知识点，为高考常考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高，常与函数的单调性、奇偶性、对称性等知识点交汇命题。

解题思路

利用函数性质解不等式，关键是利用函数的单调性与奇偶性把函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，同时注意函数的定义域，本题直接利用单调性与奇偶性即可求出参数a的范围。

易错点

不能灵活运用函数的性质导致出错。

知识点

导数的乘法与除法法则
1
题型：填空题
|
分值: 5分

11.已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为_______m3.

正确答案

2

解析

由三视图知四棱锥高为3，底面平行四边形的底为2，高为1，因此体积为．故答案为2．

考查方向

本题主要考查了三视图求几何体的体积，为高考常考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高，常与几何体的表面积、体积等知识点交汇命题，由三视图还原出原几何体,是解决此类问题的关键。

解题思路

解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图，本题首先根据三视图确定几何体的形状，再求几何体的体积。

易错点

不能将三视图还原为原图导致出错。

知识点

简单空间图形的三视图
1
题型：填空题
|
分值: 5分

14.设抛物线，（t为参数，p＞0）的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C（p,0），AF与BC相交于点E.若|CF|=2|AF|，且△ACE的面积为，则p的值为_________.

正确答案

解析

抛物线的普通方程为，，，又，则，由抛物线的定义得，所以，则，由得，即，所以，，所以，．

考查方向

本题主要考查了抛物线的定义及性质，为高考常考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高，常与抛物线的定义、性质等知识点交汇命题。

解题思路

先求出抛物线的普通方程，再根据面积求p的值.

易错点

解题时一定要注意运算的准确性与技巧性,基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因。

知识点

导数的加法与减法法则
1
题型：填空题
|
分值: 5分

12.如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE的长为__________.

正确答案

解析

设，则由相交弦定理得，，又，所以，因为是直径，则，，在圆中，则，即，解得

考查方向

本题考查了相交弦定理等知识点。

解题思路

应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．本题根据相交弦定理即可求出CE长。

易错点

对相关定理不熟悉导致本题失分。

知识点

点与圆的位置关系
简答题（综合题） 本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型：简答题
|
分值: 13分

已知是各项均为正数的等差数列，公差为，对任意的是和的等差中项.

22.设，求证：是等差数列；

23.设 ，求证：

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）⑴

为定值．

∴为等差数列

解析

本题属于数列知识的综合应用问题，属于中档题，只要掌握相关的知识，即可解决本题，解析如下：⑴

为定值．

∴为等差数列

考查方向

本题考查了等差数列、等比中项、分组求和、裂项相消求和等知识点。

解题思路

（Ⅰ）先根据等比中项定义得：，从而，因此根据等差数列定义可证：

易错点

对裂项相消法求和的方法不熟悉导致出错。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）⑵（*）

由已知

将代入（*）式得

∴，得证

解析

本题属于数列知识的综合应用问题，属于中档题，只要掌握相关的知识，即可解决本题，解析如下：⑵（*）

由已知

将代入（*）式得

∴，得证

考查方向

本题考查了等差数列、等比中项、分组求和、裂项相消求和等知识点。

解题思路

（Ⅱ） 对数列不等式证明一般以算代证先利用分组求和化简，再利用裂项相消法求和，易得结论.

易错点

对裂项相消法求和的方法不熟悉导致出错。

1
题型：简答题
|
分值: 14分

设函数,，其中

26.求的单调区间；

27. 若存在极值点，且，其中，求证：；

28.设，函数，求证：在区间上的最大值不小于.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

的单调递减区间为，单调递增区间为，.

解析

本题属于导数的综合应用问题，属于拔高题，不容易得分，解析如下：

（Ⅰ）解：由，可得.

下面分两种情况讨论：

（1）当时，有恒成立，所以的单调递增区间为.

（2）当时，令，解得，或.

当变化时，，的变化情况如下表：

所以的单调递减区间为，单调递增区间为，.

考查方向

本题考查了导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式等知识点。

解题思路

（Ⅰ）先求函数的导数：，再根据导函数零点是否存在情况，分类讨论：①当时，有恒成立，所以的单调增区间为.②当时，存在三个单调区间

易错点

第二问不知如何就参数的范围进行讨论导致失分。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）证明：因为存在极值点，所以由（Ⅰ）知，且，由题意，得，即，

进而.

又

，且，由题意及（Ⅰ）知，存在唯一实数满足 ，且，因此，所以；

解析

本题属于导数的综合应用问题，属于拔高题，不容易得分，解析如下：

（Ⅱ）证明：因为存在极值点，所以由（Ⅰ）知，且，由题意，得，即，

进而.

又

，且，由题意及（Ⅰ）知，存在唯一实数满足 ，且，因此，所以；

考查方向

本题考查了导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式等知识点。

解题思路

（Ⅱ）由题意得，计算可得再由及单调性可得结论

易错点

第二问不知如何就参数的范围进行讨论导致失分。

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅲ）欲证在区间上的最大值不小于，只需证在区间上存在，

使得即可

当时，在上单调递减

   

递减，成立

当时，

∵   

∴

若时，，成立

当时，，成立

综上所述，当时，在区间上的最大值不小于.

解析

本题属于导数的综合应用问题，属于拔高题，不容易得分，解析如下：

（Ⅲ）欲证在区间上的最大值不小于，只需证在区间上存在，

使得即可

当时，在上单调递减

   

递减，成立

当时，

∵   

∴

若时，，成立

当时，，成立

综上所述，当时，在区间上的最大值不小于.

考查方向

本题考查了导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式等知识点。

解题思路

（Ⅲ）实质研究函数最大值：主要比较，的大小即可，分三种情况研究①当时，，②当时，，③当时，.

易错点

第二问不知如何就参数的范围进行讨论导致失分。

1
题型：简答题
|
分值: 13分

某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,.现

从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.

17.设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；

18.设为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）

解析

本题属于概率与统计综合应用问题，属于简单题，只要掌握相关概率与统计的知识，即可解决本题，解析如下：

试题解析：解：由已知，有

所以，事件发生的概率为.

考查方向

本题考查了概率，概率分布与数学期望等知识点。

解题思路

（Ⅰ）先确定从10人中随机选出2人的基本事件种数，再确定选出的2人参加义工活动之和为4锁版汗的基本事件数，最后根据概率公式求概率；

易错点

相关知识点不熟容易出错。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）随机变量分布列为

随机变量的数学期望.

解析

本题属于概率与统计综合应用问题，属于简单题，只要掌握相关概率与统计的知识，即可解决本题，解析如下：

随机变量的所有可能取值为

，

，

.

所以，随机变量分布列为

随机变量的数学期望.

考查方向

本题考查了概率，概率分布与数学期望等知识点。

解题思路

（Ⅱ）先确定随机变量的所偶有可能取值，再饭呢别求出对应的概率，列出分布列，最后根据公式计算数学期望.

易错点

相关知识点不熟容易出错。

1
题型：简答题
|
分值: 14分

设椭圆（）的右焦点为，右顶点为，已知，其中 为原点，为椭圆的离心率.

24.求椭圆的方程；

25.设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）

解析

本题属于圆锥曲线的综合应用问题，属于拔高题，不容易得分，解析如下：

（1）解：设，由，即，可得，又，所以，因此，所以椭圆的方程为.

考查方向

本题考查了椭圆的标准方程和几何性质，直线方程等知识点。

解题思路

（Ⅰ）求椭圆标准方程，只需确定量，由，得，再利用，可解得，

易错点

第二问不知如何处理已知条件导致本题没思路。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）

解析

本题属于圆锥曲线的综合应用问题，属于拔高题，不容易得分，解析如下：

（2）由已知，设斜率为，方程为

设，，

，成立

由韦达定理，∴，

令，得

∵，∴

即

∴，∴

∴或．

所以，直线的斜率的取值范围为.

考查方向

本题考查了椭圆的标准方程和几何性质，直线方程等知识点。

解题思路

（Ⅱ）先化简条件：，即M再OA中垂线上，，再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组求；利用两直线方程组求H，最后根据，列等量关系解出直线斜率.

易错点

第二问不知如何处理已知条件导致本题没思路。

1
题型：简答题
|
分值: 13分

如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2.

19.求证：EG∥平面ADF；

20.求二面角O-EF-C的正弦值；

21.设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（I）证明：依题意，.设为平面的法向量，则，即 .不妨设，可得，又，可得，又因为直线，所以.

解析

本题属于立体几何的综合应用问题，属于中档题，只要掌握相关立体几何的知识，即可解决本题，解析如下：

由题意可知，，如图建立空间直角坐标系，则

.

（I）证明：依题意，.设为平面的法向量，则，即 .不妨设，可得，又，可得，又因为直线，所以.

考查方向

本题考查了线面平行、二面角、线面角等知识点。

解题思路

（1）直接利用空间向量进行证明；

易错点

解题步骤不完整或考虑不全致推理片面导致出错。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）

解析

本题属于立体几何的综合应用问题，属于中档题，只要掌握相关立体几何的知识，即可解决本题，解析如下：

由题意可知，，如图建立空间直角坐标系，则

.

（II）解：易证，为平面的一个法向量.依题意，.设为平面的法向量，则，即 .不妨设，可得.

因此有，于是，所以，二面角的正弦值为.

考查方向

本题考查了线面平行、二面角、线面角等知识点。

解题思路

（2）建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，再利用公式即可求出二面角；

易错点

解题步骤不完整或考虑不全致推理片面导致出错。

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅲ）

解析

本题属于立体几何的综合应用问题，属于中档题，只要掌握相关立体几何的知识，即可解决本题，解析如下：

由题意可知，，如图建立空间直角坐标系，则

.

（III）解：由，得.因为，所以，进而有，从而，因此.所以，直线和平面所成角的正弦值为.

考查方向

本题考查了线面平行、二面角、线面角等知识点。

解题思路

（3）先求出直线的方向向量与平面的法向量，最后利用公式直接求解．

易错点

解题步骤不完整或考虑不全致推理片面导致出错。

1
题型：简答题
|
分值: 13分

已知函数f(x)=4tanxsin()cos()-.

15.求f(x)的定义域与最小正周期；

16.讨论f(x)在区间[]上的单调性.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ），

解析

本题属于三角恒等变换与函数性质的综合应用问题，属于简单题，选用恰当的公式，是解决三角问题的关键，明确角的范围，对开方时正负取舍是解题正确的保证. 对于三角函数来说，常常是先化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再利用三角函数的性质求解．本题只要掌握相关的公式及性质，即可解决本题，具体解析如下：

 解：的定义域为.

.

所以, 的最小正周期

考查方向

本题考查了诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式、三角函数的单调性等知识点。

解题思路

（Ⅰ）先利用诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数：，再根据正弦函数性质求定义域、周期

易错点

化简函数解析式时容易出错。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）在区间上单调递增, 在区间上单调递减.

解析

本题属于三角恒等变换与函数性质的综合应用问题，属于简单题，选用恰当的公式，是解决三角问题的关键，明确角的范围，对开方时正负取舍是解题正确的保证. 对于三角函数来说，常常是先化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再利用三角函数的性质求解．本题只要掌握相关的公式及性质，即可解决本题，具体解析如下：

令函数的单调递增区间是

由,得

设，易知.

所以, 当时, 在区间上单调递增, 在区间上单调递减.

考查方向

本题考查了诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式、三角函数的单调性等知识点。

解题思路

根据（1）的结论，研究三角函数在区间[]上单调性。

易错点

化简函数解析式时容易出错。

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知道啦