2015年高考权威预测卷 理科数学 (四川卷)
精品
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单选题 本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

1.集合,则A∩B=(    )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

因为

所以,故选B.

知识点

集合的含义
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

2.展开式的二项式系数和为64,则其常数项为(    )

A-20

B-15

C15

D20

正确答案

C

解析

由已知得:,所以

,由,所以其常数项为

,故选 C.

知识点

虚数单位i及其性质
1
题型: 单选题
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分值: 5分

8.在平行四边形ABCD中,,且,沿BD折成直二面角A﹣BD﹣C,则三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积是(  )

A16π

B

C

D

正确答案

C

解析

由题意可知,折成直二面角后,AC为外接球直径,

因为

所以(2R)2=AC2=AB2+BD2+CD2=2AB2+BD2=4,R2=1,S=4πr2=4π;

故选C

知识点

空间几何体的结构特征
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

10.已知抛物线的焦点为,准线为上一点,是直线的一个交点,若,则=(    )

A

B

C3

D2

正确答案

A

解析

轴的交点为M,过向准线作垂线,垂足为N,则由可得

知识点

抛物线的定义及应用
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

3.已知,那么下列不等式成立的是(    )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

知识点

空间几何体的结构特征
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

4.将函数的图象向左平移个单位,再向上平移个单位,所得图象的函数解析式是(    )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

将函数的图象向左平移个单位得,函数

图像,再将这个函数图像向上平移一个单位得,图像.故选A.

知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

9.下面命题中假命题是(  )

A∀x∈R,3x>0

B∃α,β∈R,使sin(α+β)=sinα+sinβ

C∃m∈R,使是幂函数,且在(0,+∞)上单调递增

D命题“∃x∈R,x2+1>3x”的否定是“∀x∈R,x2+1>3x”

正确答案

D

解析

A,根据指数函数的性质可知,∀x∈R,3x>0,∴A正确.

B,当α=β=0时,满足sin(α+β)=sinα+sinβ=0,∴B正确.

C,当m=1时,幂函数为f(x)=x3,且在(0,+∞)上单调递增,∴C正确.

D,命题“∃x∈R,x2+1>3x”的否定是“∀x∈R,x2+1≤3x”,∴D错误.

故选:D.

知识点

四种命题及真假判断
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

5.执行如图所示的程序框图,会输出一列数,则这个数列的第3项是(    )

A870

B30

C6

D3

正确答案

B

解析

当N=1时,A=3,故数列的第1项为3,N=2,满足继续循环的条件,A=3×2=6;当N=2时,A=6,故数列的第2项为6,N=3,满足继续循环的条件,A=6×5=30;当N=3时,A=30,故数列的第3项为30,故选:B.

知识点

流程图的概念
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

7.在等腰中,,则的值为(    )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

知识点

任意角的概念
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

6.有5名优秀毕业生到母校的3个班去作学习经验交流,则每个班至少去一名的不同分派方法种数为(    )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

人数分配上有两种方式即1,2,2与1,1,3.

若是1,1,3,则有×=60种,若是1,2,2,则有×=90种

所以共有150种不同的方法.故选:A.

知识点

诱导公式的推导
填空题 本大题共5小题,每小题5分,共25分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
|
分值: 5分

11.若复数是纯虚数,则实数a=  .

正确答案

解析

∵复数===+i是纯虚数,

=0,≠0,解得a=

故答案为:

知识点

虚数单位i及其性质
1
题型:填空题
|
分值: 5分

14.已知直线与圆相较于两点,则线段的长度为       。

正确答案

解析

由题意得,圆的半径为3,且圆心到直线的距离为

根据圆的弦长公式可知

知识点

二次函数的应用
1
题型:填空题
|
分值: 5分

13.如图,某海事部门举行安保海上安全演习.为了测量正在海面匀速行驶的某航船的速度,在海岸上选取距离为1千米的两个观察点C,D,在某天10:00观察到该航船在A处,此时测得∠ADC=30°,3分钟后该船行驶至B处,此时测得∠ACB=60°,∠BCD=45°,∠ADB=60°,则船速为___________千米/分钟. (用含根号的式子表示)

正确答案

解析

知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型:填空题
|
分值: 5分

15.定义全集的子集的特征函数为,这里表示集合在全集中的补集.已知,给出以下结论:

①若,则对于任意,都有

②对于任意,都有

③对于任意,都有

④对于任意,都有

其中正确的结论有                 .(写出全部正确结论的序号)

正确答案

①②③

解析

,fB(x)=

而CUA中可能有B的元素,但CUB中不可能有A的元素

,即对于任意x∈U,都有fA(x)≤fB(x)故①正确;

对于B,∵

结合fA(x)的表达式,可得f∁UA(x)=1﹣fA(x),故②正确;

对于C,fA∩B(x)===fA(x)•fB(x),

故③正确;

对于D,fA∪B(x)=

当某个元素x在A中但不在B中,由于它在A∪B中,故fA∪B(x)=1,

而fA(x)=1且fB(x)=0,可得fA∪B(x)≠fA(x)•fB(x)

由此可得④不正确.

故答案为:①②③.

知识点

二次函数的应用
1
题型:填空题
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分值: 5分

12.如果函数f(x)=是奇函数,则f(﹣2)=  .

正确答案

﹣1

解析

∵函数f(x)是奇函数,

∴f(﹣2)=﹣f(2)=﹣(2×2﹣3)=﹣1,

故答案为:﹣1

知识点

函数的概念及其构成要素
简答题(综合题) 本大题共75分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
|
分值: 12分

16.已知函数图象的一部分如图所示.

(1)求函数的解析式;

(2)设, ,求的值.

正确答案

(1)

(2)

解析

(1)由图象可知

  .

.

(2)∵   ∴

又∵

.

知识点

函数解析式的求解及常用方法
1
题型:简答题
|
分值: 12分

17.随机变量X的分布列如下表如示,若数列是以为首项,以q为公比的等比数列,则称随机变量X服从等比分布,记为Q(,q).现随机变量X∽Q(,2).

(1)求随机变量X的分布列;

(2)一个盒子里装有标号为1,2,…,n且质地相同的标签若干张,从中任取1张标签所得的标号为随机变量X.现有放回的从中每次抽取一张,共抽取三次,求恰好2次取得标签的标号不大于3的概率.

正确答案

见解析。

解析

(1)依题意得,数列是以为首项,以2为公比的等比数列,所以=1     解得n=6

(2)随机抽取一次取得标签的标号不大于3的概率为

++

所以恰好2次取得标签的标号小于3的概率为

=

知识点

诱导公式的推导
1
题型:简答题
|
分值: 13分

21.已知函数

(1)若在区间上不单调,求的取值范围;

(2)若对于任意的,存在,使得,求的取值范围.

正确答案

(1)2<a<4

(2)

解析

(1)解:

(2)解法1:

(i)当时,即时,

所以

(ii)当时,即时,

综上,

,所以

解法2:

等号当且仅当时成立,

,所以

解法3:

且上述两个不等式的等号均为时取到,故

  故,所以

知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型:简答题
|
分值: 13分

19.已知数列满足:,且

(1)设,求证是等比数列;

(2)(i)求数列的通项公式;

(ii)求证:对于任意都有成立.

正确答案

见解析。

解析

(1)由已知得

,则是以3为首项、3为公比的等比数列

(2)(i)解法1:由(I)得,即,则

相减得

相加得,则

时上式也成立

解法2:由

相加得

解法3:由

,则,可得

,故

(ii)证法1:易证

同理可得

证法2:

 

证法3:

易证

知识点

由数列的前几项求通项
1
题型:简答题
|
分值: 13分

20.已知椭圆C:(a>b>0)与y轴的交点为A,B(点A位于点B的上方),F为左焦点,原点O到直线FA的距离为.

(1)求椭圆C的离心率;

(2)设b=2,直线y=kx+4与椭圆C交于不同的两点M,N,求证:直线BM与直线AN的交点G在定直线上.

正确答案

(1)

(2)见解析

解析

(1)设F的坐标为(–c,0),依题意有bc=ab,

∴椭圆C的离心率e==

(2)若b=2,由(Ⅰ)得a=2,∴椭圆方程为

联立方程组

化简得:(2k2+1)x2+16kx+24=0,

由△=32(2k2–3)>0,解得:k2

由韦达定理得:xM+xN= …①,xMxN= …②

设M(xM,kxM+4),N(xN,kxN+4),

MB方程为:y=x–2,③

NA方程为:y=x+2,④

由③④解得:y=

===1

即yG=1,

∴直线BM与直线AN的交点G在定直线上

知识点

椭圆的定义及标准方程
1
题型:简答题
|
分值: 12分

18.如图,四棱锥中,平面,四边形是矩形,分别是的中点.若

(1)求证:平面

(2)求点到平面的距离;

(3)求直线平面所成角的正弦值.

正确答案

见解析。

解析

如图建立空间直角坐标系如图,则A(0,0,0),P(0,0,3),D(0,3,0),E(,0,0),F(0,),C(,3,0)

(1)取PC的中点G,连结EG,则G

   

(2)设平面PCE的法向量为

(3) 

直线FC与平面PCE所成角的正弦值为.

知识点

线面角和二面角的求法

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