填空题
本大题共14小题,每小题4分,共56分。把答案填写在题中横线上。
简答题(综合题)
本大题共78分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
21.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度(单位:cm)满足关系:
,若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设
为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
(1)求的值及
的表达式;
(2)隔热层修建多厚对,总费用达到最小,并求最小值.
分值: 16分
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1
23.已知函数满足
,
是不为
的实常数。
(1)若当时,
,求函数
的值域;
(2)若当时,
,求函数
的解析式;
(3)若当时,
,试研究函数
在区间
上是否可能是单调函数?若可能,求出
的取值范围;若不可能,请说明理由。
分值: 18分
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1
22.阅读下面题目柯西不等式的解法,再根据要求解决后面的问题.
阅读题目:对于任意实数,证明不等式
. (柯西不等式)
证明:构造函数
.
注意到,所以
,
即.(其中等号成立当且仅当
,即
.)
问题:
(1)请用柯西不等式的结论证明:对任意正实数,不等式
成立.
(2)对任意正实数,由(1)知不等式
成立,利用此不等式求函数
的最小值,并指出此时
的值.
(3)根据阅读题目的证明,将不等式进行推广,得到一个更一般的不等式,并用构造函数的方法对你的推广进行证明。
分值: 18分
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