• 理科数学 浦东新区2013年高三试卷
填空题 本大题共14小题,每小题4分,共56分。把答案填写在题中横线上。
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1.已知全集,则 (   ) 。

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2.若,则(     ) 。

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3.若的反函数,则(     )。

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4.函数的单调递减区间是(      ) 。

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5.在二项式的展开式中,含的项的系数为(        )。

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6.函数的最小正周期是(  )。

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7.设函数,则实数的取值范围是(  )。

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10.已知函数定义域为是偶函数,则函数的值域为 (      ) 。

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11.对于任意,不等式恒成立,则实数的取值范围是(     )。

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12.设函数内有定义,对于给定的正数K,定义函数

,若函数。当=时,函数的单调递增区间为(    ) 。

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9.从0,2,4中取一个数字,从1,3,5中取两个数字,组成无重复数字的三位数,从这些三位数中任取一个,则所取的三位数为偶数的概率是(      )(用分数作答)

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13.已知函数

其中对于定义域内的任意一个自变量,都存在定义域内的唯一一个自变量,使得成立的函数是(    ) 。

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14.已知定义在R上的奇函数,满足,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,则  (      )。

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8.定义在上的函数既是偶函数又是周期函数,若的最小正周期为,且当时,,则的值是 (      ) 。

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单选题 本大题共4小题,每小题4分,共16分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1

15.设集合,集合,且,则实数的取值范围是(   )

A

B

C

D

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16.设函数的反函数为,对于内的所有的值,下列关系式中一定成立的是(    )

A

B

C

D

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18.已知函数的图像与函数)的图像交于点,如果,那么的取值范围是(   )

A

B

C

D

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17.在下列函数中,既是上的增函数,又是以为最小正周期的偶函数的函数是(      )

A

B

C

D

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简答题(综合题) 本大题共78分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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19.在中,是角所对的边,是该三角形的面积,且

(1)求角;              

(2)若,求的值.

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20.已知函数满足对任意恒成立,在R上单调递减。

(1)求证:是奇函数;

(2)若对一切,关于的不等式恒成立,求实数的取值范围。

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21.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度(单位:cm)满足关系:,若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.

(1)求的值及的表达式;

(2)隔热层修建多厚对,总费用达到最小,并求最小值.

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23.已知函数满足是不为的实常数。

(1)若当时,,求函数的值域;

(2)若当时,,求函数的解析式;

(3)若当时,,试研究函数在区间上是否可能是单调函数?若可能,求出的取值范围;若不可能,请说明理由。

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22.阅读下面题目柯西不等式的解法,再根据要求解决后面的问题.

阅读题目:对于任意实数,证明不等式

. (柯西不等式)

证明:构造函数

.

注意到,所以

.(其中等号成立当且仅当,即.)

问题:

(1)请用柯西不等式的结论证明:对任意正实数,不等式成立.

(2)对任意正实数,由(1)知不等式成立,利用此不等式求函数的最小值,并指出此时的值.

(3)根据阅读题目的证明,将不等式进行推广,得到一个更一般的不等式,并用构造函数的方法对你的推广进行证明。

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