理科数学浦东新区2013年高三试卷

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填空题本大题共14小题，每小题4分，共56分。把答案填写在题中横线上。

1．已知全集，，，则（）。

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2．若，则（）。

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5．在二项式的展开式中，含的项的系数为（）。

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6．函数的最小正周期是（）。

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7．设函数，则实数的取值范围是（）。

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11．对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）。

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12．设函数在内有定义，对于给定的正数K，定义函数

，若函数。当=时，函数的单调递增区间为（）。

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3．若的反函数，则（）。

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10．已知函数定义域为是偶函数，则函数的值域为（）。

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4．函数的单调递减区间是（）。

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13．已知函数

①；

②；

③；

④

其中对于定义域内的任意一个自变量，都存在定义域内的唯一一个自变量，使得成立的函数是（）。

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9．从0，2，4中取一个数字，从1，3，5中取两个数字，组成无重复数字的三位数，从这些三位数中任取一个，则所取的三位数为偶数的概率是（）（用分数作答）

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14．已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,则（）。

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8．定义在上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期为，且当时，，则的值是（）。

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单选题本大题共4小题，每小题4分，共16分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

18．已知函数的图像与函数（且）的图像交于点，如果，那么的取值范围是（）

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15．设集合，集合，且，则实数的取值范围是（）

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16．设函数的反函数为，对于内的所有的值，下列关系式中一定成立的是（）

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17．在下列函数中，既是上的增函数，又是以为最小正周期的偶函数的函数是（）

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简答题（综合题）本大题共78分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

19．在中，是角所对的边，是该三角形的面积，且．

（1）求角；

（2）若，求的值．

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21．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度（单位：cm）满足关系：，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．

（1）求的值及的表达式；

（2）隔热层修建多厚对，总费用达到最小，并求最小值．

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20．已知函数满足对任意恒成立，在R上单调递减。

（1）求证：是奇函数；

（2）若对一切，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围。

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23．已知函数满足，是不为的实常数。

（1）若当时，，求函数的值域；

（2）若当时，，求函数的解析式；

（3）若当时，，试研究函数在区间上是否可能是单调函数？若可能，求出的取值范围；若不可能，请说明理由。

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22．阅读下面题目柯西不等式的解法，再根据要求解决后面的问题.

阅读题目：对于任意实数，证明不等式

. （柯西不等式）

证明：构造函数

注意到，所以，

即.（其中等号成立当且仅当，即.）

问题：

（1）请用柯西不等式的结论证明：对任意正实数，不等式成立.

（2）对任意正实数，由（1）知不等式成立，利用此不等式求函数的最小值，并指出此时的值.

（3）根据阅读题目的证明，将不等式进行推广，得到一个更一般的不等式，并用构造函数的方法对你的推广进行证明。

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