理科数学 2018年高三上海市第三次模拟考试

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填空题本大题共14小题，每小题4分，共56分。把答案填写在题中横线上。

如果，为第三象限角，则．

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正方体中，分别是棱的中点，则异面直线与所成的角等于__________.

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设等差数列的前项之和满足，那么．

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如图，抛物线形拱桥的顶点距水面4米时，测得拱桥内水面宽为16米；当水面升高3米后，拱桥内水面的宽度为 _________米．

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设复数，，，则__________.

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若①,②,则同时满足①②的正整数有组.

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已知数列中,,，则当取得最小值时的值是．

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函数的定义域为 .

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在△中，的对边分别是，且是的等差中项，则角= .

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已知圆的方程是，若以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，则该圆的极坐标方程可写为．

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定义：对于各项均为整数的数列，如果(=1，2，3，…)为完全平方数，则称数列　具有“性质”；不论数列是否具有“性质”，如果存在数列与不是同一数列，且满足下面两个条件：

（1）是的一个排列；

（2）数列具有“性质”，则称数列具有“变换性质”．给出下面三个数列：

①数列的前项和；②数列：1，2，3，4，5；

③数列：1，2，3，4，5，6.具有“性质”的为；具有“变换性质”的为 .

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定义在上的函数同时满足性质：①对任何，均有成立；②对任何，当且仅当时，有.则的值为 .

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设正四面体的棱长为，是棱上的任意一点，且到面的距离分别为，则 .

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对大于或等于的自然数的次方幂有如下分解方式:

根据上述分解规律,则, 若的分解中最小的数是73,则的值为 .

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单选题本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

非零向量，，，若向量，则的最大值为（）

D以上均不对

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已知数列的通项公式为,其前项和,则双曲线的渐近线方程为（　　）

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已知中，,，则角的取值范围是（）

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在平面斜坐标系中,点的斜坐标定义为:“若(其中分别为与斜坐标系的轴,轴同方向的单位向量),则点的坐标为”.若且动点满足,则点在斜坐标系中的轨迹方程为……………… （　　）

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简答题（综合题）本大题共74分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

本小题满分12分（第1小题满分5分，第2小题满分7分）

已知函数的最大值为2．

（1）求函数在上的值域；

（2）已知外接圆半径，，角A，B所对的边分别是a，b，求的值．

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本题满分14分（第1小题满分6分，第2小题满分8分）

设，函数的图像与函数的图像关于点对称．

（1）求函数的解析式；

（2）若关于的方程有两个不同的正数解，求实数的取值范围．

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本小题满分14分（第1小题满分6分，第2小题满分8分）

如图1，，是某地一个湖泊的两条互相垂直的湖堤，线段和曲线段分别是湖泊中的一座栈桥和一条防波堤.为观光旅游的需要，拟过栈桥上某点分别修建与，平行的栈桥、，且以、为边建一个跨越水面的三角形观光平台.建立如图2所示的直角坐标系，测得线段的方程是，曲线段的方程是，设点的坐标为，记.（题中所涉及的长度单位均为米，栈桥和防波堤都不计宽度）

（1）求的取值范围；

（2）试写出三角形观光平台面积关于的函数解析式，并求出该面积的最小值

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本小题满分18分（第1小题满分4分，第2小题满分14分）

已知数列，满足：．

（1）若，求数列的通项公式；

（2）若，且．

① 记，求证：数列为等差数列；

② 若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求首项应满足的条件．

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本小题满分16分（第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分）

已知椭圆过点，椭圆左右焦点分别为，上顶点为，为等边三角形.定义椭圆C上的点的“伴随点”为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）求的最大值；

（3）直线l交椭圆C于A、B两点,若点A、B的“伴随点”分别是P、Q,且以PQ为直径的圆经过坐标原点O.椭圆C的右顶点为D，试探究ΔOAB的面积与ΔODE的面积的大小关系,并证明.

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