• 理科数学 2018年高三上海市第三次模拟考试
填空题 本大题共14小题,每小题4分,共56分。把答案填写在题中横线上。
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函数的定义域为              .

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如果为第三象限角,则          

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设等差数列的前项之和满足,那么          

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设复数,则__________.

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正方体中,分别是棱的中点,则异面直线所成的角等于__________.

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在△中,的对边分别是,且的等差中项,则角=                .

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若①,②,则同时满足①②的正整数            组.

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1

如图,抛物线形拱桥的顶点距水面4米时,测得拱桥内水面宽为16米;当水面升高3米后,拱桥内水面的宽度为 _________米.

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已知圆的方程是,若以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴,则该圆的极坐标方程可写为        

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已知数列中,,,则当取得最小值时的值是          .

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设正四面体的棱长为是棱上的任意一点,且到面的距离分别为,则          .

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定义在上的函数同时满足性质:①对任何,均有成立;②对任何,当且仅当时,有.则的值为                 .

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对大于或等于的自然数次方幂有如下分解方式:

             

            

根据上述分解规律,则, 若的分解中最小的数是73,则的值为          .

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定义:对于各项均为整数的数列,如果(=1,2,3,…)为完全平方数,则称数列 具有“性质”;不论数否具有“性质”,如果存在数列不是同一数列,且满足下面两个条件:

(1)的一个排列;

(2)数列具有“性质”,则称数列具有“变换性质”.给出下面三个数列:

①数列的前项和;②数列:1,2,3,4,5;

③数列:1,2,3,4,5,6.具有“性质”的为        ;具有“变换性质”的为         .

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单选题 本大题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
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非零向量,若向量,则的最大值为(    )

A

B

C

D以上均不对

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已知数列的通项公式为,其前项和,则双曲线的渐近线方程为(  )

A

B

C

D

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已知中,,,则角的取值范围是(    )

A.

B.

C

D

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在平面斜坐标系,点的斜坐标定义为:“若(其中分别为与斜坐标系的轴,轴同方向的单位向量),则点的坐标为”.若且动点满足,则点在斜坐标系中的轨迹方程为……………… (  )

A

B

C

D

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简答题(综合题) 本大题共74分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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本小题满分12分(第1小题满分5分,第2小题满分7分)

已知函数 的最大值为2.

(1)求函数上的值域;

(2)已知外接圆半径,角AB所对的边分别是ab,求的值.

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本题满分14分(第1小题满分6分,第2小题满分8分)

,函数的图像与函数的图像关于点对称.

(1)求函数的解析式;

(2)若关于的方程有两个不同的正数解,求实数的取值范围.

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本小题满分14分(第1小题满分6分,第2小题满分8分)

如图1,是某地一个湖泊的两条互相垂直的湖堤,线段和曲线段分别是湖泊中的一座栈桥和一条防波堤.为观光旅游的需要,拟过栈桥上某点分别修建与平行的栈桥,且以为边建一个跨越水面的三角形观光平台.建立如图2所示的直角坐标系,测得线段的方程是,曲线段的方程是,设点的坐标为,记.(题中所涉及的长度单位均为米,栈桥和防波堤都不计宽度)

(1)求的取值范围;

(2)试写出三角形观光平台面积关于的函数解析式,并求出该面积的最小值

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本小题满分16分(第1小题满分4分,第2小题满分4分,第3小题满分8分)

已知椭圆过点,椭圆左右焦点分别为,上顶点为为等边三角形.定义椭圆C上的点的“伴随点”为.

(1)求椭圆C的方程;

(2)求的最大值;

(3)直线l交椭圆CAB两点,若点AB的“伴随点”分别是PQ,且以PQ为直径的圆经过坐标原点O.椭圆C的右顶点为D,试探究ΔOAB的面积与ΔODE的面积的大小关系,并证明.

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本小题满分18分(第1小题满分4分,第2小题满分14分)

已知数列满足:

(1)若,求数列的通项公式;

(2)若,且

① 记,求证:数列为等差数列;

② 若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次,求首项应满足的条件.

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