理科数学 太原市2013年高三试卷
精品
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单选题 本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

4.设函数(   )

A在区间内均有零点

B在区间内均无零点

C在区间内有零点,在区间内无零点

D在区间内无零点,在区间内有零点

正确答案

D

解析

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知识点

函数的定义域及其求法
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

6. 在等差数列中,已知是数列的前项和,则(   )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

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知识点

等差数列的基本运算等差数列的性质及应用等差数列的前n项和及其最值
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

9.设双曲线的一条渐近线与抛物线只有一个公共点,则双曲线的离心率为(   )

A

B

C

D.

正确答案

D

解析

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知识点

导数的乘法与除法法则
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

8.已知函数   若则实数的取值范围是(   )

A

B

C

D.

正确答案

C

解析

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知识点

圆与圆的位置关系及其判定
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

1.是虚数单位,(   )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

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知识点

圆系方程
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

2.设变量x,y满足约束条件:.则目标函数z=2x+3y的最小值为(   )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

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知识点

相等向量与相反向量
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

3.命题“存在”的否定是(   )

A不存在,

B存在 

C对任意的,

D对任意的,

正确答案

D

解析

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知识点

导数的乘法与除法法则
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

5.如图是一个算法的程序框图,该算法输出的结果是(   )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

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知识点

指数函数的图像变换
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

7.已知函数的最小正周期为,为了得到函数的图象,只要将的图象(         )

A向左平移个单位长度

B向右平移个单位长度

C向左平移个单位长度

D向右平移个单位长度

正确答案

A

解析

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知识点

函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

11.已知球的直径是该球面上的两点,,则三棱锥 的体积为(     )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

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知识点

简单复合函数的导数
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

12.设抛物线的焦点为,过点的直线与抛物线相交于两点,与抛物线的准线相交于,则的面积之比=(   )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

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知识点

幂函数的概念、解析式、定义域、值域
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

10.在区间上随机取一个数,的值介于0到之间的概率为 (   )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

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知识点

与长度、角度有关的几何概型
填空题 本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
|
分值: 5分

13.有一个几何体的三视图及其尺寸如下(单位),则该几何体的表面积为:_______

正确答案

解析

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知识点

旋转体(圆柱、圆锥、圆台)
1
题型:填空题
|
分值: 5分

14.,则

正确答案

28

解析

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知识点

直线与平面平行的判定与性质
1
题型:填空题
|
分值: 5分

16.用数字组成没有重复数字的四位数,其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有 ______个(用数字作答)

正确答案

324

解析

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知识点

两条直线平行与倾斜角、斜率的关系
1
题型:填空题
|
分值: 5分

15.在四边形中,,则四边形的面积是______

正确答案

解析

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知识点

幂函数的概念、解析式、定义域、值域
简答题(综合题) 本大题共70分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
|
分值: 12分

20.已知椭圆的两个焦点分别为,过点的直线与椭圆相交与两点,且

(1)求椭圆的离心率; 求直线的斜率;

(2)设点与点关于坐标原点对称,直线上有一点的外接圆上,求的值。

正确答案

解:(1)

//,得,从而

整理,得,故离心率

由(1)得,所以椭圆的方程可写为

设直线AB的方程为,即.

由已知设,则它们的坐标满足方程组

消去y整理,得.

依题意,

而                 ①     ②

由题设知,点B为线段AE的中点,所以

                 ③

联立①③解得代入②中,解得.

(2)解法一:可知

时,得,由已知得.

线段的垂直平分线l的方程为直线l与x轴

的交点外接圆的圆心,因此外接圆的方程为.

直线的方程为,于是点H(m,n)的坐标满足方程组

  , 由解得

时,同理可得.

解法二:可知

时,得,由已知得

由椭圆的对称性可知B,,C三点共线,因为点H(m,n)在的外接圆上,

,所以四边形为等腰梯形.

由直线的方程为,知点H的坐标为.

因为,所以,解得m=c(舍),或.

,所以.  当时同理可得

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知识点

直线与平面平行的判定与性质
1
题型:简答题
|
分值: 12分

19.如图,在五面体中,平面, ,的中点,

(I)求异面直线所成的角的大小;

(II)证明平面平面

(III)求二面角的余弦值。

正确答案

方法一:

(Ⅰ)解:由题设知,BF//CE,所以∠CED(或其补角)为异面直线BF与DE所成的角。设P为AD的中点,连结EP,PC。因为FEAP,所以FAEP,同理ABPC。又FA⊥平面ABCD,所以EP⊥平面ABCD。而PC,AD都在平面ABCD内,故EP⊥PC,EP⊥AD。由AB⊥AD,可得PC⊥AD设FA=a,则EP=PC=PD=a,CD=DE=EC=,故∠CED=60°。所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°

(II)证明:因为

(III)

由(I)可得,

方法二:

如图所示,建立空间直角坐标系,

为坐标原点。设依题意得      

(I)    

所以异面直线所成的角的大小为.

(II)证明:  

(III)

又由题设,平面的一个法向量为

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知识点

异面直线及其所成的角
1
题型:简答题
|
分值: 12分

21.已知函数满足的最大值为

(Ⅰ)求函数的解析式;

(Ⅱ)是否存在实数使得不等式对于时恒成立若存在,求出实数的取值集合;若不存在,说明理由.

正确答案

(1)由已知得:    

     

,∴

∴当

,∴

∴当时,  

(2)由(1)可得:时,不等式恒成立,

即为恒成立,

①当时,,令

,则当时,

,∴

,故此时只需即可;    

②当时,,令

,则当时,

,∴

,故此时只需即可,             

综上所述:,因此满足题中的取值集合为:          

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知识点

直线和圆的方程的应用
1
题型:简答题
|
分值: 12分

18.在件产品中,有件一等品,件二等品,件三等品。从这件产品中任取件,求:

(I) 取出的件产品中一等品件数X的分布列和数学期望;

(II)取出的件产品中一等品件数多于二等品件数的概率。

正确答案

(Ⅰ)解:由于从10件产品中任取3件的结果为,从10件产品中任取3件,其中恰有k件一等品的结果数为,那么从10件产品中任取3件,其中恰有k件一等品的概率为P(X=k)= ,k=0,1,2,3.

所以随机变量X的分布列是

X的数学期望EX=

(Ⅱ)解:设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A,“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1“恰好取出2件一等品“为事件A2,”恰好取出3件一等品”为事件A3由于事件A1,A2,A3彼此互斥,且A=A1∪A2∪A3

P(A2)=P(X=2)= ,P(A3)=P(X=3)= ,

所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为

PA=P(A1)+P(A2)+P(A3)= ++=

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知识点

导数的乘法与除法法则
1
题型:简答题
|
分值: 10分

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答。

22.选修4—1 几何证明选讲

在直径是的半圆上有两点,设的交点是.

求证:

23.选修4—4 极坐标系与参数方程

已知圆方程为

(1)求圆心轨迹的参数方程

(2)点是(1)中曲线上的动点,求的取值范围.

24.选修4—5 不等式选讲

(1)已知关于的不等式上恒成立,求实数的最小值;

(2)已知,求证:

正确答案

22.选修4—1 几何证明选讲

证明:作为直径,

四点共圆,四点共圆. 

    (1)+(2)得

23.选修4—4 极坐标系与参数方程,

(1)将圆的方程整理得:(x-4cos)2+(y-3sin)2=1  

设圆心坐标为P(x,y),则   

(2)2x+y=8cos+3sin =

∴ -≤2x+y≤-

24.选修4—5 不等式选讲

(1)

(2)因为,所以   

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知识点

幂函数的图像
1
题型:简答题
|
分值: 12分

17.在中,

(I) 求的值:

(II)求的值

正确答案

(Ⅰ)解:在△ABC中,根据正弦定理,于是AB=

(Ⅱ)解:在△ABC中,根据余弦定理,得cosA=

于是  sinA=从而sin2A=2sinAcosA=,cos2A=cos2A-sin2A=

所以  sin(2A-)=sin2Acos-cos2Asin=

解析

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知识点

三角函数中的恒等变换应用两角和与差的正弦函数正弦定理

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