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理科数学 厦门市2017年高三高三期中考试
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理科数学 热门试卷

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试卷目录
1、单选题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2、填空题
13
14
15
16
3、简答题
17
18
19
20
21
22
  • 真题试卷
  • 模拟试卷
  • 预测试卷
单选题 本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

1．在复平面内，复数与对应的点关于实轴对称，则等于（   ）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

：，

由复数与对应的点关于实轴对称可得，

故选B.

考查方向

本题考查复数的除法运算，考查复数的几何意义，考查数形结合的数学思想，本题是高考的热点，是一道简单题.

解题思路

先根据复数的除法运算化简，然后根据复数几何意义以及对称性即可解决问题.

易错点

本题易错在审题出错，只是化简就以为是结果.

2
题型： 单选题
|
分值: 5分

2．已知集合，则等于（   ）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

由题意得，，则，

故选D.

考查方向

本题考查一元二次不等式的解法，考查指数函数的值域，考查交集运算，本题是一道中档题.

解题思路

先利用一元二次不等式的解法化简集合，然后根据指数函数的值域化简，再用交集的定义即可求出

易错点

本题易错在化简集时误以为是求定义域.

3
题型： 单选题
|
分值: 5分

4．若，则（   ）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解：因为，，，

则，

故选B.

考查方向

本题考查三角函数以及对数函数的性质和值域，考查利用中间量比较数值大小关系，考查不定式与不等式关系的应用，本题是一道简单题.

解题思路

先根据正弦函数的值域求出的范围，然后根据对数函数的性质确定的取值范围，从而比较出的大小关系.

易错点

本题易错对三角函数以及对数函数的值域不理解.

4
题型： 单选题
|
分值: 5分

8．已知分别为双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上一点满足且，则双曲线的离心率为（   ）

A3

B

C2

D

正确答案

D

解析

解：设，则，

∴，∴，

由余弦定理可得，

∵，

∴，

∴，

∴.

故选D.

考查方向

本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了双曲线的定义、余弦定理的运用，考查向量的数量积公式，综合性较强，是高考中的高频考点，属于中档题.

解题思路

设，则，利用双曲线的定义，可得，利用余弦定理可得，再利用数量积公式，即可求出双曲线的离心率.

易错点

本题易错在对数量积公式运用不熟练，计算出错.

5
题型： 单选题
|
分值: 5分

10．若函数在上单调递增，则的取值范围是（   ）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解：∵在区间上是增函数，

∴，

∴，即，，

∴，令，则，

∴在递减，

∴，

故答案为：.

故选：A.

考查方向

本题考查导数的计算，考查三角函数中的恒等变换应用以及正弦函数的图象的应用，考查数形结合的数学思想，本题是一道中档题.

解题思路

先对函数求导，然后根据增函数与导数的关系列出不等式，然后分离参数，再利用导数求出新函数的的最值即可.

易错点

本题易错在求导错误.

6
题型： 单选题
|
分值: 5分

3．陈老师常说“不学习就没有出息”，这句话的意思是：“学习”是“有出息”的（   ）

A必要条件

B充分条件

C充要条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

A

解析

解：“有出息就学习”是“不学习就没有出息”的逆否命题，所以有“有出息”可得到“学习”，故“学习”是“有出息”的必要条件 ，故选A.

考查方向

本题主要考查充分条件、必要条件的判定，考查原命题与逆否命题的转化以及其真假性的判定，本题是一道简单题.

解题思路

先写出“不学习就没有出息”的逆否命题，然后根据原命题与逆否命题的真假一致性来确定充要条件.

易错点

本题易错在不能准确写出“不学习就没有出息”的逆否命题.

7
题型： 单选题
|
分值: 5分

5．若函数，则的最大值为（   ）

A1

B2

C

D

正确答案

C

解析

解：，因为，所以，故的最大值为，

故选C.

考查方向

本题考查同角三角函数关系的应用，考查两角和差公式以及辅助角公式的应用，考查三角函数的最值，本题是一道中档题.

解题思路

先由同角三角函数关系式把解析式化简为正弦和余弦的关系式，然后利用辅助角公式化为的形式，再利用的取值范围求出最值即可.

易错点

本题易错在不能把函数解析式化简为的形式.

8
题型： 单选题
|
分值: 5分

6．将函数的图像向左平移个单位，若所得图像与原图像重合，则的值不可能等于（   ）

A4

B6

C8

D12

正确答案

B

解析

解：因为将函数的图象向左平移个单位.若所得图象与原图象重合，所以是已知函数周期的整数倍，即（），解得（），A，C，D正确.故选B.

考查方向

本题考查三角函数图象的变换，考查三角函数的周期的应用，考查转化与化归以及数形结合的数学思想，本题是一道中档题.

解题思路

根据变换后的图象与原图象重合，从而确定平移量是周期的整数倍，然后列出方程，解方程即可.

易错点

本题易错在不能确定变换后的函数图象与原图象周期的关系.

9
题型： 单选题
|
分值: 5分

7．设是某港口水的深度（米）关于时间（时）的函数，其中，下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间与水深的关系：

经长期观察，函数的图像可以近似的看成函数的图像.下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（   ）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解：排除法：∵可以近似看成的图象，∴由可排除C、D，将代入，排除B.故选A.

考查方向

本题考查图象的性质，考查函数与方程的应用，本题是一道简单题.

解题思路

在该题中通过排除法进行求解，由可以近似看成的图象，故可以把已知数据代入中，分别按照周期和函数值排除，即可求出答案.

易错点

本题易错在没有通过排除法来解题，而是小题大做，计算量大造成出错.

10
题型： 单选题
|
分值: 5分

9．是边长为2的等边三角形，已知向量满足，，则下列结论错误的是（   ）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

解：因为已知的等边三角形，已知向量，满足，又，所以，，所以，，，则错误，

故选C.

考查方向

本题考查平面向量的数量积的运算，考查平面向量垂直的判定，考查学生的运算能力，本题是一道中档题.

解题思路

先根据等边三角形的边长以及确定，与三角形的关系，然后直接求出即可得出结果.

易错点

本题易错在不能根据条件计算出的模长.

11
题型： 单选题
|
分值: 5分

12．已知函数，其中为自然对数的底数，若存在实数使成立，则实数的值为（   ）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

解：令，令，，故在上是减函数，上是增函数，故当时，有最小值，

而，（当且仅当，即时，等号成立）；

故（当且仅当等号同时成立时，等号成立）；

故，即.

故选：D.

考查方向

本题考查了导数的综合应用及基本不等式的应用，同时考查了方程的根与函数的零点的关系的综合应用，属于中档题.

解题思路

令，运用导数求出

的单调性求其最小值；运用基本不等式可得，从而可证明，由等号成立的条件，从而解得.

易错点

本题易错在不能理解题意，无从入手.

12
题型： 单选题
|
分值: 5分

11．大致的图像是（   ）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

解：由，∴为偶函数，故可排除B；当时，，即，则排除A、D；故选C.

考查方向

考查函数的奇偶性，考查函数图象的识别，考查数形结合的数学思想，本题是一道中档题.

解题思路

先根据函数解析式以及奇偶函数的判定条件确定函数的奇偶性，然后判断出在时与的大小关系，从而得出函数的图象.

易错点

本题易错在不能判断出与的大小关系.

填空题 本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在题中横线上。
13
题型：填空题
|
分值: 5分

14．如图，半径为1的扇形的圆心角为120°，点在上，且，若，则____________.

正确答案

解析

解：如图所示， 建立直角坐标系.∵，.

∴，即.

∵，

∴，即.

又，.

∴ ，解得.

∴，

故答案为.

考查方向

本题考查向量的线性运算及几何意义，考查平面向量的坐标运算，考查数形结合以及函数与方程的数学思想,本题是一道中档题.

解题思路

先建立坐标系，然后把的坐标写出，然后根据条件列出方程，然后解方程即可.

易错点

本题易错在没有建立坐标系来处理，不知道如何入手.

14
题型：填空题
|
分值: 5分

16．已知，则的最小值为_____________.

正确答案

解析

解：由于，

，

令，，

故原式，故其最小值为，故答案为.

考查方向

本题考查和差化积公式化简三角函数式，考查三角函数的最值以及考查二次函数最值，本题是一道中档题.

解题思路

先由和差化积公式把三角函数式化简，然后利用倍角公式转化为二次函数的最值问题，利用二次函数的性质即可求出最值.

易错点

本题易错在对和差化积公式不熟,不能化简三角函数式.

15
题型：填空题
|
分值: 5分

13．已知是钝角，且，则的值为__________.

正确答案

解析

解：由于是钝角，且，故，

则，

故答案为.

考查方向

本题考查同角三角函数关系式的应用，考查诱导公式以及倍角公式的应用，考查转化与化归的数学思想，本题是一道简单题.

解题思路

先由的值计算出的值，然后根据诱导公式和倍角公式化简，然后代入数据计算即可.

易错点

本题易错在计算错误.

16
题型：填空题
|
分值: 5分

15．为数列的前项和，已知.则的通项公式_____________.

正确答案

解析

解：由得①，当时，，即，由得，当时，②，由两式相减得：，即得，则，故答案为.

考查方向

本题考查由数列的递推公式求数列的通项公式，考查等差数列的定义以及通项公式,考查因式分解的技巧，本题是一道中档题.

解题思路

根据题意求出，然后作差，对作差后得到的结果进行因式分解，从而确定数列为等差数列，根据等差数列的通项公式代入数据计算即可.

易错点

本题易错在不会因式分解.

简答题（综合题） 本大题共70分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17
题型：简答题
|
分值: 10分

设递增的等比数列的前项和为，已知，且.

19.求数列通项公式及前项和为；

20.设，求数列的前项和为.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

解：设等比数列的公比为，

则由得，，解得或，

又由知，，所以，因为为递增数列，

所以.

考查方向

本题主要考查了等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，是一道简单题.

解题思路

先根据，求出的值，再由求出数列的，故可求出通项公式和前项和；

易错点

本题易错在计算出错.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

，

记数列的首项和为，

则，

，

两式相减得：

，

即，

又的前项和为，

所以.

考查方向

本题分组求和和错位相减法求数列的前项和，本题是一道简单题.

解题思路

20题由19题得出数列，然后利用分组求和和错位相减法相结合可得出结果.

易错点

本题易错在对错位相减求和的方法步骤不熟练，以及计算错误.

18
题型：简答题
|
分值: 12分

如图，在梯形中，，四边形为矩形，平面平面.

21.求证：平面；

22.点在线段上运动，设平面与平面所成二面角为，试求的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

略

解析

证明：在梯形中，因为，

所以，所以，

所以，所以.

因为平面平面，平面平面，

平面，所以平面.

考查方向

本题考查余弦定理的运用，考查面面垂直的性质定理，本题是一道简单题.

解题思路

先根据题干所给条件数据利用余弦定理证明，然后根据面面垂直的性质定理即可证明线面垂直.

易错点

本题易错在对面面垂直的性质定理认识不足，不会应用.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由21题可建立分别以直线为轴，轴，轴的如图所示的空间直角坐标系，

令，则，

∴，

设为平面的一个法向量，

由得，取，则，

∵是平面的一个法向量.

∴.

∵，∴当时，有最小值，当时，有最大值.

∴.

考查方向

本题考查空间向量求二面角的大小，考查空间向量数量积公式的应用，考查二次函数求最值问题，考查转化与化归的数学思想，本题是一道中档题.

解题思路

建立空间坐标系，根据坐标表示出两个平面的法向量，结合向量的有关运算求出二面角的余弦的表达式，再利用函数的有关知识求出余弦的范围.

易错点

本题易错在平面法向量求出，以及没有考虑的取值范围.

19
题型：简答题
|
分值: 12分

某软件公司新开发一款学习软件，该软件把学科知识设计为由易到难共12关的闯关游戏.为了激发闯关热情，每闯过一关都奖励若干慧币（一种网络虚拟币）.该软件提供了三种奖励方案：第一种，每闯过一关奖励40慧币；第二种，闯过第一关奖励40慧币，以后每一关比前一关多奖励4慧币；第三种，闯过第一关奖励慧币，以后每一关比前一关奖励翻一番（即增加1倍）.游戏规定：闯关者须于闯关前任选一种奖励方案.

23.设闯过关后三种奖励方案获得的慧币总数依次为，试求出的表达式；

24.如果你是一名闯关者，为了得到更多的慧币，你应如何选择奖励方案？

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

，，；

解析

第一种奖励方案闯过各关所得慧币构成常数列，

∴，

第二种奖励方案闯过各关所得慧币构成首项是，公差也为的等差数列，

∴，

第三种奖励方案闯过各关所得慧币构成首项是，公比为的等比数列，

∴.

考查方向

本题考查等差数列以及等比数的前项和公式的应用以及等差，等比数列基本量的计算，本题是一道简单题.

解题思路

第一种奖励方案闯过各关所得慧币构成常数列，且各项均为，由此能求出；第二种奖励方案闯过各项各关所得慧币构成首项是，公差也为的等差数列，由此能求出的表达式；第三种奖励方案闯过各关所得慧币构成首项是，公比为的等比数列，由此能求出的表达式；

易错点

本题易错在不能确定等差数列以及等比数列模型

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

若我是一名闯关者，当你能冲过的关数小于时，应选用第一种奖励方案；当你能冲过的关数大于等于时，应选用第三种奖励方案.

解析

令，即，解得，

∵且，∴恒成立，

令，即，当时，该不等式显然成立，当时，

，

而当时，，

不等式成立，同样可计算得当时，成立.

∴当时，最大；当时，最大.

综上，若我是一名闯关者，当你能冲过的关数小于时，应选用第一种奖励方案；当你能冲过的关数大于等于时，应选用第三种奖励方案.

考查方向

本题考查数列的综合应用，考查数列与不等式的关系，考查一元二次不等式以及指数不等式的解法,本题是一道中档题.

解题思路

）令，即，解得.由，知恒成立.令，即，解得.故当时，最大；当时，.由此能够选出最佳的选择奖励方案.

易错点

本题易错在不能够理解题意以及找到获益最大的分割点.

20
题型：简答题
|
分值: 10分

在中，角所对的边分别为，且.

17.求的大小；

18.若，是的中点，求的长.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由正弦定理，得：

，

即，

由余弦定理得，，

因为，所以

考查方向

此题考查了正弦定理、余弦定理的应用，利用正弦、余弦定理可以很好得解决了三角形的边角关系，熟练掌握定理是解本题的关键.

解题思路

由已知，利用正弦定理化简可得，再利用余弦定理即可得出，结合的范围即可得解的值；

易错点

本题易错在记错正余弦定理，以及计算出错.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

将，代入，得，

因为，所以.

又，所以，

所以.

考查方向

本题考查余弦定理的应用，考查平面向量的数量积计算以及模长的计算，本题是一道中档题.

解题思路

中，先由余弦定理求得，再由及模长的定义可得的值.

易错点

本题易错在对平面向量的线性运算不熟练，没有把转化为.

21
题型：简答题
|
分值: 12分

已知椭圆右焦点是抛物线的焦点，是与在第一象限内的交点，且.

25.求的方程；

26.已知菱形的顶点在椭圆上，顶点在直线上，求直线的方程.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

设，

由抛物线定义，，

因为，所以，即.

所以，由椭圆定义得：

，

所以，

∴椭圆的方程为.

考查方向

本题考查椭圆的定义，考查求椭圆标准方程的方法，本题是一道简单题.

解题思路

先由抛物线的定义结合求出的坐标，然后根据椭圆的定义可得求得椭圆方程；

易错点

本题易错在对椭圆的定义不理解.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

因为直线的方程为，为菱形，所以，设直线的方程为，

代入椭圆的方程为，得，

由题意知，.

设，则

，

所以中点坐标为，

由为菱形可知，点在直线上，

所以.

∴直线的方程为，即.

考查方向

考查了直线与圆锥曲线的位置关系，训练了“设而不求，整体代换”的解题思想方法，训练了特值验证法，考查了学生灵活处理问题的能力和计算能力，是高考试卷中的压轴题.在圆锥曲线与直线的位置关系中，联立直线的方程与椭圆的方程构成方程组结合韦达定理属于最常见的题型，在该题中，同时也考查了菱形的性质.

解题思路

直线的方程为：，在菱形中，，设直线的方程为，联立直线的方程与椭圆的方程可得.由点、在椭圆上，知，以及、中点在上，由此能导出直线的方程.

易错点

本题易错在不知道如何入手解决问题以及因为运算量大计算错误.

22
题型：简答题
|
分值: 14分

已知函数是自然对数的底数.

27.讨论函数在上的单调性；

28.当时，若存在，使得，求实数的取值范围.（参考公式：）

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

在上单调递增

解析

解： .

当时，，当时，，∴，

所以，故函数在上单调递增；

当时，，当时，，∴，

所以，故函数在上单调递增，

综上，在上单调递增，

考查方向

本题考查导数的计算，考查利用导数判断函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，本题是一道中档题.

解题思路

先求导函数，利用导数的正负，分为和，可求函数单调区间；

易错点

本题易错在没有进行分类讨论.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

，因为存在，使得，

所以当时，.

，

①当时，由，可知，∴；

②当时，由，可知，∴；

③当时，，∴在上递减，在上递增，

∴当时，，

而，

设，因为（当时取等号），

∴在上单调递增，而，

∴当时，，∴当时，，

∴，

∴，∴，即，

设，则，

∴函数在上为增函数，∴，

既的取值范围是.

考查方向

本题考查利用导数求函数的最值，考查利用导数求参数的取值范围，考查转化与化归以及分类讨论的数学思想，本题是一道难题.

解题思路

的最大值减去的最小值大于或等于，由单调性知，的最大值是或，最小值，由的单调性，判断与的大小关系，再由的最大值减去最小值大于或等于求出的取值范围.

易错点

本题易错在不能确定函数的最值.

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