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1.在复平面内,复数与
对应的点关于实轴对称,则
等于( )
正确答案
解析
:,
由复数与
对应的点关于实轴对称可得
,
故选B.
考查方向
解题思路
先根据复数的除法运算化简,然后根据复数几何意义以及对称性即可解决问题.
易错点
本题易错在审题出错,只是化简就以为是结果.
2.已知集合,则
等于( )
正确答案
解析
由题意得,
,则
,
故选D.
考查方向
解题思路
先利用一元二次不等式的解法化简集合,然后根据指数函数的值域化简
,再用交集的定义即可求出
易错点
本题易错在化简集时误以为是求定义域.
4.若,则( )
正确答案
解析
解:因为,
,
,
则,
故选B.
考查方向
解题思路
先根据正弦函数的值域求出的范围,然后根据对数函数的性质确定
的取值范围,从而比较出
的大小关系.
易错点
本题易错对三角函数以及对数函数的值域不理解.
8.已知分别为双曲线
的左、右焦点,若双曲线
右支上一点
满足
且
,则双曲线
的离心率为( )
正确答案
解析
解:设,则
,
∴,∴
,
由余弦定理可得,
∵,
∴,
∴,
∴.
故选D.
考查方向
解题思路
设,则
,利用双曲线的定义,可得
,利用余弦定理可得
,再利用数量积公式,即可求出双曲线
的离心率.
易错点
本题易错在对数量积公式运用不熟练,计算出错.
10.若函数在
上单调递增,则
的取值范围是( )
正确答案
解析
解:∵在区间
上是增函数,
∴,
∴,即
,
,
∴,令
,则
,
∴在
递减,
∴,
故答案为:.
故选:A.
考查方向
解题思路
先对函数求导,然后根据增函数与导数的关系列出不等式,然后分离参数,再利用导数求出新函数的的最值即可.
易错点
本题易错在求导错误.
3.陈老师常说“不学习就没有出息”,这句话的意思是:“学习”是“有出息”的( )
正确答案
解析
解:“有出息就学习”是“不学习就没有出息”的逆否命题,所以有“有出息”可得到“学习”,故“学习”是“有出息”的必要条件 ,故选A.
考查方向
解题思路
先写出“不学习就没有出息”的逆否命题,然后根据原命题与逆否命题的真假一致性来确定充要条件.
易错点
本题易错在不能准确写出“不学习就没有出息”的逆否命题.
5.若函数,则
的最大值为( )
正确答案
解析
解:,因为
,所以
,故
的最大值为
,
故选C.
考查方向
解题思路
先由同角三角函数关系式把解析式化简为正弦和余弦的关系式,然后利用辅助角公式化为的形式,再利用
的取值范围求出最值即可.
易错点
本题易错在不能把函数解析式化简为的形式.
6.将函数的图像向左平移
个单位,若所得图像与原图像重合,则
的值不可能等于( )
正确答案
解析
解:因为将函数的图象向左平移
个单位.若所得图象与原图象重合,所以
是已知函数周期的整数倍,即
(
),解得
(
),A,C,D正确.故选B.
考查方向
解题思路
根据变换后的图象与原图象重合,从而确定平移量是周期的整数倍,然后列出方程,解方程即可.
易错点
本题易错在不能确定变换后的函数图象与原图象周期的关系.
7.设是某港口水的深度
(米)关于时间
(时)的函数,其中
,下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间
与水深
的关系:
经长期观察,函数的图像可以近似的看成函数
的图像.下面的函数中,最能近似表示表中数据间对应关系的函数是( )
正确答案
解析
解:排除法:∵可以近似看成
的图象,∴由
可排除C、D,将
代入,排除B.故选A.
考查方向
解题思路
在该题中通过排除法进行求解,由可以近似看成
的图象,故可以把已知数据代入
中,分别按照周期和函数值排除,即可求出答案.
易错点
本题易错在没有通过排除法来解题,而是小题大做,计算量大造成出错.
9.是边长为2的等边三角形,已知向量
满足
,,则下列结论错误的是( )
正确答案
解析
解:因为已知的等边三角形,已知向量
,满足
,又
,所以
,
,所以
,
,
,则
错误,
故选C.
考查方向
解题思路
先根据等边三角形的边长以及确定
,
与三角形
的关系,然后直接求出
即可得出结果.
易错点
本题易错在不能根据条件计算出的模长.
12.已知函数,其中
为自然对数的底数,若存在实数
使
成立,则实数
的值为( )
正确答案
解析
解:令,令
,
,故
在
上是减函数,
上是增函数,故当
时,
有最小值
,
而,(当且仅当
,即
时,等号成立);
故(当且仅当等号同时成立时,等号成立);
故,即
.
故选:D.
考查方向
解题思路
令,运用导数求出
的单调性求其最小值;运用基本不等式可得,从而可证明
,由等号成立的条件,从而解得
.
易错点
本题易错在不能理解题意,无从入手.
11.大致的图像是( )
正确答案
解析
解:由,∴
为偶函数,故可排除B;当
时,
,即
,则排除A、D;故选C.
考查方向
解题思路
先根据函数解析式以及奇偶函数的判定条件确定函数的奇偶性,然后判断出在时
与
的大小关系,从而得出函数的图象.
易错点
本题易错在不能判断出与
的大小关系.
14.如图,半径为1的扇形的圆心角为120°,点
在
上,且
,若
,则
____________.
正确答案
解析
解:如图所示, 建立直角坐标系.∵,
.
∴,即
.
∵,
∴,即
.
又,
.
∴ ,解得
.
∴,
故答案为.
考查方向
解题思路
先建立坐标系,然后把的坐标写出,然后根据条件列出方程,然后解方程即可.
易错点
本题易错在没有建立坐标系来处理,不知道如何入手.
16.已知,则
的最小值为_____________.
正确答案
解析
解:由于,
,
令,
,
故原式,故其最小值为
,故答案为
.
考查方向
解题思路
先由和差化积公式把三角函数式化简,然后利用倍角公式转化为二次函数的最值问题,利用二次函数的性质即可求出最值.
易错点
本题易错在对和差化积公式不熟,不能化简三角函数式.
13.已知是钝角,且
,则
的值为__________.
正确答案
解析
解:由于是钝角,且
,故
,
则,
故答案为.
考查方向
解题思路
先由的值计算出
的值,然后根据诱导公式和倍角公式化简
,然后代入数据计算即可.
易错点
本题易错在计算错误.
15.为数列
的前
项和,已知
.则
的通项公式
_____________.
正确答案
解析
解:由得
①,当
时,
,即
,由
得
,当
时,
②,由两式相减得:
,即
得
,则
,故答案为
.
考查方向
解题思路
根据题意求出,然后作差,对作差后得到的结果进行因式分解,从而确定数列为等差数列,根据等差数列的通项公式代入数据计算即可.
易错点
本题易错在不会因式分解.
设递增的等比数列的前
项和为
,已知
,且
.
19.求数列通项公式及前
项和为
;
20.设,求数列
的前
项和为
.
正确答案
解析
解:设等比数列的公比为
,
则由得,
,解得
或
,
又由知,
,所以
,因为
为递增数列,
所以.
考查方向
解题思路
先根据,求出
的值,再由
求出数列
的
,故可求出通项公式
和前项和
;
易错点
本题易错在计算出错.
正确答案
解析
,
记数列的首
项和为
,
则,
,
两式相减得:
,
即,
又的前
项和为
,
所以.
考查方向
解题思路
20题由19题得出数列,然后利用分组求和和错位相减法相结合可得出结果.
易错点
本题易错在对错位相减求和的方法步骤不熟练,以及计算错误.
如图,在梯形中,
,四边形
为矩形,平面
平面
.
21.求证:平面
;
22.点在线段
上运动,设平面
与平面
所成二面角为
,试求
的取值范围.
正确答案
略
解析
证明:在梯形中,因为
,
所以,所以
,
所以,所以
.
因为平面平面
,平面
平面
,
平面
,所以
平面
.
考查方向
解题思路
先根据题干所给条件数据利用余弦定理证明,然后根据面面垂直的性质定理即可证明线面垂直.
易错点
本题易错在对面面垂直的性质定理认识不足,不会应用.
正确答案
解析
由21题可建立分别以直线为
轴,
轴,
轴的如图所示的空间直角坐标系,
令,则
,
∴,
设为平面
的一个法向量,
由得
,取
,则
,
∵是平面
的一个法向量.
∴.
∵,∴当
时,
有最小值
,当
时,
有最大值
.
∴.
考查方向
解题思路
建立空间坐标系,根据坐标表示出两个平面的法向量,结合向量的有关运算求出二面角的余弦的表达式,再利用函数的有关知识求出余弦的范围.
易错点
本题易错在平面法向量求出,以及没有考虑的取值范围.
某软件公司新开发一款学习软件,该软件把学科知识设计为由易到难共12关的闯关游戏.为了激发闯关热情,每闯过一关都奖励若干慧币(一种网络虚拟币).该软件提供了三种奖励方案:第一种,每闯过一关奖励40慧币;第二种,闯过第一关奖励40慧币,以后每一关比前一关多奖励4慧币;第三种,闯过第一关奖励慧币,以后每一关比前一关奖励翻一番(即增加1倍).游戏规定:闯关者须于闯关前任选一种奖励方案.
23.设闯过关后三种奖励方案获得的慧币总数依次为
,试求出
的表达式;
24.如果你是一名闯关者,为了得到更多的慧币,你应如何选择奖励方案?
正确答案
,
,
;
解析
第一种奖励方案闯过各关所得慧币构成常数列,
∴,
第二种奖励方案闯过各关所得慧币构成首项是,公差也为
的等差数列,
∴,
第三种奖励方案闯过各关所得慧币构成首项是,公比为
的等比数列,
∴.
考查方向
解题思路
第一种奖励方案闯过各关所得慧币构成常数列,且各项均为,由此能求出
;第二种奖励方案闯过各项各关所得慧币构成首项是
,公差也为
的等差数列,由此能求出
的表达式;第三种奖励方案闯过各关所得慧币构成首项是
,公比为
的等比数列,由此能求出
的表达式;
易错点
本题易错在不能确定等差数列以及等比数列模型
正确答案
若我是一名闯关者,当你能冲过的关数小于时,应选用第一种奖励方案;当你能冲过的关数大于等于
时,应选用第三种奖励方案.
解析
令,即
,解得
,
∵且
,∴
恒成立,
令,即
,当
时,该不等式显然成立,当
时,
,
而当时,
,
不等式成立,同样可计算得当
时,
成立.
∴当时,
最大;当
时,
最大.
综上,若我是一名闯关者,当你能冲过的关数小于时,应选用第一种奖励方案;当你能冲过的关数大于等于
时,应选用第三种奖励方案.
考查方向
解题思路
)令,即
,解得
.由
,知
恒成立.令
,即
,解得
.故当
时,
最大;当
时,
.由此能够选出最佳的选择奖励方案.
易错点
本题易错在不能够理解题意以及找到获益最大的分割点.
在中,角
所对的边分别为
,且
.
17.求的大小;
18.若,
是
的中点,求
的长.
正确答案
解析
由正弦定理,得:
,
即,
由余弦定理得,,
因为,所以
考查方向
解题思路
由已知,利用正弦定理化简可得,再利用余弦定理即可得出
,结合
的范围即可得解
的值;
易错点
本题易错在记错正余弦定理,以及计算出错.
正确答案
解析
将,代入
,得
,
因为,所以
.
又,所以
,
所以.
考查方向
解题思路
中,先由余弦定理求得
,再由
及模长的定义可得
的值.
易错点
本题易错在对平面向量的线性运算不熟练,没有把转化为
.
已知椭圆右焦点
是抛物线
的焦点,
是
与
在第一象限内的交点,且
.
25.求的方程;
26.已知菱形的顶点
在椭圆
上,顶点
在直线
上,求直线
的方程.
正确答案
解析
设,
由抛物线定义,,
因为,所以
,即
.
所以,由椭圆定义得:
,
所以,
∴椭圆的方程为
.
考查方向
本题考查椭圆的定义,考查求椭圆标准方程的方法,本题是一道简单题.
解题思路
先由抛物线的定义结合求出
的坐标,然后根据椭圆的定义可得
求得椭圆方程;
易错点
本题易错在对椭圆的定义不理解.
正确答案
解析
因为直线的方程为
,
为菱形,所以
,设直线
的方程为
,
代入椭圆的方程为
,得
,
由题意知,.
设,则
,
所以中点坐标为
,
由为菱形可知,点
在直线
上,
所以.
∴直线的方程为
,即
.
考查方向
解题思路
直线的方程为:
,在菱形
中,
,设直线
的方程为
,联立直线的方程与椭圆的方程可得
.由点
、
在椭圆
上,知
,以及
、
中点在
上,由此能导出直线
的方程.
易错点
本题易错在不知道如何入手解决问题以及因为运算量大计算错误.
已知函数是自然对数的底数.
27.讨论函数在
上的单调性;
28.当时,若存在
,使得
,求实数
的取值范围.(参考公式:
)
正确答案
在
上单调递增
解析
解: .
当时,
,当
时,
,∴
,
所以,故函数
在
上单调递增;
当时,
,当
时,
,∴
,
所以,故函数
在
上单调递增,
综上,在
上单调递增,
考查方向
解题思路
先求导函数,利用导数的正负,分为和
,可求函数
单调区间;
易错点
本题易错在没有进行分类讨论.
正确答案
解析
,因为存在
,使得
,
所以当时,
.
,
①当时,由
,可知
,∴
;
②当时,由
,可知
,∴
;
③当时,
,∴
在
上递减,在
上递增,
∴当时,
,
而,
设,因为
(当
时取等号),
∴在
上单调递增,而
,
∴当时,
,∴当
时,
,
∴,
∴,∴
,即
,
设,则
,
∴函数在
上为增函数,∴
,
既的取值范围是
.
考查方向
解题思路
的最大值减去
的最小值大于或等于
,由单调性知,
的最大值是
或
,最小值
,由
的单调性,判断
与
的大小关系,再由
的最大值减去最小值
大于或等于
求出
的取值范围.
易错点
本题易错在不能确定函数的最值.