理科数学杭州市2012年高三试卷

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单选题
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试卷目录

1、单选题

2、填空题

3、简答题

真题试卷
模拟试卷
预测试卷

单选题本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

题型：单选题

分值: 5分

5．设甲：函数的值域为，乙：函数有四个单调区间，那么甲是乙的（）

A充分不必要条件

B必要不充分条件

C充要条件

D非充分非必要条件

正确答案

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知识点

函数的概念及其构成要素

题型：单选题

分值: 5分

6．已知函数，，当x=a时，取得最小值b，则函数的图象为（）

正确答案

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知识点

函数的图象与图象变化

题型：单选题

分值: 5分

7．如图，在ΔABC中，，，，则=（）

正确答案

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知识点

函数的概念及其构成要素

题型：单选题

分值: 5分

8．由1,2,3,4,5,6,7七个数字排列成7位数，则相邻数互质的排法种数有（）种

A576

B720

C864

D900

正确答案

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知识点

分层抽样方法

题型：单选题

分值: 5分

9．已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的交点，且轴，则双曲线的离心率为（）

正确答案

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知识点

双曲线的几何性质抛物线的标准方程和几何性质

题型：单选题

分值: 5分

1．设，则图中阴影部分表示的集合为（）

正确答案

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知识点

集合的含义

题型：单选题

分值: 5分

2．已知，则等于（）

正确答案

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知识点

虚数单位i及其性质

题型：单选题

分值: 5分

4．下列命题正确的是（）

A若两个平面分别经过两条平行直线，则这两个平面平行

B若平面，则平面

C平行四边形的平面投影可能是正方形

D若一条直线上的两个点到平面的距离相等，则这条直线平行于平面

正确答案

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知识点

四种命题及真假判断

题型：单选题

分值: 5分

3．在的展开式中，的幂指数是整数的项共有（）

A3项

B4项

C5项

D6项

正确答案

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知识点

求二项展开式的指定项或指定项的系数

题型：单选题

分值: 5分

10．已知函数若存在，使得关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）

正确答案

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知识点

函数的概念及其构成要素

填空题本大题共7小题，每小题4分，共28分。把答案填写在题中横线上。

题型：填空题

分值: 4分

11．如果函数在区间上有且仅有一条平行于轴的对称轴，则的取值范围是（）．

正确答案

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知识点

函数的概念及其构成要素

题型：填空题

分值: 4分

13．盒中装有5个零件，其中2个是使用过的，另外个未经使用．从盒中随机抽取个零件，使用后放回盒中，记此时盒中使用过的零件个数为X，则X的数学期望E （X）=（）

正确答案

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知识点

函数的概念及其构成要素

题型：填空题

分值: 4分

12．如右图，如果执行右面的程序框图，输入正整数，那么输出的等于_______

正确答案

5040

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知识点

程序框图

题型：填空题

分值: 4分

16．底面边长为、侧棱长为的正四棱柱的个顶点都在球的表面上，是侧棱的中点，是正方形的中心，则直线被球所截得的线段长为（）．

正确答案

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知识点

函数的概念及其构成要素

题型：填空题

分值: 4分

17．定义在R上的函数是增函数，且函数的图像关于（3,0）成中心对称，若s,t满足不等式，当时，则的取值范围是（）

正确答案

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知识点

函数的概念及其构成要素

题型：填空题

分值: 4分

14．已知一个三棱锥的三视图如图2所示，其中俯视图是顶角为的等腰三角形，则该三棱锥的体积为（）

正确答案

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知识点

任意角的概念

题型：填空题

分值: 4分

15．函数，则函数的所有零点所构成的集合为________

正确答案

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知识点

分段函数的解析式求法及其图象的作法函数零点的判断和求解

简答题（综合题）本大题共72分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

题型：简答题

分值: 14分

19．已知数列中，，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）令，数列的前项和为，试比较与的大小，并证明．

正确答案

（1）由题知，，

由累加法，当时，

代入得，时，

又，故．

（2）时，，则

记函数

所以

则

所以．

由于，此时；

，此时；

由于，，故时，，此时．

综上所述：当时，；当时,．

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知识点

由数列的前几项求通项

题型：简答题

分值: 14分

20．如图，直三棱柱中，，为的中点，．

（1）求证：//平面；

（2）若四棱锥的体积为2，求二面角的正切值．

正确答案

（1）略

（2）如图建系

则，，，

∴，

设平面的法向量为，

由及

得，取

∴

又平面的一个法向量

∴

∵所求二面角的平面角为锐角

∴二面角的正切值为

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知识点

任意角的概念

题型：简答题

分值: 14分

18．已知函数．

（1）若点（）为函数与的图象的公共点，试求实数的值；

（2）设是函数的图象的一条对称轴，求的值;

（3）求函数的值域。

正确答案

（1）

（2）1

（3）

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函数的概念及其构成要素

题型：简答题

分值: 15分

22．设,．

（1）若，求的单调区间；

（2）讨论在区间上的极值点个数；

（3）是否存在，使得在区间上与轴相切?若存在，求出所有的值．若不存在，说明理由．

正确答案

（1）当时：，（）

故

当时：，当时：，当时：.

故的减区间为：，增区间为

（2）

令，故,,

显然，又当时：.当时：.

故，，.

故在区间上单调递增，

注意到：当时，，故在上的零点个数由的符号决定.

①当，即：或时：在区间上无零点，即

无极值点.

②当，即：时：在区间上有唯一零点，即

有唯一极值点.

综上：当或时：在上无极值点.

当时：在上有唯一极值点.

（3）假设存在，使得在区间上与轴相切，则必与轴相切于极值点处，由（2）可知：.不妨设极值点为，则有：

…(*)同时成立.

联立得：，即代入（*）可得.

令，

则，，当时

（2）.故在上单调递减.又， .故在上存在唯一零点.

即当时，单调递增.当时，单调递减.

因为，.

故在上无零点，在上有唯一零点.

由观察易得，故，即：.

综上可得：存在唯一的使得在区间上与轴相切.

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知识点

函数的概念及其构成要素

题型：简答题

分值: 15分

21．已知抛物线的焦点为，抛物线上一点的横坐标为，过点作抛物线的切线交轴于点，交轴于点，交直线于点，当时，．

（1）求证：为等腰三角形，并求抛物线的方程；

（2）若位于轴左侧的抛物线上，过点作抛物线的切线交直线于点，交直线于点，求面积的最小值，并求取到最小值时的值．

正确答案

（1）设，则处的切线方程为

所以，

所以；即为等腰三角形

又为线段的中点，所以，得：

所以，

（2）设，则处的切线方程为

由，

同理，所以面积……①

设的方程为，则

由，得代入①

得：，使面积最小，则得到②

令，②得，，

所以当时单调递减；当单调递增，

所以当时，取到最小值为，此时，，

所以，即

解析

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知识点

抛物线的标准方程和几何性质圆锥曲线中的范围、最值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

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正确答案

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