理科数学 热门试卷

（Ⅰ）解：f（x）=alnx+x2的定义域为（0，+∞），f′（x）=+2x=．

当x[1，e]时，2x2[2，2e2]．

若a≥-2，f′（x）在[1，e]上非负（仅当a=-2，x=-1时，f′（x）=0），

故f（x）在[1，e]上单调递增，此时f（x）min=f（1）=1；

若-2e2<a<-2，令f′（x）<0，解得1≤x<，此时f（x）单调递减；

令f′（x）>0，解得<x≤e，此时f（x）单调递增，

∴f（x）min=f（）=；

若a≤-2e2，f′（x）在[1，e]上非正（仅当a=-2e2，x=e时，f′（x）=0），

故f（x）在[1，e]上单调递减，此时f（x）min=f（e）=a+e2．

综上所述，得a≥-2时，f（x）min=1，相应的x=1；

当-2e2<a<-2时，f（x）min=，相应的x=；

当a≤-2e2时，f（x）min=a+e2，相应的x=e．

（Ⅱ）解：不等式f（x）≤（a+2）x可化为a（x-lnx）≥x2-2x．

∵x[1，e]，∴lnx≤1≤x且等号不能同时成立，∴lnx<x，即x-lnx>0，

因而a≥，x[1，e]，

令g（x）=（x[1，e]），则g′（x）=，

当x[1，e]时，x-1≥0，lnx≤1，x+2-2lnx>0，

从而g′（x）≥0（仅当x=1时取等号），∴g（x）在[1，e]上是增函数，

故g（x）min=g（1）= -1，∴实数a的取值范围是[-1，+∞）．

（Ⅰ ）解：

由2sinAcosB+sin（B+C）=0，

即2sinAcosB+sinA=0，

而sinA≠0，∴cosB=-，B=．

（Ⅱ）解：因S=acsinB，又S=，a=1，sinB=，则c=4．

解法一：由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，得b=，

由cosC=，得，

解得BD=．

解法二：作AE平行于BC，并延长BD交AE于E，

在△ABE中，∠BAE=，AB=4，AE=1，且BD=BE，

又BE2=AB2+AE2-2AB·AEcosA，

即BE2=16+1-2×4×1×=13，这样

BD=BE=．

（Ⅰ）解：设左焦点F的坐标为（-c，0），其中c=，

∵e=，∴a=c，b=c．

∴A（0，c），B（-c，0），C（0，-c），

∴AB：，CF：，

联立解得D点的坐标为（-c，c）．

∵△ADC的面积为15，∴|xD|·|AC|=15，即·c·2·c=15，

解得c=3，∴a=5，b=4，∴椭圆C的方程为．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，A点的坐标为（0，4），D点的坐标为（-，1）．

假设存在这样的两个圆M与圆N，其中AD是圆M的弦，AC是圆N的弦，

则点M在线段AD的垂直平分线上，点N在线段AC的垂直平分线y=0上．

当圆M和圆N是两个相外切的等圆时，一定有A，M，N在一条直线上，且AM=AN．

∴M、N关于点A对称，设M（x1，y1），则N（-x1，8-y1），

根据点N在直线y=0上，∴y1=8．∴M（x1，8），N（-x1，0），

而点M 在线段AD的垂直平分线y-=-（x+）上，可求x1=-．

故存在这样的两个圆，且这两个圆的圆心坐标分别为

M（-，8），N（0）．

（Ⅰ）解：ξ的可能取值为0，1，2．f（x）=ax2+bx+c的判别式Δ=b2-4ac，

当Δ=0时，b为偶数，b=2时，a=1，c=1；

b=4时，a=1，c=4或a=2，c=2或a=4，c=1；

b=6时，a=3，c=3，∴P（ξ=1）=．

当Δ≥0时，有b≥3，b=3时，ac≤2，有3种；

b=4时，ac≤4，有9种；b=5时，ac≤6，

有14种；b=6时，ac≤9，有17种，共计43种．

∴ξ=1的情形有43-5=38种，∴P（ξ=2）=．

P（ξ=0）=1- P（ξ=1）-P（ξ=2）=．

∴ξ的分布列为：

数学期望 Eξ=．

（Ⅱ）甲得枣的数学期望是，

乙得枣的数学期望是．

∴该游戏不公平，甲吃亏．