• 理科数学 兰州市2015年高三试卷
单选题 本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1

1.已知集合A={x||x -|≤},B={x|y=lg(4x-x2)},则A∩B等于(   )

A(0,2]

B[-1,0)

C[2,4)

D[1,4)

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1

2.若i为虚数单位,图中网格纸的小正方形的边长是1,复平面内点Z表示复数z,那么复数对应的点位于复平面内的(   )

A第一象限

B第二象限

C第三象限

D第四象限

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1

3.已知函数f(x)=cos(2x-),若存在a∈(0,π),使得f(x+a)=f(x-a)恒成立,则a的值是(   )

A

B

C

D

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1

4.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若Sn=,Sm=(m≠n),则Sm+n-4的符号是(    )

A

B

C非负

D非正

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1

5.从平行六面体的8个顶点中任取5个顶点为顶点,恰好构成四棱锥的概率为(   )

A

B

C

D

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1

6.设f(x)=(1+x)6(1-x)5,则导函数f ′(x)中x2的系数是(   )

A0

B15

C12

D-15

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1

7.设直线x+y=1与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点,若OA⊥OB,则△OAB的面积为(   )

A1

B

C

D2

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1

8.某几何体的三视图如图所示,当a+b取最大值时,这个几何体的体积为(   )

A

B

C

D

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1

9.下图是某算法的程序框图,若程序运行后输出的结果是27,则判断框①处应填入的条件是(     )

An>2

Bn>3

Cn>4

Dn>5

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1

10.已知双曲线(a>0,b>0),被方向向量为k=(6,6)的直线截得的弦的中点为(4,1),则该双曲线离心率的值是(   )

A

B

C

D2

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1

12.两球O1和O2在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1的内部,且互相外切,若球O1与过点A的正方体的三个面相切,球O2与过点C1的正方体的三个面相切,则球O1和O2的表面积之和的最小值为(   )

A3(2-

B4(2-

C3(2+

D4(2+

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1

11.函数f(x)=(x-a)ex在区间(2,3)内没有极值点,则实数a的取值范围是(   )

A(-∞,3]∪[4,+∞)

B[3,4]

C(-∞,3]

D[4,+∞)

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填空题 本大题共5小题,每小题5分,共25分。把答案填写在题中横线上。
1

14.△ABC 外接圆的圆心为O,且,则cos∠BAC=___________。

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1

13.6个儿童分坐两行,每行3人面对着做游戏,其中甲、乙二人既不对面,又不相邻的坐法有___________种。(用数字作答)

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1

15.如果双曲线x2-y2=a2经过圆(x-3)2+(y-1)2=5的直径AB的两个端点,则正实数a的值等于___________。

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1

18.在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=CA=AA1=2,侧棱AA1⊥面ABC,D、E分别是棱A1B1,AA1的中点,点F在棱AB上,且AF=AB.

(Ⅰ)求证:EF∥平面BDC1

(Ⅱ)求二面角E-BC1-D的余弦值.

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1

16.关于x的不等式有唯一整数解x=1,则的取值范围是_______。

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简答题(综合题) 本大题共58分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1

17.在△ABC中,a,b,c分别是角A、B、C的对边,且

(Ⅰ)求角B的大小;

(Ⅱ)若△ABC的面积S=,a=1,求边AC上的中线BD的长.

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1

19.已知袋内有标有1~6数字的小球6个,球除标号不同外完全相同,甲、乙两人玩“摸球赢枣”的游戏,由丙做裁判,游戏规定由丙从袋中有放回的摸三次球,记第1、2、3次摸到的球的标号分别为a,b,c,然后将所得的数代入函数f(x)=ax2+bx+c,若所得到的函数无零点,则甲输一个枣给乙,若所得到的函数有零点,则乙输四个枣给甲.

(Ⅰ)记函数的零点的个数为,求的分布列和数学期望;

(Ⅱ)根据两人得枣的数学期望,该游戏公平吗?若不公平,谁吃亏?

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1

21.已知函数f(x)=alnx+x2(a为实数).

(Ⅰ)求函数f(x)在区间[1,e]上的最小值及相应的x值;

(Ⅱ)若存在,使得f(x)≤(a+2)x成立,求实数a的取值范围.

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1

20.如图,椭圆C:(a>b>0)的离心率e=,左焦点为F,A,B,C为其三个顶点,直线CF与AB交于点D,若△ADC的面积为15.

(Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ)是否存在分别以AD,AC为弦的两个相外切的等圆?若存在,求出这两个圆的圆心坐标;若不存在,请说明理由.

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1

22.请考生在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号.

1.设AB为圆O的直径,AB=10.E为线段AO上一点,OE=AB.过E作一直线交圆O于C,D两点,使得∠CEA=45°.试求CE2+ED2的值.

2.设直线l的参数方程为(t为参数),若以直角坐标系xOy的O点为极点,Ox轴为极轴,选择相同的长度单位建立极坐标系,得曲线C的极坐标方程为=

(Ⅰ)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程,并指出曲线是什么曲线;

(Ⅱ)若直线l与曲线C交于A,B两点,求|AB|.

3.若实数a,b满足ab>0,且a2b=4,若a+b≥m恒成立.

(Ⅰ)求m的最大值;

(Ⅱ)若2|x-1|+|x|≤a+b对任意的a,b恒成立,求实数x的取值范围.

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