• 理科数学 2014年高三试卷
填空题 本大题共14小题,每小题5分,共70分。把答案填写在题中横线上。
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1.在复平面内,复数-3+i和1-i对应的点间的距离为(    )

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2.在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子,豆子落在正方形内切圆的上半圆(圆中阴影部分)中的概率是(    )


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3.对某种花卉的开放花期追踪调查,调查情况如下:

则这种花卉的平均花期为(    )天。

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4.若sin α=,α∈,则cos=(    )

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5.直线xcos α+y+2=0(α∈R)的倾斜角的范围是(    )       

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6.设函数f(x)是奇函数且周期为3,f(-1)=-1,则f(2014)=(    )       

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7.阅读下面的程序框图,运行相应的程序,则输出i的值为(    )  

     

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8.若等边三角形ABC的边长为2,平面内一点M满足,则=(    )       

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9.有下面四个判断:

①命题“设a、b∈R,若a+b≠6,则a≠3或b≠3”是一个假命题;

②若“p或q”为真命题,则p、q均为真命题;

③命题“∀a、b∈R,a2+b2≥2(a-b-1)”的否定是“∃a、b∈R,a2+b2≤2(a-b-1)”;

④若函数f(x)=ln的图象关于原点对称,则a=3。

其中正确的有(    )个。

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10.若双曲线的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则该双曲线的实轴长为(    )       

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11.设n为正整数,f(n)=,计算得f(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3,观察上述结果,可推测一般的结论为(    )       

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12.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,△ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC=2,则此棱锥的体积为(   )       

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13.设函数f(x)=ax3-3x+1(x∈R),若对于任意x∈[-1,1],都有f(x)≥0成立,则实数a的值为(    )       

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14.已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数,对于任意的x,y∈R,都有f(x·y)=xf(y)+yf(x)成立。数列{an}满足an=f(2n)(n∈N*),且a1=2。则数列的通项公式an=(    )      

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简答题(综合题) 本大题共90分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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15.设△ABC的内角A,B,C的对边长分别为a,b,c,且b2ac

(1)求证:cos B≥

(2)若cos(A-C)+cos B=1,求角B的大小。

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16.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知∠ACB=90°,BC=CC1,E,F分别为AB,AA1的中点。

(1)求证:直线EF//平面BC1A1

(2)求证:EF⊥B1C。

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17.经市场调查,某旅游城市在过去的一个月内(以30天计),日旅游人数(万人)与时间(天)的函数关系近似满足,人均消费(元)与时间(天)的函数关系近似满足

(Ⅰ)求该城市的旅游日收益(万元)与时间的函数关系式;

(Ⅱ)求该城市旅游日收益的最小值(万元)。

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18. 已知抛物线D的顶点是椭圆C:的中心,焦点与该椭圆的右焦点重合。

(1)求抛物线D的方程;

(2)过椭圆C右顶点A的直线l交抛物线D于M、N两点。

① 若直线l的斜率为1,求MN的长;

② 是否存在垂直于x轴的直线m被以MA为直径的圆E所截得的弦长为定值?如果存在,求出m的方程;如果不存在,说明理由。

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19.设函数

(1)讨论的单调性;

(2)若有两个极值点,记过点的直线的斜率为,问:是否存在,使得若存在,求出的值,若不存在,请说明理由。

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20.记数列的前项和为N*),若存在实常数,对于任意正整数,都有成立。

(1)已知,求证:数列N*)是等比数列;

(2)已知数列N*)是等差数列,求证:

(3)已知.设为实数,若N*,求的取值范围。

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