15. 设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a,b,c。已知C=,acosA=bcosB 。
(1)求角A的大小;
(2)如图,在△ABC的外角∠ACD内取一点P,使得PC=2。过点P分别作直线CA、CD的垂线PM、PN,垂足分别是M、N 。设∠PCA=α,求PM+PN的最大值及此时α的取值。
16. 如图,在四棱锥P-ABCD中,BA平面PAD,AP=AD,DC//AB,DC=2AB,E是棱
PD的中点。
(1)求证:AE//平面PBC;
(2)求证:平面PBC平面PDC 。
17. 交管部门遵循公交优先的原则,在某路段开设了一条仅供车身长为10m的公共汽车行驶的专用车道。据交管部门收集的大量数据分析发现,该车道上行驶着的前、后两辆公共汽车间的安全距离d(m)与车速v(km/h)之间满足二次函数关系d=f(v)。现已知车速为15 km/h时,安全距离为8 m;车速为45 km/h时,安全距离为38 m;出现堵车状况时,两车安全距离为2 m 。
(1)试确定d关于v的函数关系d=f(v);
(2)车速v(km/h)为多少时,单位时段内通过这条车道的公共汽车数量最多,最多是多少辆?
19. (1)已知一条直线l与函数y=sinx(x∈R)的图象相切,且有无穷多个切点。试写出这条直线的方程,并说明理由。
(2)是否存在函数y=f(x)满足它的图象上任意两点处的切线都不相同?若存在,请举例说明;若不存在,请说明理由。
(3)设函数g(x)=的图象上存在k(k≥2,k∈N*)个不同的点,使得函数y=g(x)的图象在这k个点处的切线是同一条直线l,求这k个点的坐标和直线l的方程。
20. 设k为正整数,若数列{an}满足a1=1,且 (an+1-an)2=(n+1)k(n∈N*),称数列{an}为“k次方数列”。
(1)设数列{an}(n∈N*)为“2次方数列”,且数列为等差数列,求a4的值;
(2)设数列{an}(n∈N*)为“4次方数列”,且存在正整数m满足am=15,求m的最小值;
(3)对于任意正整数c,是否存在“4次方数列”{an}(n∈N*)和正整数p,满足ap=c 。
21.【选做题】
在A、B、C、D四小题中只能选做2题。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
A.几何证明选讲
在△ABC中,已知AC=AB,CM是
的平分线,△AMC的外接圆交BC边于点N,求证:BN=2AM。
B.矩阵与变换
在平面直角坐标系中,设圆
在矩阵
对应的变换作用下得到曲线F,求曲线F的方程。
C.坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,设M是椭圆
上在第一象限的点,
和
是椭圆的两个顶点,求四边形
的面积的最大值。
D.不等式选讲
设,求证:
,等号当且仅当ad=bc时成立。
22.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,BA⊥AC,AB=AC=A1B=2,顶点A1在底面ABC上的射影恰为点B 。
(1)求异面直线AA1与BC所成角的大小;
(2)在棱B1C1上确定一点P,使AP=
,并求出二面角P-AB-A1的平面角的余弦值。
23. 设a为实数,若数列{an}的首项为a,且满足an+1=an2+a1(n∈N*),称数列{an}为理想数列。若首项为a的理想数列满足:对于任意的正整数n≥2,都有|an|≤2,称实数a为伴侣数。记M是所有伴侣数构成的集合。
(1)若a∈(-∞,-2),求证:;
(2)若a∈(0,],求证:a∈M 。
18. 在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:(a>b>0)的上顶点到焦点的距离为2,离心率为
。
(1)求a,b的值。
(2)设P是椭圆C长轴上的一个动点,过点P作斜率为k的直线l交椭圆C于A、B两点。
(ⅰ)若k=1,求△OAB面积的最大值;
(ⅱ)若PA2+PB2的值与点P的位置无关,求k的值。
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