• 理科数学 南京市2013年高三试卷
填空题 本大题共14小题,每小题5分,共70分。把答案填写在题中横线上。
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1.已知集合A={x|x2-2x≥0},B={-1, 0, 1, 2, 3},则A∩B= (    )

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2.设a,b是实数,若=a+bi(i是虚数单位),则a+b的值是(    )

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3.“|x|≤3”是“x≥-3且x≤3”的(    )条件。(从 “充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”中选填)

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4.一只口袋装有形状、大小都相同的5只小球,其中2只白球,3只红球。从中一次随机摸出2只球,则2只球不同色的概率是(    )

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5.为了解某地区高三学生的身体发育情况,抽查了该地区100名高三男生的体重。根据抽样测量后的男生体重(单位:kg)数据绘制的频率分布直方图如图所示,则这100名学生中体重值在区间[56.5,64.5)的人数是(    )

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6.如图所示的流程图,最后输出的n的值是(    )

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8.在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C:(a>b>0)的一条渐近线方程为y=x,则该双曲线的离心率的值是(    )

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9.已知正方体的外接球的体积是,则此正方体的棱长为(    )

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7.已知向量ab,满足|a|=1,| b |=ab=(,1),则向量ab与向量ab的夹角是(    )

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10.在平面直角坐标系xOy中, 抛物线方程为x2=2py(p>0)。 若直线x-y-2=0与该抛物线相切,则实数p的值是(    )

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12.设等比数列{an}的前n项和为Sn (n∈N*)。若S3,S9,S6成等差数列,则的值是(    )

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13.设函数f(x)的定义域为D,(C为常数)成立,则称函数f(x)在D上的“均值”为C 。已知四个函数:

①y=x3 (x∈R)

②y=(x∈R)

③y=lnx (x∈(0,+∞))

④y=2sinx+1 (x∈R)

上述四个函数中,满足所在定义域上“均值”为1的函数是(    )(填满足要求的所有的函数的序号)

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14.设实数a,x,y,满足,则xy的取值范围是(    )

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11.已知锐角A,B满足tan(A+B)=2tanA,则tanB的最大值是(    )

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简答题(综合题) 本大题共130分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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15. 设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a,b,c。已知C=,acosA=bcosB 。

(1)求角A的大小;

(2)如图,在△ABC的外角∠ACD内取一点P,使得PC=2。过点P分别作直线CA、CD的垂线PM、PN,垂足分别是M、N 。设∠PCA=α,求PM+PN的最大值及此时α的取值。

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16. 如图,在四棱锥P-ABCD中,BA平面PAD,AP=AD,DC//AB,DC=2AB,E是棱

PD的中点。

(1)求证:AE//平面PBC;

(2)求证:平面PBC平面PDC 。

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17. 交管部门遵循公交优先的原则,在某路段开设了一条仅供车身长为10m的公共汽车行驶的专用车道。据交管部门收集的大量数据分析发现,该车道上行驶着的前、后两辆公共汽车间的安全距离d(m)与车速v(km/h)之间满足二次函数关系d=f(v)。现已知车速为15 km/h时,安全距离为8 m;车速为45 km/h时,安全距离为38 m;出现堵车状况时,两车安全距离为2 m 。

(1)试确定d关于v的函数关系d=f(v);

(2)车速v(km/h)为多少时,单位时段内通过这条车道的公共汽车数量最多,最多是多少辆?

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19. (1)已知一条直线l与函数y=sinx(x∈R)的图象相切,且有无穷多个切点。试写出这条直线的方程,并说明理由。

(2)是否存在函数y=f(x)满足它的图象上任意两点处的切线都不相同?若存在,请举例说明;若不存在,请说明理由。

(3)设函数g(x)=的图象上存在k(k≥2,k∈N*)个不同的点,使得函数y=g(x)的图象在这k个点处的切线是同一条直线l,求这k个点的坐标和直线l的方程。

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20. 设k为正整数,若数列{an}满足a1=1,且 (an+1-an)2=(n+1)k(n∈N*),称数列{an}为“k次方数列”。

(1)设数列{an}(n∈N*)为“2次方数列”,且数列为等差数列,求a4的值;

(2)设数列{an}(n∈N*)为“4次方数列”,且存在正整数m满足am=15,求m的最小值;

(3)对于任意正整数c,是否存在“4次方数列”{an}(n∈N*)和正整数p,满足ap=c 。

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21.【选做题】

在A、B、C、D四小题中只能选做2题。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

A.几何证明选讲

在△ABC中,已知AC=AB,CM是的平分线,△AMC的外接圆交BC边于点N,求证:BN=2AM。

B.矩阵与变换

在平面直角坐标系中,设圆在矩阵对应的变换作用下得到曲线F,求曲线F的方程。

C.坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中,设M是椭圆上在第一象限的点,是椭圆的两个顶点,求四边形的面积的最大值。

D.不等式选讲

,求证:,等号当且仅当ad=bc时成立。

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22.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,BA⊥AC,AB=AC=A1B=2,顶点A1在底面ABC上的射影恰为点B 。

(1)求异面直线AA1与BC所成角的大小;

(2)在棱B1C1上确定一点P,使AP=,并求出二面角P-AB-A1的平面角的余弦值。

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23. 设a为实数,若数列{an}的首项为a,且满足an+1=an2+a1(n∈N*),称数列{an}为理想数列。若首项为a的理想数列满足:对于任意的正整数n≥2,都有|an|≤2,称实数a为伴侣数。记M是所有伴侣数构成的集合。

(1)若a∈(-∞,-2),求证:

(2)若a∈(0,],求证:a∈M 。

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18. 在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:(a>b>0)的上顶点到焦点的距离为2,离心率为

(1)求a,b的值。

(2)设P是椭圆C长轴上的一个动点,过点P作斜率为k的直线l交椭圆C于A、B两点。

(ⅰ)若k=1,求△OAB面积的最大值;

(ⅱ)若PA2+PB2的值与点P的位置无关,求k的值。

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