理科数学 2018年高三浙江省第二次模拟考试
精品
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单选题 本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

命题“∀x∈[0,+∞),sinx+x≥0”的否定是(  )

A∃x0∈(﹣∞,0),sinx0+x0<0

B∀x∈(﹣∞,0),sinx+x≥0

C∃x0∈[0,+∞),sinx0+x0<0

D∃x0∈[0,+∞),sinx0+x0≥0

正确答案

C

解析

利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可.

【解答】解:因为全称命题的否定是特称命题.所以命题“∀x∈[0,+∞),sinx+x≥0”的否定是:∃∃x0∈[0,+∞),sinx0+x0<0;

故选:C.

【点评】本题考查命题的否定,特称命题与全称命题的否定关系.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

已知复数z1=2﹣i,z2=1+i,其中i为虚数单位,设复数z=,若a﹣z为纯虚数,则实数a的值为(  )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出.

【解答】解:复数z====

∵a﹣z=a﹣+i为纯虚数,

∴a﹣=0,解得a=

故选:B.

【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

已知集合M={x|y=lg(x﹣2),N={x|x≥a},若集合M∩N=N,则实数a的取值范围是(  )

A(2,+∞)

B[2,+∞)

C(﹣∞,0)

D(﹣∞,0]

正确答案

A

解析

先将集合M化简,然后集合M∩N=N,则N⊂M,得实数a.

【解答】解:集合M={x|y=lg(x﹣2)}={x|x>2},N={x|x≥a},

若集合M∩N=N,则N⊂M,

∴a>2,即(2,+∞).

故选:A.

【点评】本题考查集合的包含关系,考查数形结合的数学思想,属于基础题.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

多项式(x2﹣x﹣y)5的展开式中,x7y项的系数为(  )

A20

B40

C﹣15

D160

正确答案

A

解析

由题意知,当其中一个因式取﹣y,一个因式取﹣x,其余的3个因式都取x2 时,

可得含x7y的项,由此求得结果.

【解答】解:多项式(x2﹣x﹣y)5表示5个因式(x2﹣x﹣y)的乘积,

当只有一个因式取﹣y,一个因式取﹣x,

其余的3个因式都取x2时,才可得到含x7y的项;

所以x7y的系数为=20.

故选:A.

【点评】本题考查了排列组合、二项式定理和乘方的应用问题,是基础题.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

已知中心在坐标原点,焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x则该双曲线的离心率为(  )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

当双曲线的焦点坐标在x轴上时,设双曲线方程为,由已知条件推导出;当双曲线的焦点在y轴上时,设双曲线方程为,由已知条件推导出.由此利用分类讨论思想能求出该双曲线的离心率.

【解答】解:∵中心在坐标原点,焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x,

∴双曲线的焦点坐标在x轴上或在y轴上,

①当双曲线的焦点坐标在x轴上时,

设双曲线方程为

它的渐近线方程为y=±,∴

∴e===

当双曲线的焦点在y轴上时,

设双曲线方程为

它的渐近线方程为y=,∴,∴

∴e===

综上所述,该双曲线的离心率为

故选:C.

【点评】本题考查双曲线的离心率的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意分类讨论思想的合理运用.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排照相,要求甲不站在两侧,且乙、丙两人站在一起,那么不同的排法种数为(  )

A12

B24

C36

D72

正确答案

B

解析

根据题意,分3步进行分析:①、乙、丙两人站在一起,用捆绑法将2人看成一个整体进行分析;②、将这个整体与丁、戊进行全排列,③、分析甲的站法数目,进而由分步计数原理计算可得答案.

【解答】解:根据题意,分3步进行分析:

①、乙、丙两人站在一起,将2人看成一个整体,考虑其顺序有A22种顺序;

②、将这个整体与丁、戊进行全排列,有A33种情况;

③、甲不站在两侧,则乙丙的整体与丁、戊有2个空位可选,有2种情况,

则不同的排法有A22×A33×2=24种;

故选:B.

【点评】本题考查排列、组合的综合应用,注意优先分析受到限制的元素.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

将函数f(x)=2sin(πx)的图象向左平移φ(0<φ<4)个单位,得到函数y=g(x)的图象,若实数x1,x2满足|f(x1)﹣g(x2)|=4,且|x1﹣x2|min=2,则φ=(  )

A1

B2

C3

D1或3

正确答案

D

解析

结合正弦函数的图象和性质可得|x1﹣x2|min=2,得φ的值

【解答】解:将函数f(x)=2sin(πx)的图象向左平移φ(0<φ<4)个单位,得到函数y=g(x)=2sin(πx+φπ)的图象,

故f(x)的最大值为2,最小值为﹣2,g(x)的最大值为2,最小值为﹣2.

若实数x1,x2满足|f(x1)﹣g(x2)|=4,且|x1﹣x2|=2,两个函数的最大值与最小值的差为2,有|x1﹣x2|min=2.

不妨假设f(x1)=2,g(x2)=﹣2,则 πx1=2kπ+,πx2+πφ=2nπ﹣,k、n∈Z,

即x1=2k+,x2=2n﹣﹣φ,此时,有|x1﹣x2|min=2=|2k﹣2n+1+φ|=1+φ,或|x1﹣x2|min=2=|2k﹣2n+1+φ|=﹣2+1+φ,

∴φ=1 或φ=3,

故选:D.

【点评】本题考查三角函数的图象平移,函数的最值以及函数的周期的应用,考查分析问题解决问题的能力,是好题,题目新颖,有一定难度,属于中档题.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

若如图的程序框图运行的结构为S=﹣,则判断框①中可以填入的是(  )

Ai>4?

Bi≥4?

Ci>3?

Di≥3?

正确答案

A

解析

模拟运行程序,可得结论.

【解答】解:模拟运行程序,可得S=﹣,i=2;S=﹣+2cos=﹣,i=3;

S=﹣+3cosπ=,i=4;S=+4cos=﹣,i=5,循环结束,

故选A.

【点评】本题是当型循环结构的程序框图,解题的关键是判断程序框图功能及判断终止程序的k值.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

如图,是圆锥一部分和四分之一球组成的组合体的三视图,则此几何体的体积为(  )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

由已知中的三视图可得:该几何体是一个以正视图为底面的四分之一球与半圆锥的组合体,分别计算它们的体积,相加可得答案.

【解答】解:由已知中的三视图可得:该几何体是一个以正视图为底面的四分之一球与半圆锥的组合体,

底面(四分之一球)的半径R=2,

故四分之一球的体积V==

半圆锥的底面面积S==2π,

高h=3,

故半圆锥的体积为:2π,

故组合体的体积V=

故选:C

【点评】本题考查的知识点是由三视图,求体积和表面积,根据已知的三视图,判断几何体的形状是解答的关键.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

已知函数f(x)=+bx﹣2a(a∈R),其中b=(2sin•cos)dt,若∃x∈(1,2),使得f′(x)•x+f(x)>0成立,则实数a的取值范围为(  )

A(﹣∞,1)

B(0,1]

C(﹣∞,

D(﹣∞,]

正确答案

C

解析

先利用微积分基本定理求出a,得到函数的解析式,再求导函数,根据导数和函数的单调性关系,求出函数y=x+的最大值即可.

【解答】解:b=(2sin•cos)dt=sintdt=﹣cost|=﹣(cos﹣cos0)=1,

∴f(x)=+x﹣2a,

设g(x)=xf(x)=2lnx+a2+x2﹣2ax,

∴g′(x)=+2x﹣2a,g′(x)=f′(x)•x+f(x),

∵∃x∈(1,2),使得f′(x)•x+f(x)>0成立,

∴∃x∈(1,2),使得+2x﹣2a>0,

∴∃x∈(1,2),使得a<+x,

又y=x+在(1,2)上单调递增,

∴a<(+x)max<+2=

∴a<

故选:C

【点评】本题以函数为载体,考查微积分基本定理,导数的运用,考查了学生的运算能力和转化能力,属于中档题

多选题 本大题共2小题,每小题5分,共10分。在每小题给出的4个选项中,有多项符合题目要求,全对得5分,选对但不全得2.5分,有选错的得0分。
1
题型: 多选题
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分值: 5分

如图,正方形ABCD中,P,Q分别是边BC,CD的中点,若=x+y,则xy=(  )

A2

B

C

D

正确答案

D

解析

y(=x()+y()=(x﹣+(=.可得x﹣=1, =1,即可

【解答】解:∵ y(=x()+y()=(x﹣+(=

可得x﹣=1, =1,解得x=,y=,∴xy=

故选:D

【点评】本题考查了向量的线性运算,属于中档题.

1
题型: 多选题
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分值: 5分

《九章算术》是我国古代著名数学经典.其中对勾股定理的论述比西方早一千多年,其中有这样一个问题:“今有圆材埋在壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺.问径几何?”其意为:今有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知其大小,用锯去锯该材料,锯口深一寸,锯道长一尺.问这块圆柱形木料的直径是多少?长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中,截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分).已知弦AB=1尺,弓形高CD=1寸,估算该木材镶嵌在墙中的体积约为(  )  (注:1丈=10尺=100寸,π≈3.14,sin22.5°≈

A600立方寸

B610立方寸

C620立方寸

D633立方寸

正确答案

D

解析

由题意画出图形,求出圆柱的底面半径,进一步求出弓形面积,代入体积公式得答案.

【解答】解:如图,

AB=10(寸),则AD=5(寸),CD=1(寸),

设圆O的半径为x(寸),则OD=(x﹣1)(寸),

在Rt△ADO中,由勾股定理可得:52+(x﹣1)2=x2,解得:x=13(寸).

∴sin∠AOD=,即∠AOD≈22.5°,则∠AOB=45°.

则弓形的面积S=≈6.33(平方寸).

则算该木材镶嵌在墙中的体积约为V=6.33×100=633(立方寸).

故选:D.

【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台体积的求法,关键是对题意的理解,是中档题.

简答题(综合题) 本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
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分值: 12分

(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an=2﹣3Sn(n∈N*)

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式

(Ⅱ)设bn=log2an,求数列{}的前n项和Tn.

正确答案

见解析

解析

(Ⅰ)当n≥2时,由已知条件an=2﹣3Sn得到an﹣1=2﹣3Sn﹣1,将这两个式子相减,再结合数列{an}的前n项和Sn的定义易得数列{an}的通项公式

(Ⅱ)利用(Ⅰ)中求得的通项公式不难推出:bn=log2an=1﹣2n,所以利用裂项相消法来求数列{}的前n项和Tn.

【解答】解:(Ⅰ)当n≥2时,∵an=2﹣3Sn…①

∴an﹣1=2﹣3Sn﹣1…②

①﹣②得:an﹣an﹣1=﹣3(Sn﹣Sn﹣1)=﹣3an

∴4an=an﹣1;即=

又a1=2﹣3S1=2﹣3a1;得:a1=

∴数列{an}是以为首项,为公比的等比数列

∴an=×()n﹣1=21﹣2n(n∈N*),即an=21﹣2n(n∈N*),

(Ⅱ)∵an=21﹣2n(n∈N*),bn=log2an,

∴bn=log2an=log221﹣2n=1﹣2n,

==).

∴Tn=(1﹣++…+),

=(1﹣),

=(n∈N*).

【点评】本题主要考查数列通项公式和前n项和的求解,利用裂项相消求和法是解决本题的关键.

1
题型:简答题
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分值: 12分

(12分)根据《环境空气质量指数(AQI)技术规定(试行)》(HJ633﹣2012)规定,空气污染指数划分为六档,指数越大,级别越高,说明污染越严重,对人体健康的影响也越明显,如表(1)所示,若表(2)、表(3)分别是石家庄市、北京市近期空气质量记录.

表一:

(Ⅰ)根据表(2)、表(3)中的数据,通过研究1月1日至7日石家庄市、北京市近一周空气污染指数的平均值,比较石家庄市、北京市近一周空气污染的严重程度(结果保留两位有效数字)

(Ⅱ)将1月1日至7日分别记为x,x=1,2,3,4,5,6,7,其对应的空气污染指数为y,根据表中提供的数据,用变量y与x的相关系数说明石家庄市空气污染指数y与日期x之间线性相关关系的强弱,丙说明理由

(Ⅲ)小明在北京经营一家洗车店,经小明统计,AQI指数不高于200时,洗车店平均每天亏损约200元,AQI指数在200至400时,洗车店平均每天收入约400元,AQI指数大于400时,洗车店平均每天收入约700元,求小明的洗车店在近两周每天收入的数学期望(结构保留整数部分)

附:相关系数r=,r∈[0.30,0.75)时,相关性一般,r∈[0.75,1]时,相关性很强

参考数据: =28,(y1﹣)2≈123134,(xi﹣)(y1﹣)=68,≈1857.

正确答案

见解析

解析

(Ⅰ)求出平均数,比较即可;

(Ⅱ)求出r,根据r的范围判断即可;

(Ⅲ)设洗车店平均每天收入为X元,则X可能的取值为﹣200,400,700分别求出P(X=﹣200),P(X=400),P(X=700),求出E(X)的值即可.

【解答】解:(Ⅰ)石家庄市近一周空气污染指数的平均值为:

≈293.43,

北京市近一周空气污染指数的平均数为:

≈262.71,

∴石家庄市与北京市的空气都处于重度污染,

且石家庄市比北京市的污染更严重;

(Ⅱ)r=≈0.31,

∵r∈[0.30,0.75),

∴石家庄市空气污染指数y与日期x之间线性相关关系一般;

(Ⅲ)设洗车店平均每天收入为X元,

则X可能的取值为﹣200,400,700,

P(X=﹣200)==

P(X=400)==

P(X=700)=

则X的分布列为:

X

﹣200

400

700

P

故E(X)=﹣200×+400×+700×=≈164(元),

故小明的洗车店在近两周每天收入的数学期望是164元.

【点评】本题考查了平均数问题,考查相关系数的计算以及数学期望问题,是一道中档题.

1
题型:简答题
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分值: 12分

(12分)在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,已知侧按AA1⊥底面ABC,且四边形AA1B1B是边长为2的正方形,CA=CB,点M为棱AB的中点,点E,F分别在按AA1,A1B1上

(Ⅰ)若点F为棱A1B1的中点,证明:平面ABC1⊥平面CMF

(Ⅱ)若AE=,A1F=,且CA⊥CB,求直线AC1与平面CEF所成角的正弦值.

正确答案

见解析

解析

(Ⅰ)推导出AA1⊥AB,AB⊥FM,CM⊥AB,从而AB⊥平面CMF,由此能证明平面ABC1⊥平面CMF.

(Ⅱ)记线段A1B1的中点为N,连结MN,以M为原点,MC为x轴,MA为y轴,MN为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出直线AC1与平面CEF所成角的正弦值.

【解答】证明:(Ⅰ)∵AA1B1B是边长为2的正方形,∴AA1⊥AB,

又在正方形ABB1A1中,F,M分别是线段A1B1,AB的中点,

∴FM∥A1A,∴AB⊥FM,

在△ABC中,CA=CB,且点M是线段AB的中点,

∴CM⊥AB,

又CM∩FM=M,∴AB⊥平面CMF,

又AB⊂平面ABC1,∴平面ABC1⊥平面CMF.

(Ⅱ)在等腰△CAB中,由CA⊥CB,AB=2,知CA=CB=,且CM=1,

记线段A1B1的中点为N,连结MN,

由(Ⅰ)知MC、MA、MN两两互相垂直,

以M为原点,MC为x轴,MA为y轴,MN为z轴,建立空间直角坐标系,

则C(1,0,0),E(0,1,),F(0,,2),A(0,1,0),C1(1,0,2),

=(﹣1,1,),=(0,﹣),=(1,﹣1,2),

设平面CEF的一个法向量=(x,y,z),

,取z=2,得=(5,4,2),

设直线AC1与平面CEF所成角为θ,

则sinθ=|cos<>|===

∴直线AC1与平面CEF所成角的正弦值为

【点评】本题考查面面垂直的证明,考查线面角的正弦值的求法,考查线面角、空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想,是中档题.

1
题型:简答题
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分值: 12分

(12分)已知抛物线ω:y2=ax(a>0)上一点,P(t,2)到焦点F的距离为2t

(Ⅰ)求抛物线ω的方程

(Ⅱ)如图已知点D的坐标为(4,0),过抛物线ω的焦点F的直线交抛物线ω于M,N两点,若过D和N两点的直线交抛物线ω的准线于Q点,求证:直线MQ与x轴交于一定点.

正确答案

见解析

解析

(Ⅰ)根据抛物线的定义,可得a=4t,将P代入抛物线方程,求得at=4,代入即可求得a的值,求得抛物线ω的方程;

(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),设直线MN的方程为x=my+1,联立方程组,表示出直线ND的方程,与抛物线ω的准线方程构成方程组,解得Q的坐标,求出直线MQ的斜率,得到直线MQ的方程,求出交点坐标即可.

【解答】解:(Ⅰ)由抛物线的定义可知丨PF丨=t+=2t,则a=4t,

由点P(t,2)在抛物线上,则at=4,

∴a×=4,则a2=16,

由a>0,则a=4,

∴抛物线的方程y2=4x;

(Ⅱ)证明:设M(x1,y1),N(x2,y2),

设直线MN的方程为x=my+1

,整理得:y2﹣4my﹣4=0,

由韦达定理可知:y1•y2=﹣4,

依题意,直线ND与x轴不垂直,∴x2=4.

∴直线ND的方程可表示为,y=(x﹣4)①

∵抛物线ω的准线方程为,x=﹣1②

由①,②联立方程组可求得Q的坐标为(﹣1,﹣

∴Q的坐标可化为(﹣1,),

∴kMQ=

∴直线MQ的方程为y﹣y1=(x﹣x1),

令y=0,可得x=x1﹣=

∴直线MQ与x轴交于定点(,0).

【点评】本题考查抛物线的方程,考查直线与抛物线的位置关系,考查直线过定点,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

1
题型:简答题
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分值: 12分

(12分)设函数f(x)=2lnx+x2﹣2ax(a>0).

(Ⅰ)若函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为0,求实数a的值;

(Ⅱ)若x1,x2(x1<x2)是函数f(x)的两个极值点,且f(x1)﹣f(x2)>m恒成立,求实数m的取值范围.

正确答案

见解析

解析

(Ⅰ)求导数,分类讨论,确定函数的单调性,利用函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为0,求实数a的值;

(Ⅱ)f(x1)﹣f(x2)=(2lnx1+x12﹣2ax1)﹣(2lnx2+x22﹣2ax2)=﹣x12+2lnx12,令x12=t,则t>1,g(t)=﹣t﹣2lnt,x,求导,确定函数的单调性,求最值,即可求实数m的取值范围.

【解答】解:(Ⅰ)f′(x)=

0<a≤2,f′(x)≥0,f(x)在区间[1,2]上单调递增,∴f(x)min=f(1)=1﹣2a=0,∴a=

a>2,令f′(x)=0,则x1=,x2=

2<a<,x1=<1,x2=∈(1,2),

∴函数在(1,x1)内单调递减,在(x1,2)内单调递增,

∴f(x)min=f(x1)<f(1)=1﹣2a<0.

a≥,x1=,x2=≥2,

∴函数在(1,2)内单调递减,∴f(x)min=f(2)=2ln2+4﹣4a=0.

∴a=ln2+1<(舍去)

综上所述,a=

(Ⅱ)x1,x2是f′(x)=在(0,+∞)内的两个零点,是方程x2﹣ax+1=0的两个正根,

∴x1+x2=a>0,x1x2=1,△>0,∴a>2,∴x1>1

∴f(x1)﹣f(x2)=(2lnx1+x12﹣2ax1)﹣(2lnx2+x22﹣2ax2)=﹣x12+2lnx12,

令x12=t,则t>1,g(t)=﹣t﹣2lnt,

∴g′(t)=﹣<0,

∴g(x)在(1,+∞)上单调递减,

∴g(t)>g(1)=0,

∴m≤0.

【点评】本题考查导数知识的综合运用,考查函数的单调性与最值,正确构造函数,合理求导是关键.

1
题型:简答题
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分值: 10分

[选修4-4:坐标系与参数方程]

(10分)已知平面直角坐标系中,曲线C1的直角坐标方程为(x+1)2+(y﹣1)2=1,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρcos(θ+)=2

(Ⅰ)求曲线C1与曲线C2的参数方程

(Ⅱ)若点A,B分别在曲线C1与曲线C2上,求|AB|的最小值.

正确答案

见解析

解析

(Ⅰ)利用三种方程的转化方法,即可求曲线C1与曲线C2的参数方程

(Ⅱ)若点A,B分别在曲线C1与曲线C2上,求|AB|的最小值,即求出A到曲线C2距离的最小值.

【解答】解:(Ⅰ)曲线C1的直角坐标方程为(x+1)2+(y﹣1)2=1,参数方程为(α为参数);

曲线C2的极坐标方程为ρcos(θ+)=2,直角坐标方程为x﹣y﹣4=0,参数方程为(t为参数);

(Ⅱ)设A(﹣1+cosα,1+sinα),

A到曲线C2的距离d==

∴sin(α﹣45°)=﹣1时,|AB|的最小值为3﹣1.

【点评】本题考查三种方程的转化,考查点到直线距离公式的运用,考查学生的计算能力,属于中档题.

1
题型:简答题
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分值: 10分

[选修4-5;不等式选讲]

已知函数f(x)=|x﹣t|,t∈R

(Ⅰ)若t=1,解不等式f(x)+f(x+1)≤2

(Ⅱ)若t=2,a<0,求证:f(ax)﹣f(2a)≥af(x)

正确答案

见解析

解析

(I)由题意可得|x﹣1|+|x|≤2,对x讨论,去掉绝对值,解不等式,求并集即可得到所求解集;

(II)由题意可证f(ax)﹣af(x)≥f(2a),运用绝对值不等式的性质,求得左边的最小值,即可得证.

【解答】(I)解:由题意,得f(x)+f(x+1)=|x﹣1|+|x|,

因此只须解不等式|x﹣1|+|x|≤2,

当x≤0时,原不等式等价于﹣2x+1≤2,即﹣≤x≤0;

当0<x≤1时,原不等式等价于1≤2,即0<x≤1;

当x>1时,原不等式等价于2x﹣1≤2,即1<x≤

综上,原不等式的解集为{x|﹣≤x≤}.

(II)证明:由题意得f(ax)﹣af(x)=|ax﹣2|﹣a|x﹣2

=|ax﹣2|+|2a﹣ax|≥|ax﹣2+2a﹣ax

=|2a﹣2|=f(2a).

所以f(ax)﹣f(2a)≥af(x)成立.

【点评】本题考查绝对值不等式的解法,注意运用分类讨论的思想方法,考查不等式的证明,注意运用绝对值不等式的性质,考查运算能力和推理能力,属于中档题.

填空题 本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
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分值: 5分

某校高三年级的一次测验成绩的频率分布直方图如图所示,现要按如图所示的4个分数段进行分层抽样,抽取100人了解情况,已知70~80分数段抽取了30人,则全体高三年级学生的平均分数为  (以各组区间的中点值代表改组的取值)

正确答案

82

解析

先求出70~80分数段与90~100分数段的频率,再求平均分.

【解答】解:根据频率分布直方图知,

70~80分数段的频率为=0.3,

∴90~100分数段的频率为

1﹣(0.1+0.3+0.4)=0.2,

∴平均分为=0.1×65+0.3×75+0.4×85+0.2×95=82,

故答案为:82.

【点评】本题考查了利用频率分布直方图求平均数的应用问题,是基础题.

1
题型:填空题
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分值: 5分

若以椭圆=1的右顶点为圆心的圆与直线x+y+2=0相切,则该圆的标准方程是  

正确答案

(x﹣2)2+y2=4.

解析

求得椭圆的右顶点,利用点到直线的距离公式,即可圆的半径,即可求得圆的标准方程.

【解答】解:椭圆=1的右顶点(2,0),

则圆心(2,0),设圆心到直线x+y+2=0的距离为d,

则d==2,

∴该圆的标准方程的方程(x﹣2)2+y2=4,

故答案为:(x﹣2)2+y2=4.

【点评】求得椭圆的右顶点,利用点到直线的距离公式,属于基础题.

1
题型:填空题
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分值: 5分

设x,y满足约束条件,若目标函数z=kx+y的最大值为9,则实数k的值为  

正确答案

 ﹣5或2 

解析

作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合以及分类讨论的思想进行求解即可.

【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:

由z=kx+y得y=﹣kx+z,

则直线截距最大时,z最大,

∵目标函数z=kx+y的最大值为9,

∴y+kx=9,即y=﹣kx+9,

则目标函数过定点(0,9),

当k=0时,y=z,此时直线过点A时,直线的截距最大,

,即A(2,5),

此时最大值z=5不满足条件.

当k>0时,目标函数的斜率为﹣k<0,

平移直线y=﹣kx+z,则直线经过点A(2,5)时,截距最大,

此时z=9=2k+5,得2k=4,k=2,

当k<0时,目标函数的斜率为﹣k>0,

平移直线y=﹣kx+z,则直线经过点C时,截距最大,

,即C(﹣

此时z=9=﹣k+,得﹣3k=15,得k=﹣5,满足条件.

综上k=﹣5或k=2,

故答案为:﹣5或2

【点评】本题主要考查线性规划的应用,根据目标函数的几何意义,利用数形结合是解决本题的关键.注意本题要对k进行分类讨论.

1
题型:填空题
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分值: 5分

在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,c=,C=,点D在边AB上,且=0,则线段CD的最大值为  

正确答案

解析

根据||=||=得出a2+b2=3+ab,再利用基本不等式得出ab的范围,根据面积公式得出CD关于ab的表达式,从而得出CD的最值.

【解答】解: =abcos=

∵||=||=

=3,即a2+b2=3+ab,

又a2+b2≥2ab,∴3+ab≥2ab,∴ab≤3.

=0,∴CD⊥AB,

∴S==×CD×c,即ab=CD,

∴CD=ab≤

故答案为:

【点评】本题考查了平面向量的应用与数量积运算,面积公式及基本不等式,属于中档题.

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