理科数学 热门试卷

（Ⅰ）当n≥2时，由已知条件an=2﹣3Sn得到an﹣1=2﹣3Sn﹣1，将这两个式子相减，再结合数列{an}的前n项和Sn的定义易得数列{an}的通项公式

（Ⅱ）利用（Ⅰ）中求得的通项公式不难推出：bn=log2an=1﹣2n，所以利用裂项相消法来求数列{}的前n项和Tn．

【解答】解：（Ⅰ）当n≥2时，∵an=2﹣3Sn…①

∴an﹣1=2﹣3Sn﹣1…②

①﹣②得：an﹣an﹣1=﹣3（Sn﹣Sn﹣1）=﹣3an

∴4an=an﹣1；即=，

又a1=2﹣3S1=2﹣3a1；得：a1=，

∴数列{an}是以为首项，为公比的等比数列

∴an=×（）n﹣1=21﹣2n（n∈N*），即an=21﹣2n（n∈N*），

（Ⅱ）∵an=21﹣2n（n∈N*），bn=log2an，

∴bn=log2an=log221﹣2n=1﹣2n，

∴==（﹣）．

∴Tn=（1﹣+﹣+…+﹣），

=（1﹣），

=（n∈N*）．

【点评】本题主要考查数列通项公式和前n项和的求解，利用裂项相消求和法是解决本题的关键．

（Ⅰ）求出平均数，比较即可；

（Ⅱ）求出r，根据r的范围判断即可；

（Ⅲ）设洗车店平均每天收入为X元，则X可能的取值为﹣200，400，700分别求出P（X=﹣200），P（X=400），P（X=700），求出E（X）的值即可．

【解答】解：（Ⅰ）石家庄市近一周空气污染指数的平均值为：

≈293.43，

北京市近一周空气污染指数的平均数为：

≈262.71，

∴石家庄市与北京市的空气都处于重度污染，

且石家庄市比北京市的污染更严重；

（Ⅱ）r=≈≈≈0.31，

∵r∈[0.30，0.75），

∴石家庄市空气污染指数y与日期x之间线性相关关系一般；

（Ⅲ）设洗车店平均每天收入为X元，

则X可能的取值为﹣200，400，700，

P（X=﹣200）==，

P（X=400）==，

P（X=700）=，

则X的分布列为：

X

﹣200

400

700

P

故E（X）=﹣200×+400×+700×=≈164（元），

故小明的洗车店在近两周每天收入的数学期望是164元．

【点评】本题考查了平均数问题，考查相关系数的计算以及数学期望问题，是一道中档题．

（Ⅰ）推导出AA1⊥AB，AB⊥FM，CM⊥AB，从而AB⊥平面CMF，由此能证明平面ABC1⊥平面CMF．

（Ⅱ）记线段A1B1的中点为N，连结MN，以M为原点，MC为x轴，MA为y轴，MN为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AC1与平面CEF所成角的正弦值．

【解答】证明：（Ⅰ）∵AA1B1B是边长为2的正方形，∴AA1⊥AB，

又在正方形ABB1A1中，F，M分别是线段A1B1，AB的中点，

∴FM∥A1A，∴AB⊥FM，

在△ABC中，CA=CB，且点M是线段AB的中点，

∴CM⊥AB，

又CM∩FM=M，∴AB⊥平面CMF，

又AB⊂平面ABC1，∴平面ABC1⊥平面CMF．

（Ⅱ）在等腰△CAB中，由CA⊥CB，AB=2，知CA=CB=，且CM=1，

记线段A1B1的中点为N，连结MN，

由（Ⅰ）知MC、MA、MN两两互相垂直，

以M为原点，MC为x轴，MA为y轴，MN为z轴，建立空间直角坐标系，

则C（1，0，0），E（0，1，），F（0，，2），A（0，1，0），C1（1，0，2），

=（﹣1，1，），=（0，﹣，），=（1，﹣1，2），

设平面CEF的一个法向量=（x，y，z），

则，取z=2，得=（5，4，2），

设直线AC1与平面CEF所成角为θ，

则sinθ=|cos＜＞|===，

∴直线AC1与平面CEF所成角的正弦值为．

【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查线面角、空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．

（Ⅰ）根据抛物线的定义，可得a=4t，将P代入抛物线方程，求得at=4，代入即可求得a的值，求得抛物线ω的方程；

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线MN的方程为x=my+1，联立方程组，表示出直线ND的方程，与抛物线ω的准线方程构成方程组，解得Q的坐标，求出直线MQ的斜率，得到直线MQ的方程，求出交点坐标即可．

【解答】解：（Ⅰ）由抛物线的定义可知丨PF丨=t+=2t，则a=4t，

由点P（t，2）在抛物线上，则at=4，

∴a×=4，则a2=16，

由a＞0，则a=4，

∴抛物线的方程y2=4x；

（Ⅱ）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），

设直线MN的方程为x=my+1

，整理得：y2﹣4my﹣4=0，

由韦达定理可知：y1•y2=﹣4，

依题意，直线ND与x轴不垂直，∴x2=4．

∴直线ND的方程可表示为，y=（x﹣4）①

∵抛物线ω的准线方程为，x=﹣1②

由①，②联立方程组可求得Q的坐标为（﹣1，﹣）

∴Q的坐标可化为（﹣1，），

∴kMQ=，

∴直线MQ的方程为y﹣y1=（x﹣x1），

令y=0，可得x=x1﹣=，

∴直线MQ与x轴交于定点（，0）．

【点评】本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查直线过定点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

（Ⅰ）求导数，分类讨论，确定函数的单调性，利用函数f（x）在区间[1，2]上的最小值为0，求实数a的值；

（Ⅱ）f（x1）﹣f（x2）=（2lnx1+x12﹣2ax1）﹣（2lnx2+x22﹣2ax2）=﹣x12+2lnx12，令x12=t，则t＞1，g（t）=﹣t﹣2lnt，x，求导，确定函数的单调性，求最值，即可求实数m的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=，

0＜a≤2，f′（x）≥0，f（x）在区间[1，2]上单调递增，∴f（x）min=f（1）=1﹣2a=0，∴a=；

a＞2，令f′（x）=0，则x1=，x2=，

2＜a＜，x1=＜1，x2=∈（1，2），

∴函数在（1，x1）内单调递减，在（x1，2）内单调递增，

∴f（x）min=f（x1）＜f（1）=1﹣2a＜0．

a≥，x1=，x2=≥2，

∴函数在（1，2）内单调递减，∴f（x）min=f（2）=2ln2+4﹣4a=0．

∴a=ln2+1＜（舍去）

综上所述，a=；

（Ⅱ）x1，x2是f′（x）=在（0，+∞）内的两个零点，是方程x2﹣ax+1=0的两个正根，

∴x1+x2=a＞0，x1x2=1，△＞0，∴a＞2，∴x1＞1

∴f（x1）﹣f（x2）=（2lnx1+x12﹣2ax1）﹣（2lnx2+x22﹣2ax2）=﹣x12+2lnx12，

令x12=t，则t＞1，g（t）=﹣t﹣2lnt，

∴g′（t）=﹣＜0，

∴g（x）在（1，+∞）上单调递减，

∴g（t）＞g（1）=0，

∴m≤0．

【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与最值，正确构造函数，合理求导是关键．

（Ⅰ）利用三种方程的转化方法，即可求曲线C1与曲线C2的参数方程

（Ⅱ）若点A，B分别在曲线C1与曲线C2上，求|AB|的最小值，即求出A到曲线C2距离的最小值．

【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的直角坐标方程为（x+1）2+（y﹣1）2=1，参数方程为（α为参数）；

曲线C2的极坐标方程为ρcos（θ+）=2，直角坐标方程为x﹣y﹣4=0，参数方程为（t为参数）；

（Ⅱ）设A（﹣1+cosα，1+sinα），

A到曲线C2的距离d==，

∴sin（α﹣45°）=﹣1时，|AB|的最小值为3﹣1．

【点评】本题考查三种方程的转化，考查点到直线距离公式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．