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1.已知集合,
,则
= ( )
正确答案
解析
由A中不等式变形得:(x-1)(x-3)<0,解得:1<x<3,即A=(1,3),由B中y=x2≥0,得到B=[0,+∞),则A∩B=(1,3)=A,故选:C.
考查方向
解题思路
求出A中不等式的解集确定出A,求出B中y的范围确定出B,找出两集合的交集即可
易错点
掌握交集的定义
5.( )
正确答案
解析
由积分运算法则,
得,所以选A
考查方向
解题思路
由定积分运算公式,求出函数的一个原函数,利用微积分基本定理可求得所求积分的值。
易错点
定积分计算公式和微积分基本定理
2. 函数的定义域为 ( )
正确答案
解析
根据题意知,,解得
,所以定义域为
所以选A
考查方向
解题思路
从根式函数入手,根据负数不能开偶次方根及分母不为0求解结果,然后取交集
易错点
分式函数即分母不能为零
( )
正确答案
解析
命题的否定是:∀n∈N,n2≤2n所以选C
考查方向
解题思路
根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论
易错点
命题的否定掌握不好
4.已知,
,则( )
正确答案
解析
,由对数的运算性质得到b<0,c>1,则答案可求
考查方向
解题思路
利用指数式的运算性质得到0<a<1,由对数的运算性质得到b<0,c>1,则答案可求
易错点
在涉及比较两个数的大小关系时,有时借助于0、1
6.设都是不等于1的正数,则“
”是“
”的( )
正确答案
解析
a、b都是不等于1的正数,,
,即
,所以可以求出a>b>1或1>a>b>0或b>1,0<a<1。根据充分必要条件定义得出:“3a>3b>3”是“loga3<logb3”的充分条不必要件
考查方向
解题思路
根据对数函数的性质求解,再利用充分必要条件的定义判断即可
易错点
对数函数的单调性,充分必要条件的定义
7.设,则函数
的零点位于区间( )
正确答案
解析
解:∵f(x)=ex+x-4,∴f(1)<0,f(2)>0,故函数f(x)的零点位于区间(1,2)内,故选C
考查方向
解题思路
根据连续函数f(x)满足 f(1)<0,f(2)>0,由此可得函数f(x)的零点所在的区间
易错点
判断函数的零点所在的区间的方法
8.若函数的值域为
,则
与
的关系是( )
正确答案
解析
:∵|x+1|≥0,函数f(x)=a|x+1|(a>0,a≠1)的值域为[1,+∞),∴a>1
由于函数f(x)=a|x+1|在(-1,+∞)上是增函数,且它的图象关于直线x=-1对称,可得函数在(-∞,-1)上是减函数.再由f(1)=f(-3),可得 f(-4)>f(1),所以选A
考查方向
解题思路
由题意可得a>1,再根据函数f(x)=a|x+1|在(-1,+∞)上是增函数,且它的图象关于直线x=-1对称,可得 f(-4)与f(1)的大小关系.
易错点
函数的单调性的应用
9.若函数在
上是单调递增函数,则
的取值范围是( )
正确答案
解析
由题意可得,另
,要使函数
在
是增函数。则
在
大于等于0恒成立,
,然后分情况讨论,可得到
的取值范围是为
,所以选D
考查方向
解题思路
求出函数f(x)的导函数,由导函数在大于等于0恒成立的答案
易错点
导函数在求解含有参数问题中的应用
10.函数的大致图像是( )
正确答案
解析
.函数y=x+sinx,x∈[-π,π]是奇函数∴B、C的图象不满足奇函数的定义,函数y=x是增函数,y=sinx在x∈[-π,π]是增函数,∴函数y=x+sinx,x∈[-π,π]是增函数,∴D不正确,A正确
考查方向
解题思路
利用函数的奇偶性,函数的单调性,即可得到选项
易错点
关键是确定函数的单调性与奇偶性
11.设定义在上的函数
,若关于
的方程
有5个不同的实数解,则实数
的取值范围是 ( )
正确答案
解析
作出f(x)的图象如图:设t=f(x),则方程等价为2t2-(2a+3)t+3a=0,由图象可知,若关于x的方程2f2(x)-(2a+3)f(x)+3a=0有五个不同的实数解,∴即要求对应于f(x)等于某个常数有3个不同实数解,∴故先根据题意作出f(x)的简图:由图可知,只有当f(x)=a时,它有三个根.所以有:1<a<2 ①.再根据2f2(x)-(2a+3)f(x)+3a=0有两个不等实根,则判别式△=(2a+3)2-4×2×3a>0,,故
或
,所以选D
考查方向
解题思路
作出f(x)的图象,利用换元法结合一元二次函数的图象和性质即可
易错点
一元二次函数的图象和性质掌握不牢固
12.已知函数的图像的对称中心
,记函数
的导函数为
,
的导函数为
,则有
,若
,则
的值为( )
正确答案
解析
:①由题意f(x)=x3-3x2,则f′(x)=3x2-6x, f″(x)=6x-6,由f″(x0)=0得6x0-6=1解得x0=1,而f(1)=-2,故函数f(x)=x3-3x2关于点(1,-2)对称,∴f(x)+f(2-x)=-4,,所以选A
考查方向
解题思路
由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点(1,-2)对称,即f(x)+f(2-x)=-4,而要求的式子可用倒序相加法求解,共有2014对-4和一个f(1)=-2,可得答案
易错点
利用条件求出函数的对称中心是解决本题的关键
14.由三条曲线所围成的图形的面积是 .
正确答案
解析
由三条曲线,x轴及直线
所围成的图形如下图
面积是:,所以答案为
考查方向
解题思路
由图象得到围成图形的面积利用定积分表示出来,然后计算定积分即可
易错点
利用定积分求封闭图形的面积
15.直线过原点与曲线相切于点P,那么P点的坐标为
正确答案
解析
设切点P,
的导数为
。
由题意可得,,解得
,即P点的坐标为
考查方向
解题思路
求得函数的导数,可得切线的斜率,再由切线过原点,运用直线的斜率公式,解方程即可得到所求P的坐标。
易错点
求切线的斜率,考查导数的几何意义和直线的斜率公式
16.已知函数的定义域为
,
为
的导函数,且满足
,则不等式
的解集是
正确答案
解析
设g(x)=xf(x),则g'(x)=[xf(x)]'=x'f(x)+xf'(x)=xf′(x)+f(x)<0,∴函数g(x)在(0,+∞)上是减函数,∵f(x+1)>(x-1)f(x2-1),x∈(0,+∞),
∴(x+1)f(x+1)>(x+1)(x-1)f(x2-1),∴(x+1)f(x+1)>(x2-1)f(x2-1),∴g(x+1)>g(x2-1),∴x+1<x2-1,解得x>2.故答案为:(2,+∞).
考查方向
解题思路
由题意构造函数g(x)=xf (x),再由导函数的符号判断出函数g(x)的单调性,不等式f(x+1)>(x-1)f(x2-1),构造为g(x+1)>g(x2-1),问题得以解决
易错点
由条件构造函数和用导函数的符号判断函数的单调性
17.设命题在区间
上是减函数;命题
:关于
的不等式
在
上有解。若
为真,求实数
的取值范围
正确答案
详见解析
解析
若命题p: 在区间(-4,+∞)上是减函数为真命题,则m≤-4
若命题q:关于x的不等式在(-∞,+∞)上有解
则△=(m+1)2-(m+7)≥0, 即m2+m-6≥0,解得:m≤-3,或m≥2,若(¬p)∧q为真,则p假q真,即m∈(-4,-3]∪[2,+∞).
考查方向
解题思路
若(¬p)∧q为真,则p假q真,进而得到答案
易错点
二次方程根的个数判断
13.函数f(x)=(m2﹣m﹣1)xm是幂函数,且在x∈(0,+∞)上为减函数,则实数m的值是 .
正确答案
-1
解析
:∵f(x)=(m2-m-1)xm是幂函数,∴m2-m-1=1,即m2-m-2=0,解得m=-1或m=2.∵幂函数f(x)=(m2-m-1)xm在x∈(0,+∞)上单调递减,∴m<0,即m=-1,故答案为-1.
考查方向
解题思路
根据幂函数的定义求出m,利用幂函数的性质即可确定m的值
易错点
幂函数的定义和性质
设,其中
,曲线
在点
处的切线与
轴相交于点
.
18.确定的值;
19.求函数的单调区间与极值.
正确答案
0.5
解析
因f(x)=a(x-5)2+6ln x,
故f′(x)=2a(x-5)+.令x=1,得f(1)=16a,f′(1)=6-8a,
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-16a=(6-8a)(x-1),
由点(0,6)在切线上可得6-16a=8a-6,故a=.
考查方向
解题思路
先由所给函数的表达式,求导数fˊ(x),再根据导数的几何意义求出切线的斜率,最后由曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)列出方程求a的值即可
易错点
利用导数研究曲线上某点切线方程
正确答案
详见解析
解析
由(1)知,f(x)=(x-5)2+6ln x(x>0),f′(x)=x-5+=,
令f′(x)=0,解得x1=2, x2=3.
当0<x<2或x>3时,f′(x)>0,故f(x)在(0,2),(3,+∞)上为增函数;当2<x<3时,f′(x)<0,故f(x)在(2,3)上为减函数.
由此可知,f(x)在x=2处取得极大值f(2)=+6ln 2,在x=3处取得极小值f(3)=2+6ln 3.
考查方向
解题思路
由(1)求出的原函数及其导函数,求出导函数的零点,把函数的定义域分段,判断导函数在各段内的符号,从而得到原函数的单调区间,根据在各区间内的单调性求出极值点,把极值点的横坐标代入函数解析式求得函数的极值
易错点
运算求解能力,考查分类讨论思想、化归与转化思想
函数图像过点(8,2)和(1,-1).
22.求函数f(x)的解析式;
23.令g(x)=2f(x)-f(x-1),求g(x)的最小值及取得最小值时x的值.
正确答案
详见解析
解析
由得,
,解得
,故函数解析式为
考查方向
解题思路
根据题意,将点的坐标代入即可
易错点
分离常数利用基本不等式求真数的范围
正确答案
详见解析
解析
,其中
,因为
当且仅当即
时成立,而函数在
上单调递增,所以当
时,函数g(X)取得最小值1
考查方向
解题思路
先求出g(x)的表达式,观察到函数是复合函数,故应该先研究真数的范围再利用对数函数的单调性求出最值
易错点
分离常数利用基本不等式求真数的范围
已知二次函数
20.若函数的最小值为
,求
的解析式,并写出单调区间。
21.在(1)的条件下,在区间
上恒成立,试求实数
的取值范围
正确答案
f(x)=x2+2x+1
单调增区间为[-1,+∞)
解析
)∵函数f(x)的最小值为f(-1)=0,
∴f(-1)=a-b+1=0,且,∴a=1,b=2.
∴f(x)=x2+2x+1,
由函数的图象是开口朝上,且以直线x=-1为对称轴的抛物线,故单调减区间为(-∞,-1],单调增区间为[-1,+∞)
考查方向
解题思路
根据二次函数的对称轴和解析式,求得函数的单调区间
易错点
对二次函数图象的性质掌握不牢固
正确答案
(-∞,1).
解析
f(x)>x+k在区间[-3,-1]上恒成立,
转化为x2+x+1>k在区间[-3,-1]上恒成立.
设g(x)=x2+x+1,x∈[-3,-1],
则g(x)在[-3,-1]上递减.
∴g(x)min=g(-1)=1.
∴k<1,
即k的取值范围为(-∞,1).
考查方向
解题思路
根据函数的单调区间求不等式,进而求出参数的取值范围
易错点
找不到函数的最值,函数与不等式联系不透彻
如图,抛物线y=4-x2与直线y=3x的两个交点为A,B.点P在抛物线的弧上从A向B运动.
24.求使△PAB的面积为最大时点P的坐标(a,b);
25.证明:由抛物线与直线AB围成的图形被直线x=a分为面积相等的两部分.
正确答案
详见解析
解析
解方程组得或
所以抛物线y=4-x2与直线y=3x的两交点坐标为A(1,3),
B(-4,-12).P点的横坐标的范围是:-4<a<1.
点P (a,b)到直线y=3x的距离d=.
因为点P在抛物线上,所以b=4-a2.
∴d=(4-3a-a2)=-.+
当a=-时,d最大,这时b=4-=.
所以点P坐标为时,△PAB的面积最大.
(另解:令y′=-2x=3,得xP=-,
代入y=4-x2,得yP=,∴P)
考查方向
解题思路
设点P的坐标为(a,b)由(Ⅰ)可得A,B,要使△PAB的面积最大即使点P到直线3x-y=0的距离最大,故过点P的切线与直线3x-y=0平行,从而可求
易错点
函数图象的交点,面积问题
正确答案
详见解析
解析
设上述抛物线与直线AB所围成的图形的面积为S,位于直线x=-的右侧的面积为S1.
S=∫-41(4-x2-3x)dx=,S1=∫-3/21(4-x2-3x)dx=,
∴S=2S1,即直线x=-平分S,原命题得证
考查方向
解题思路
距离相等设为d,等底等高,得出面积相等
易错点
函数图象的交点,面积问题
已知函数
26.讨论函数在定义域内的极值点的个数
27.若函数在
处取得极值,且对任意的
,
恒成立,求实数
的取值范围
28.当时,求证
正确答案
详见解析
解析
因为。所以
当时,
在
上恒成立,函数
在
单调递减
在
上没有极值点;
当时,
得
,
得到
,
在
上递减,在
上递增,即
在
处有极小值
∴当a≤0时f(x)在(0,+∞)上没有极值点,当a>0时,f(x)在(0,+∞)上有一个极值点
考查方向
解题思路
求导然后确定f(x)在定义域的单调性与极值,可求得答案
易错点
综合分析问题与解决问题能力
正确答案
详见解析
解析
∵函数f(x)在x=1处取得极值,∴a=1,
令,则
)
∴g(x)在(0,e2]上递减,在[e2,+∞)上递增
所以,即
考查方向
解题思路
函数f(X)在x=1处可取得极值,构造函数,然后求出函数的最小值,进而求出实数b的取值范围。
易错点
综合分析问题与解决问题能力
正确答案
详见解析
解析
令,则只要证明
在
上单调递增,
又,显然函数
在
上单调递增。
即
,所以
在
上单调递增。
即
所以时,有
考查方向
解题思路
求导然后,证明单调递增。利用函数和不等式的关系证明不等式成立
易错点
综合分析问题与解决问题能力