理科数学 大庆市2017年高三上学期期中考试
精品
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单选题 本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

7.已知实数满足,其中,则的最小值是(     )

A5

B3

C6

D2

正确答案

C

解析

,所以不等式组对应的平面区域如图,所以z=2|x-1|+|y|=2x+y-2,即y=-2x+2+z,其过区域内的点C(1,3)时z最小,所以z的最小值为2+3-2=3;故选B.

考查方向

简单线性规划.

解题思路

根据函数的积分公式求出a的值,然后作出不等式组对应的平面区域,根据直线斜率的公式进行求解即可

易错点

积分公式先求出a的值

1
题型: 单选题
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分值: 5分

9.等差数列的公差为,关于的不等式的解集是,则使得数列的前项和大于零的最大的正整数的值是(     )

A11

B12

C13

D不能确定

正确答案

A

解析

关于的不等式的解集是 

化为∴a11=a1+10d>0,a12=a1+11d<0,a11=a1+10d>0,a12=a1+11d<0,故使数列{an}的前n项和Sn最大的正整数n的值是11。

考查方向

等差数列的前n项和;等差数列的通项公式.

解题思路

根据根与系数的关系求出首项和公差的关系,再利用通项公式求出

易错点

一元二次方程的根与系数的关系

1
题型: 单选题
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分值: 5分

1.已知集合,则(     )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

集合,集合,所以,所以选A

考查方向

解分式不等式,对数函数定义域

解题思路

先分别求出集合A和B,由此利用交集的定义能求出结果

易错点

解题时要认真审题,注意交集定义的合理运用

1
题型: 单选题
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分值: 5分

2.下列函数既是偶函数又在上单调递减的函数是(     )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

对于A 是偶函数,但是在(0,+∞)上是增函数;对于B是非奇非偶的函数;
对于C,是奇函数;对于D是偶函数,并且在(0,+∞)上单调递减的函数;故选D.

考查方向

函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明.

解题思路

利用奇偶函数的定义,计划基本初等函数的单调性进行选择即可

易错点

利用定义分别分析

1
题型: 单选题
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分值: 5分

3.已知=(     )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

 ,可得

, ,所以选D

考查方向

三角函数的化简求值

解题思路

由已知及二倍角的正弦函数公式,利用同角三角函数基本关系式即可计算得解

易错点

.同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用

1
题型: 单选题
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分值: 5分

4.若复数满足 (其中为虚数单位),则复数在复平面内对应的点在(     )

A第一象限

B第二象限

C第三象限

D第四象限

正确答案

D

解析

设z=a+bi,∵复数z满足z(2+3i)=1+i,∴(a+bi)(2+3i)=(2a-3b)+(3a+2b)i=1+i

,解得,所以在第四象限,选D

考查方向

复数代数形式的乘除运算.

解题思路

设z=a+bi,由复数z满足z(2+3i)=1+I,对应系数求解

易错点

解题时要认真审题,注意复数的代数形式的运算法则及几何意义的合理运用

1
题型: 单选题
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分值: 5分

5.下列说法错误的是(     )

A已知两个平面,若两条异面直线满足,则

B已知,则恒成立的必要不充分条件

C是两个命题,若是假命题,则均为真命题

D命题使得均有

正确答案

B

解析

已知两个平面α,β,若两条异面直线m,n满足m⊂α,n⊂β且m∥β,n∥α,则α∥β,故A正确; “|x-2|+|x|>a”⇔“a<2”,故“a<1”是“|x-2|+|x|>a”恒成立的充分不必要条件,故B错误;设p,q是两个命题,若¬(p∧q)是假命题,则p∧q为真命题,则p,q均为真命题,故C正确;命题p:“∃x∈R,使得x2+x+1<0”,则¬p:“∀x∈R,均有x2+x+1≥0”,故D正确;
故选:B.

考查方向

命题的真假判断与应用.

解题思路

判断两个平面的位置关系,可判断A;根据充要条件的定义,可判断B;根据复合命题真假判断的真值表,可判断C;写出原命题的否定,可判断D

易错点

逻辑关系混乱

1
题型: 单选题
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分值: 5分

6.设函数,若,且,则的最小值是(     )

A12

B18

C20

D16

正确答案

A

解析

;∵f(x)=|lgx|,0<a<b,f(a)=f(b),∴|lgb|=|lga|,而|lgb|=lgb,|lga|=-lga,
∴lgb=-lga,即lgb+lga=0,∴ab=1,∴z=16a2+4a+b2+b

,所以最小值为12,故选A

考查方向

对数函数的图象与性质.

解题思路

由f(x)=|lgx|,0<a<b,f(a)=f(b),可得到;lgb=-lga>0,于是有ab=1,利用基本不等式即可求2a+b的最小值

易错点

得到lgb+lga=0是解决问题的关键

1
题型: 单选题
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分值: 5分

8.已知定义在R上的函数为偶函数,且满足,若数列的前项和满足(     )

A1

B2

C0

D4

正确答案

B

解析

由2Sn=an+1,得2Sn-1=an(n≥2),∴2an=an+1-an,得an+1=3an(n≥2),又由2Sn=an+1

,得.,由偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2),可得函数f(x)的周期为2,∴f(a5)=f(27)=f(-1)=1;f(a6)=f(81)=f(1)=f(-1)=1,
∴f(a5)+f(a6)=1+1=2.故选:B.

考查方向

数列递推式;函数奇偶性的性质.

解题思路

由已知数列递推式求得a5、a6的值,再结合偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2),f(-1)=1求得f(a5)+f(a6

易错点

数列递推式

1
题型: 单选题
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分值: 5分

10.已知某四棱锥的三视图如图所示,则该几何体的体积为(     )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

由已知中三视图可得:该四棱锥的体积,所以选C

考查方向

棱柱、棱锥、棱台的体积;由三视图求面积、体积

解题思路

由已知中棱锥的三视图,求出关键数据,代入棱锥体积公式,可得答案

易错点

由三视图判断几何体的形状

1
题型: 单选题
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分值: 5分

11.对于函数,若存在常数,使得取定义域内的每一个的值,都有,则称为“和谐函数”,给出下列函数①  ②  ③   ④,其中所有“和谐函数”的序号是(     )

A①③

B②③

C①②④

D①③④

正确答案

D

解析

于函数f(x),若存在常数s,t,使得x取定义域内的每一个值,都有f(x)=-f(2s-x)+t,知,函数f(x)的图象关于(s,t)对称.所以①③④正确,所以选D

考查方向

函数解析式的求解及常用方法.

解题思路

判断对于函数f(x)为“和谐函数”的主要标准是:若存在常数s,t,使函数f(x)的图象关于(s,t)对称,则称f(x)为“和谐函数”,由此逐一判断四个函数得答案

易错点

对新定义的理解和应用

1
题型: 单选题
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分值: 5分

12.已知,存在,使得,则(     )

A50

B70

C110

D120

正确答案

B

解析

 等式两边同时除以,得,同时除以cos2x得,

化简整理可得(16-π2)tan2x-32tanx+(16-π2)=0,所以a=16,b=2,c=32,即2a+3b+c=32+6+32=70.故选:B.

考查方向

三角函数的化简求值.

解题思路

再将等式两边同时除以sin2x+cos2x,分子分母同时除以cos2x得到关于tanx的方程,根据演绎推理得到所求

易错点

简单的演绎推理

填空题 本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
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分值: 5分

13. 已知四面体则四面体外接球的表面积是____________

正确答案

解析

∵△ABC是边长为3的等边三角形, ,∵PA⊥平面ABC,PA=4

∴四面体P-ABC外接球的表面积为4π•7=28π

考查方向

球的体积和表面积.

解题思路

由已知结合三棱锥和正三棱柱的几何特征,可得此三棱锥外接球,即为以△ABC为底面以PA为高的正三棱柱的外接球,分别求出棱锥底面半径r,和球心距d,可得球的半径R,即可求出四面体P-ABC外接球的表面积

易错点

熟练掌握球的半径R公式

1
题型:填空题
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分值: 5分

15.在公差不为0的等差数列中,,记的最小值为,若数列满足是1与的等比中项,若对任意恒成立,则的取值范围是__________

正确答案

解析

在等差数列{an}中,由a1+a5=ap+aq得,p+q=6,

当且仅当q=3p时取得最小值,此时(不符题意,舍去),应取p=2,q=4,此时

取得最小值是,所以,又(2bn+1-bnbn+1-1)(2bn+1+bnbn+1+1)=0.

因为数列{bn}满足bn>0,∴2bn+1-bnbn+1-1=0,即2bn+1-bnbn+1=1,……,由此可以归纳出,,所以答案为(-∞,1].

考查方向

等比数列的通项公式;等差数列的通项公式

解题思路

先求出最小值m,然后求出b1和通项公式bn

易错点

等差数列与数列求和

1
题型:填空题
|
分值: 5分

14.已知函数的定义域为的导函数,且满足,则不等式的解集是_____________

正确答案

解析

,则 所以

∴F(x)为定义域上的增函数,可得x>1.

 ,解得1<x<2。

考查方向

利用导数研究函数的单调性;导数的运算

解题思路

求导,利用导数判断函数的单调性,利用单调性求不等式的解集

易错点

函数的单调性和导数的关系

1
题型:填空题
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分值: 5分

16.在中,,点在平面内,且,则的最大值是______________

正确答案

14

解析

:△ABC中,AB=3,AC=5,∴BC2=AB2+AC2-2AB•AC•cosA,

,点P(x,y),则

∴点P在圆x2+y2=4上;取BC的中点D,则D(0,0),令AD的中点为M,

,解得,所以最大值是14

考查方向

平面向量数量积的运算.

解题思路

利用余弦定理求出BC的值,再以BC所在的直线为x轴,线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系,设出点P的坐标|,从而求出它的最大值

易错点

余弦定理以及平面向量的数量积与点P的轨迹问题

简答题(综合题) 本大题共70分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
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分值: 12分

已知数列满足其前7项和为42,设数列是等比数列,数列的前项和为满足

19.求数列的通项公式;

20.令,求证:数列的前项和.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

数列为等差数列又,前7项和42,则数列的首项,公差 ……(3分)

数列是等比数列,

……(6分)

考查方向

数列的求和;数列递推式.

解题思路

先利用等差数列和前n项和求出an,然后利用等比数列的通项公式求出

易错点

等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、数列单调性

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

数列是单调递增数列,

考查方向

数列的求和;数列递推式.

解题思路

利用“裂项求和”方法与数列的单调性即可得出

易错点

“裂项求和”方法

1
题型:简答题
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分值: 12分

定义在实数集上的函数为常数),为常数),若函数处的切线斜率为3,的一个极值点

21.求的值;

22.若存在使得成立,求实数的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

考查方向

利用导数研究函数的极值.

解题思路

分别求出f(x),g(x)的导数,分别求出a,b的值即可

易错点

函数的单调性、最值问题

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

若存在使得成立,即存在

所以当 时,;当时,;当时,

存在使得成立,则,又上可知的最大值在  取得,而

考查方向

利用导数研究函数的极值

解题思路

令h(x)=g(x)-f(x),要使f(x)≥g(x)恒成立,即h(x)max≤0,转化为求最值问题

易错点

函数的最大值或最小值问题

1
题型:简答题
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分值: 10分

如图,已知四边形均为直角梯形,,且,平面⊥平面

17.证明:平面

18.求二面角的余弦值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

由平面ABCD⊥平面BCEG,平面ABCD∩平面BCEG=BC,CE⊥BC,CE⊂平面BCEG,

∴EC⊥平面ABCD.…(2分)根据题意建立如图所示的空间直角坐标系,

可得B(0,2,0),D(2,0,0),E(0,0,2),A(2,1,0)G(0,2,1)….(2分)

(Ⅰ)设平面BDE的法向量为  ,即

∴平面BDE的一个法向量为(4分)

 

∵AG⊄平面BDE,∴AG∥平面BDE.….(5分)

考查方向

二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定.

解题思路

根据题意以C为原点,CD,CB,CE分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能证明AG∥平面BDE.

易错点

线面平行的证明

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

设平面BDG的法向量为,二面角的平面角为θ….因为

∴平面BAG的一个法向量为故二面角的余弦值….(10分)

考查方向

二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定

解题思路

求出平面BDG的一个法向量和平面BDE的一个法向量,利用向量法能求出二面角E-BD-G的余弦值

易错点

二面角的余弦值的求法

1
题型:简答题
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分值: 12分

中,内角的对边分别为且面积为满足

23.求的值;

24.若,求的值

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

考查方向

正弦定理;余弦定理.

解题思路

由已知利用三角形面积公式,同角三角函数基本关系式可求tanA的值进而求出cosA的值

易错点

同角三角函数基本关系式

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

由正弦定理可知,

由正弦定理

考查方向

正弦定理;余弦定理.

解题思路

由已知及正弦定理可求a,c的值,利用三角形内角和定理,两角和的正弦函数公式求得sinA,sinC,sinB的值,由正弦定理即可求得b的值

易错点

正弦函数公式在解三角形中的应用

1
题型:简答题
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分值: 12分

已知向量,函数,将的图像向左平移个单位长度后得到的图像且在区间内的最大值为

25.求的值及的最小正周期;

26.设的内角的对边分别为,若,求边上的高的最大值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

在区间内的最大值为 

考查方向

平面向量数量积的运算;三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象.

解题思路

利用两个向量数量积公式和辅助角公式,根据正弦函数的值域的求法可以得到t的值

易错点

考查三角函数中的恒等变换应用

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

由余弦定理当且仅当时等号成立,设BC边上的高为

当且仅当时等号成立,此时三角形为等边三角形

考查方向

平面向量数量积的运算;三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象

解题思路

结合正弦定理和余弦定理求BC边上的高的最大值

易错点

三角函数的诱导公式的应用

1
题型:简答题
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分值: 12分

已知函数

27.求上的最小值;

28.若关于的不等式有且只有三个整数解,求实数的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

,令的递增区间为

的递减区间为,.........2分

,则

时,上为增函数,的最小值为

时,上为增函数,在上为减函数,又

∴若的最小值为,...4分

的最小值为

综上,当时,的最小值为;当的最小值为.......................................................6分

考查方向

利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性

解题思路

求出函数的导数,通过讨论m的范围,求出函数的单调区间,从而求出函数f(x)在闭区间上的最小值即可

易错点

函数的单调性、最值问题

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

由(1)知,的递增区间为,递减区间为

且在,又,则.又.

时,由不等式,而解集为,整数解有无数多个,不合题意;..................8分

时,由不等式,解集为

整数解有无数多个,不合题意;...........................10分

时,由不等式

解集为无整数解,

若不等式有且只有三个整数解,

所以,三个正整数为1,2,3,

综上,实数的取值范围是....................................12分

考查方向

利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.

解题思路

根据f(x)的单调性,通过讨论n的符号,解关于f(x)的不等式结合不等式解的个数,求出n的范围即可

易错点

导数的应用以及分类讨论思想

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