理科数学 黄冈市2017年高三第一次模拟考试
精品
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单选题 本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

1.设复数,其中i是虚数单位,则的模为(  )

A

B

C

D1

正确答案

D

解析

的模为1.

故选D.

考查方向

本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数模的求法,是基础题.

解题思路

直接把z1,z2代入,再利用复数代数形式的乘除运算化简,根据复数求模公式计算即可得答案.

易错点

1.深刻理解复数、实数、虚数、纯虚数、模、辐角、辐角主值、共轭复数的概念和得数的几何表示——复数z=a+bi(a,b∈R)与复平面内的点(a、b)及向量 是一一对应的,在对概念的理解时要善于利用数形结合的思想,如纯虚数与虚轴上的点对应,实数与实轴上的点对应,复数的模表示复数对应的点到原点的距离。2.要善于掌握化虚为实的转化方法,即设复数z=a+bi(a,b∈R),但有时给许多问题的求解带来不必要的运算困难,而若把握复数的整体性质运用整体运算的思想方法,则能事半功倍,同时要注意复数几何意义的应用。

1
题型: 单选题
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分值: 5分

3.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题:“今有堩厚十尺,两鼠对穿,初日各一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问几何日相逢?”现有程序框图描述,如图所示,则输出结果(  )

A4

B5

C2

D3

正确答案

A

解析

解:模拟执行程序,可得

,

不满足条件,执行循环体,

不满足条件,执行循环体,

不满足条件,执行循环体,

满足条件,退出循环,输出n的值为4.

故选:A.

考查方向

本题主要考查了循环结构的程序框图的应用,模拟执行程序正确写出每次循环得到的a,A,S的值是解题的关键,属于基础题.

解题思路

模拟执行程序,依次写出每次循环得到的a,A,S的值,当时,满足条件,退出循环,输出n的值为4,从而得解.

易错点

循环条件弄错,多计一次或者少计一次而得到错误结果.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

5.设实数满足,则的取值范围是(  )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

由约束条件作出可行域如图,

A(2,0),

联立,解得B(2,6).

的几何意义为可行域内的动点与定点(﹣3,1)连线的斜率.

的取值范围是

故选B.

考查方向

本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.

解题思路

由约束条件作出可行域,利用的几何意义,即可行域内的动点与定点(﹣3,1)连线的斜率得答案.

易错点

正确理解目标函数的几何意义是关键.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

7.已知的外接圆的圆心为O,半径为2,且,则向量在向量方向上的投影为(  )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解:△ABC的外接圆的圆心为O,半径为2,且++=,∴=

∴OBAC为平行四边形.

∵△ABC的外接圆的圆心为O,半径为2,得||=||=||,

∴四边形OBAC是边长为2的菱形,且∠ABO=∠ACO=60°,

因此,∠ACB=∠ACO=30°,

∴向量方向上的投影为:||•cos∠ACB=2cos30°=

故选B.

考查方向

本题给出三角形外接圆满足的向量等式,求向量的投影,着重考查了向量的加法法则、向量数量积的运算性质和向量在几何中的应用等知识,属于中档题.

解题思路

由题意可得四边形OBAC是边长为2的菱形,且∠ABO=∠ACO=60°,∠ACB=∠ACO=30°,可得向量方向上的投影为:||•cos∠ACB,计算求的结果.

易错点

基向量方法解决平面几何问题选择已知向量或基向量的原则:(1)不共线;(2)基向量的模,夹角最好是要确定的;(3)尽量使基向量和所涉及的向量共线或构成三角形或构成平行四边形.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

9.已知函数的图象关于直线对称,则(  )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

y=sin(πx+φ)﹣2cos(πx+φ)=sin(πx+φ﹣α),其中sinα=,cosα=

∵函数的图象关于直线x=1对称,

∴π+φ﹣α=+kπ,

即φ=α﹣+kπ,

则sin2φ=sin2(α﹣+kπ)=sin(2α﹣π+2kπ)=sin(2α﹣π)=﹣sin2α=﹣2sinαcosα

=﹣2××=﹣

故选:D.

考查方向

本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质,熟练掌握正弦型函数的图象和性质,是解答的关键.

解题思路

利用辅助角公式结合三角函数的对称性,结合二倍角公式进行求解即可.

易错点

函数表达式中参数的取值,往往是确定函数图象性质的重要因素,因此,在解答问题时,必须先考虑参数对函数性质的影响,可以采用把三角函数的最值问题转化为二次函数的最值问题进行求解,可以采用逆向思维和综合运用正弦型函数的性质进行相关类问题的解答.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

10.已知函数是定义在上的偶函数,为奇函数,,当时,,则在区间内满足方程的实数为(  )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

∵f(x+1)为奇函数,即f(x+1)=﹣f(﹣x+1),即f(x)=﹣f(2﹣x).

当x∈(1,2)时,2﹣x∈(0,1),∴f(x)=﹣f(2﹣x)=﹣log2(2﹣x).

又f(x)为偶函数,即f(x)=f(﹣x),于是f(﹣x)=﹣f(﹣x+2),

即f(x)=﹣f(x+2)=f(x+4),故 f(x)是以4为周期的函数.

∵f(1)=0,∴当8<x≤9时,0<x﹣8≤1,f(x)=f(x﹣8)=log2(x﹣8).

可化为log2(x﹣8)+2=﹣1,得

故选B.

考查方向

本题主要考查方程的根的存在性及个数判断,函数的奇偶性与周期性的应用,抽象函数的应用,体现了化归与转化的数学思想,属于中档题.

解题思路

由f(x+1)为奇函数,可得f(x)=﹣f(2﹣x).由f(x)为偶函数可得f(x)=f(x+4),故 f(x)是以4为周期的函数.当8<x≤9时,求得f(x)=f(x﹣8)=log2(x﹣8).由log2(x﹣8)+2=﹣1得x的值.

易错点

函数与方程历年都是高考考查的重点与热点,且常考常新,但万变不离其宗,函数的“零点”“极点”“创新点”无一例外是考查的“ 关键点”与“根本点”.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

2.下列说法正确的是(  )

A“若,则”的否命题是“若,则

B中,“” 是“”必要不充分条件

C“若,则”是真命题

D使得成立

正确答案

C

解析

解:对于A,命题的否定既要否定条件又要否定结论,故错;

对于B,在△ABC中,“”⇒,反之亦然,应是充要分条件,故错;

对于C,若,则,故正确;

对于D,使得成立,故错;

故选:C

考查方向

本题考查了命题真假的判定,涉及到了大量的基础知识,属于基础题.

解题思路

A,命题的否定既要否定条件又要否定结论;B,在△ABC中,“”⇒,反之亦然;C,若,则;D,使得成立;

易错点

对于两个条件A,B,如果A=>B成立,则A是B的充分条件,B是A的必要条件;如果B=>A成立,则A是B的必要条件,B是A的充分条件;如果A<=>B,则A,B互为充分必要条件。解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性,所以在解决这类问题时一定要根据充要条件的概念作出准确的判断。

1
题型: 单选题
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分值: 5分

4.下列四个图中,函数的图象可能是(  )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

,则函数为奇函数,其则图象关于原点对称,

当x>1时,y>0,当0<x<1时,

y<0,

的图象是由的图象向左平移一个单位得到的,

故选C.

考查方向

本题考查了函数图象的变化,关键是掌握函数的平移,属于中档题.

解题思路

构造函数,则函数为奇函数,其则图象关于原点对称,根据图象得平移即可得到答案.

易错点

函数的图像是函数性质的直观反映,借助函数图像可以研究很多的函数问题。在中学阶段的每次考试中,都会有这种题目。但是,由于我们平时形成的一些错误的认识,还有惯性思维,不做深入的研究,导致做出错误的图像,从而得出错误的结论.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

6.如图,网格纸上正方形小格的边长为1,图中粗线画的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为S为(注:圆台侧面积公式为) (  )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

由已知可得该几何体是一个圆台和一个半球形成的组合体,

圆台的上底面半径r=2,下底面半径R=3,

母线l==

故圆台的侧面积为:π(R+r)l=5π,

圆台的下底面面积为:πR2=9π,

半球的半径为2,

故半球面的面积为:2π•22=8π,

故组合体的表面积S=5π+9π+8π=17π+5π,

故选:D

考查方向

本题考查的知识点是圆台的体积和表面积,球的体积和表面积,简单几何体的三视图,难度中档.

解题思路

由已知可得该几何体是一个圆台和一个半球形成的组合体,其表面积由半球面,圆台的侧面,圆台的下底面组成,进而得到答案.

易错点

三视图的题目中,要时时牢记,高平齐,长对正,宽相等.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

8.在正三棱柱中,若,则所成角的大小为(  )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

,设

=

∴直线AB1与BC1所成角为

故选D.

考查方向

本题考查的知识点是异面直线及其所成的角,其中利用向量法将空间直线夹角转化为向量夹角是解答的关键.

解题思路

利用向量加法的三角形法则,可将AB1与C1B的方向向量分别用三棱柱的棱对应的向量表示,进而设BB1=1,,分析出两向量数量积为0,进而得到两直线互相垂直.

易错点

利用空间向量求空间角,避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦,使空间点线面的位置关系的判断和计算程序化,简单化,主要是建系,设点。计算向量的坐标,利用数量积的夹角公式计算.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

11.如图,给定由10个点(任意相邻两点距离为1,)组成的正三角形点阵,在其中任意取三个点,以这三个点为顶点构成的正三角形的个数是(  )

A12

B13

C15

D16

正确答案

C

解析

如图所示,

边长为1的正三角形共有1+3+5=9个;

边长为2的正三角形共有3个;

边长为3的正三角形共有1个.

边长为的有2个:红颜色和蓝颜色的两个三角形.

综上可知:共有9+3+1+2=15个.

故选:C.

考查方向

正确按边长分类是解题的关键.

解题思路

按边长分为1,2,3,共4类,分别计算出个数即可

易错点

1
题型: 单选题
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分值: 5分

12.已知函数处取得最大值,以下各式中:①

正确的序号是(  )

A②④

B②⑤

C①④

D③⑤

正确答案

A

解析

求导函数,可得, 令,则函数有唯一零点,即

,即②正确

时,

左侧

∴④正确

综上知,②④正确

故选B.

考查方向

本题考查导数知识的应用,考查学生分析解决问题的能力,有难度.

解题思路

求导函数,可得 ,令,则函数有唯一零点,即,代入验证,即可得到结论.

易错点

含有参数的函数求最值的方法:看导数为0的点与定义域之间的关系.

填空题 本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
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分值: 5分

13.设函数,则满足取值范围为                .

正确答案

解析

当x﹣1≥1即x≥2时,

xf(x﹣1)≥10,即为x(x﹣3)≥10,

解得x≥5或x≤﹣2,

即为x≥5;

当x﹣1<1即x<2时,

xf(x﹣1)≥10,即为2x≥10,

解得x≥5.

综上可得不等式的解集为[5,+∞).

故答案为:[5,+∞).

考查方向

本题考查分段函数的运用:解不等式,注意运用分类讨论思想方法,考查运算能力,属于中档题.

解题思路

讨论当x﹣1≥1即x≥2时;当x﹣1<1即x<2时,得到具体不等式,分别解不等式,求并集即可得到所求解集.

易错点

解含参数的不等式的通法是“定义域为前提,函数增减性为基础,分类讨论是关键.”

1
题型:填空题
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分值: 5分

14.多项式的展开式中的系数为                .(用数字作答)

正确答案

﹣6480

解析

把(a+2b﹣3c)6的展开式看成是6个因式(a+2b﹣3c)的乘积形式,

展开式中,含ab2c3项的系数可以按如下步骤得到:

第一步,从6个因式中任选1个因式,这个因式取a,有C61种取法;

第二步,从剩余的5个因式中任选2个因式,都取2b,有C52种取法;

第三步,把剩余的3个因式中都取﹣3c,有C33种取法;

根据分步相乘原理,得;含ab2c3项的系数是C61×22C52×(﹣3)3C33=﹣6480

故答案为﹣6480.

考查方向

不同考查了二项式系数的应用问题,也考查了分步相乘原理的应用问题,属于中档题

解题思路

把(a+2b﹣3c)6的展开式看成是6个因式(a+2b﹣3c)的乘积形式,按照分步相乘原理,求出含ab2c3项的系数即可.

易错点

二项展开式的通项公式要熟练记忆.

1
题型:填空题
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分值: 5分

15.有一个电动玩具,它有一个的长方形(单位:cm)和一个半径为1cm的小圆盘(盘中娃娃脸),他们的连接点为A,E,打开电源,小圆盘沿着长方形内壁,从点A出发不停地滚动(无滑动),如图所示,若此时某人向该长方形盘投掷一枚飞镖,则能射中小圆盘运行区域内的概率为                .

正确答案

解析

由题意,9×6的长方形的面积为54,小圆盘运行区域面积为2×7×2+2×4×2+π=44+π,

∴能射中小圆盘运行区域内的概率为

故答案为

考查方向

几何概型的概率估算公式中的“几何度量”,可以为线段长度、含面积、体积等,而且这个“几何度量”只与“大小”有关,而与形状和位置无关.

解题思路

由题意,9×6的长方形的面积为54,小圆盘运行区域面积为2×7×2+2×4×2+π=44+π,即可求出能射中小圆盘运行区域内的概率.

易错点

在应用几何概型的概率计算公式时,一定要先判断模型是否为几何概型一般而言,同学们对判断无限性较易掌握,但对于“等可能性”的判断难以掌握.因此,在确定基本事件时,一定要注意选择好观察角度,并注意判断基本事件的等可能性.

1
题型:填空题
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分值: 5分

16.设数列满足,且,若表示不超过的最大整数,则                .

正确答案

2016

解析

构造bn=an+1﹣an,则b1=a2﹣a1=4,

由题意可得(an+2﹣an+1)﹣(an+1﹣an)=bn+1﹣bn=2,

故数列{bn}是4为首项2为公差的等差数列,

故bn=an+1﹣an=4+2(n﹣1)=2n+2,

故a2﹣a1=4,a3﹣a2=6,a4﹣a3=8,…,an﹣an﹣1=2n,

以上n﹣1个式子相加可得an﹣a1=4+6+…+2n=,解得an=n(n+1),

=

+=+…+()=1﹣

…+=2017﹣

==2016.

故答案为:2016.

考查方向

本题考查了构造方法、等差数列的通项公式可、“累加求和”方法、“裂项求和”方法、取整数函数,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

解题思路

构造bn=an+1﹣an,则b1=a2﹣a1=4,由题意可得(an+2﹣an+1)﹣(an+1﹣an)=bn+1﹣bn=2,利用等差数列的通项公式可得bn=an+1﹣an=2n+2,再利用“累加求和”方法可得an=n(n+1),可得=,再利用取整数函数即可得出.

易错点

构造数列是难点,掌握求和的常见方法.

简答题(综合题) 本大题共70分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
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分值: 12分

函数的部分图像如图所示,将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象.

19.求函数的解析式;

20.在中,角A,B,C满足,且其外接圆的半径R=2,求的面积的最大值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

(Ⅰ)由图知,解得

,即

由于,因此

即函数的解析式为

考查方向

本题主要考查了三角函数周期公式,三角函数图象变换的规律,三角函数恒等变换的应用,三角形内角和定理,正弦定理,余弦定理,基本不等式,三角形面积公式在解三角形中的综合应用,考查了数形结合思想和转化思想的应用,属于中档题.

解题思路

由图知周期T,利用周期公式可求ω,由f()=1,结合范围|φ|<,可求φ的值,进而利用三角函数图象变换的规律即可得解.

易错点

三角函数图象的平移要注意遵循“左加右减”原则.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

(Ⅱ)∵

,即,所以或1(舍),,

由正弦定理得,解得

由余弦定理得

(当且仅当a=b等号成立)

的面积最大值为.

考查方向

本题主要考查了三角函数周期公式,三角函数图象变换的规律,三角函数恒等变换的应用,三角形内角和定理,正弦定理,余弦定理,基本不等式,三角形面积公式在解三角形中的综合应用,考查了数形结合思想和转化思想的应用,属于中档题.

解题思路

利用三角函数恒等变换的应用及三角形内角和定理化简已知可得cosC=﹣,进而可求C,由正弦定理解得c的值,进而由余弦定理,基本不等式可求ab≤4,利用三角形面积公式即可得解面积的最大值.

易错点

在利用正弦定理求角时,由于正弦函数在[0,]内不严格单调,所以角的个数可以不唯一,这时应借助已知条件加以验证,务必做到不漏解、不多解.

1
题型:简答题
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分值: 12分

为了引导居民合理用水,某市决定全面实施阶梯水价,阶梯水价原则上以住宅(一套住宅为一户)的月用水量为基准定价,具体划分标准如下表:

23.从本市随机抽取了10户家庭,统计了同一个月的用水量,得到右边的茎叶图:

现要在这10户家庭中任意选取3户,求取到第二阶梯水量的户数的分布列和数学期望;

24.用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况,从全市依次随机抽取10户,若抽到n户月用水用量为第二阶梯水量的可能性最大,求出n的值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

X的分布列为

X

0

1

2

3

P

EX=

解析

(1)由茎叶图可知抽取的10户中用水量为一阶的有2户,二阶的有6户,

三阶的有2户。

第二阶梯水量的户数X的可能取值为0,1,2,3

所以X的分布列为

X

0

1

2

3

P

EX=

考查方向

本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意排列组合知识的合理运用.

解题思路

由茎叶图知抽取的10户中用水量为一阶的有2户,二阶的有6户,三阶的有2户,第二阶梯水量的户数X的可能取值为0,1,2,3,分别求出相应的概率,由此能求出X的分布列和数学期望.

易错点

由于离散型随机变量x的取值较多,极易发生对随机变量取值考虑不全而导致解题错误,此类问题还极易发生如下错误,虽然弄清随机变量的所有值,但对某个取值考虑不全.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

6

解析

(2)设Y为从全市抽取的10户中用水量为二阶的家庭户数,依题意得YB,

所以,其中

,则

,则

所以当可能最大,

所以的取值为6。

考查方向

本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意排列组合知识的合理运用.

解题思路

设Y为从全市抽取的10户中用水量为二阶的家庭户数,依题意得Y~B(10,),由此能求出抽到n户月用水量为二阶的可能性最大时的n的值.

易错点

无.

1
题型:简答题
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分值: 10分

(本题满分10分)

已知函数

17.若关于的方程只有一个实数解,求实数a的取值范围;

18.若当时,不等式恒成立,求实数a的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

a<0

解析

(Ⅰ)方程|f(x)|=g(x),即|x2﹣1|=a|x﹣1|,变形得|x﹣1|(|x+1|﹣a)=0,显然,x=1已是该方程的根,从而欲使原方程只有一解,即要求方程|x+1|=a有且仅有一个等于1的解或无解,∴a<0.

考查方向

本题考查构成根的问题,考查分离参数法的运用,考查恒成立问题,正确变形是解题的关键.

解题思路

将方程变形,利用x=1已是该方程的根,从而欲原方程只有一解,即要求方程|x+1|=a有且仅有一个等于1的解或无解,从而可求实数a的取值范围;

易错点

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

a≤﹣2

解析

(Ⅱ)当xR时,不等式f(x)≥g(x)恒成立,即(x2﹣1)≥a|x﹣1|(*)对x∈R恒成立,

①当x=1时,(*)显然成立,此时aR

②当x≠1时,(*)可变形为a≤

因为当x>1时,φ(x)>2,当x<1时,φ(x)>﹣2,所以φ(x)>﹣2,故此时a≤﹣2.

综合①②,得所求实数a的取值范围是a≤﹣2.

考查方向

本题考查构成根的问题,考查分离参数法的运用,考查恒成立问题,正确变形是解题的关键.

解题思路

将不等式分离参数,确定函数的值域,即可求得实数a的取值范围.

易错点

函数零点是方程的根,当已知方程的根的性质求函数中的参数的范围时,通常也用到方程的是跟的分布,考虑实数根的分布情况.

1
题型:简答题
|
分值: 12分

已知数列的前项和,n为正整数.

21.令,求证:数列为等差数列,并求出数列的通项公式;

22.令,求.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

(I)在中,令n=1,可得,即

时,

.

数列是首项和公差均为1的等差数列.

于是.

考查方向

本题主要考查了数列通项公式的求解和数列的求和,属常考题,较难.解题的关键是公式以及错位相减法求和的应用

解题思路

根据数列{an}的前n项和 (n为正整数)利用得出再利用,可得当n≥2时bn﹣bn﹣1=1即得出数列{bn}是等差数列,进而可求出bn然后求出an

易错点

求出后,一定不要忘记验证n=1是否适合.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

(II)由(I)得,所以

由①-②得

考查方向

本题主要考查了数列通项公式的求解和数列的求和,属常考题,较难.解题的关键是公式以及错位相减法求和的应用

解题思路

由(1)可求出再结合其表达式的特征知可用错位相减法求

易错点

在数列问题中,数列的通项与其前n项和之间存在下列关系: 这个关系对任意数列都是成立的,但要注意的是这个关系式是分段的,在n=1和n≥2时这个关系式具有完全不同的表现形式,这也是解题中经常出错的一个地方,在使用这个关系式时要牢牢记住其“分段”的特点.

1
题型:简答题
|
分值: 12分

如图,在各棱长均为2的三棱柱中,侧面底面

25.求侧棱与平面所成角的正弦值的大小;

26.已知点D满足,在直线上是否存在点P,使DP//平面?若存在,请确定点P的位置,若不存在,请说明理由.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

(1)∵侧面底面,作于点,∴平面

,且各棱长都相等,

.…2分

故以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系

设平面的法向量为

,解得.由

而侧棱与平面所成角,即是向量与平面的法向量所成锐角的余角,

∴侧棱与平面所成角的正弦值的大小为

考查方向

本题考查线面角的正弦值的求法,考查满足条件的点是否存在的判断与求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.

解题思路

推导出A1O⊥平面ABC,BO⊥AC,以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz,利用向量法能求出侧棱AA1与平面AB1C所成角的正弦值.

易错点

在求解此类问题时,过多地依赖空间向量,导致忽视最基本的定义法,对于简单的空间角的求解,不能利用定义快速、准确地进行求解,而是一味地利用向量求解,导致计算失误.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

存在点,使,其坐标为,即恰好为点.

解析

(2)∵,而

又∵,∴点的坐标为

假设存在点符合题意,则点的坐标可设为,∴

为平面的法向量,

∴由,得

平面,故存在点,使,其坐标为

即恰好为点.

考查方向

本题考查线面角的正弦值的求法,考查满足条件的点是否存在的判断与求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.

解题思路

假设存在点P符合题意,则点P的坐标可设为P(0,y,z),则.利用向量法能求出存在点P,使DP∥平面AB1C,其坐标为(0,0,),即恰好为A1点.

易错点

在解题过程中往往出现以下问题:一是因不熟悉几何体的一些结构特征,导致几何体中的相关数据求错;二是对于立体几何中的探索性问题,不如该如何下手,而导致无法进行.

1
题型:简答题
|
分值: 12分

已知函数在定义域内有两个不同的极值点.

27.求实数a的取值范围;

28.记两个极值点为,且,已知,若不等式恒成立,求的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

(Ⅰ)由题意知,函数f(x)的定义域为(0,+∞),方程f′(x)=0在(0,+∞)有两个不同根; 即方程lnxax=0在(0,+∞)有两个不同根;

g(x)=lnxax,从而转化为函数g(x)有两个不同零点,

(x>0),

a≤0,可见g′(x)>0在(0,+∞)上恒成立,所以g(x)在(0,+∞)单调增,

此时g(x)不可能有两个不同零点.

a>0,在时,g′(x)>0,在时,g′(x)<0,

所以g(x)在上单调增,在上单调减,

从而

又因为在x→0时,g(x)→﹣∞,在在x→+∞时,g(x)→﹣∞,

于是只须:g(x)极大>0,即,所以

综上所述,

考查方向

本题考查了导数的综合应用及分类讨论,转化思想,数形结合的思想方法的应用,是一道综合题.

解题思路

由导数与极值的关系知可转化为方程f′(x)=lnx﹣ax=0在(0,+∞)有两个不同根;再转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在(0,+∞)上有两个不同交点;

易错点

极值点处的导数为零,但是导数为零的点不一定是极值点.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

(Ⅱ)因为等价于

由(Ⅰ)可知x1x2分别是方程lnxax=0的两个根,

lnx1=ax1lnx2=ax2

所以原式等价于,因为

所以原式等价于

又由lnx1=ax1lnx2=ax2作差得,,即

所以原式等价于

因为0<x1x2,原式恒成立,即恒成立.

t∈(0,1),

则不等式t∈(0,1)上恒成立.

时,可见t∈(0,1)时,h′(t)>0,

所以h(t)在t∈(0,1)上单调增,又h(1)=0,h(t)<0在t∈(0,1)恒成立,符合题意.

λ2<1时,可见t∈(0,)时,h′(t)>0,t∈(,1)时h′(t)<0,

所以h(t)在t∈(0,)时单调增,在t∈(,1)时单调减,又h(1)=0,

所以h(t)在t∈(0,1)上不能恒小于0,不符合题意,舍去.

综上所述,若不等式恒成立,只须,又,所以

考查方向

本题考查了导数的综合应用及分类讨论,转化思想,数形结合的思想方法的应用,是一道综合题.

解题思路

原式等价于,令,t∈(0,1),则不等式在t(0,1)上恒成立.令 ,t∈(0,1),根据函数的单调性求出即可.

易错点

在使用导数求函数极值时,很容易出现的错误就是求出使导函数等于0的点,而没有对这些点左右两侧导函数的符号进行判断,误以为使导函数等于0的点就是函数的极值点。出现这些错误的原因是对导数与极值关系不清。可导函数在一个点处的导函数值为零只是这个函数在此点处取到极值的必要条件,在此提醒广大考生在使用导数求函数极值时一定要注意对极值点进行检验.

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