理科数学 热门试卷

（Ⅰ）∵ ∴

则椭圆方程为即

设则

当时，有最大值为

解得∴，椭圆方程是

（Ⅱ）设方程为

由    整理得.

由，得.

∴   则,

由点P在椭圆上，得化简得①

又由即将，代入得

      化简，得

则,    ∴②

由①，得

联立②，解得∴或

（1）∵是和的等差中项，∴

当时，，∴

当时，，

∴ ，即

∴数列是以为首项，为公比的等比数列，

∴，

设的公差为，，，∴

∴

（2）

∴

∵,∴

∴数列是一个递增数列      ∴.

综上所述，

方法1：（1）证明：∵PC⊥BC，PC⊥AB，∴PC⊥平面ABC，∴PC⊥AC．

（2）取BC的中点N，连MN．∵PM=∥CN，∴MN=∥PC，∴MN⊥平面ABC．

作NH⊥AC，交AC的延长线于H，连接MH．

由三垂线定理得AC⊥MH，∴∠MHN为二面角M﹣AC﹣B的平面角．

∵直线AM与直线PC所成的角为60°，

∴在Rt△AMN中，∠AMN=60°．

在△ACN中，．

在Rt△AMN中，．

在Rt△NCH中，．

在Rt△MNH中，∵，∴．

故二面角M﹣AC﹣B的余弦值为．

（3）作NE⊥MH于E．∵AC⊥平面MNH，∴AC⊥NE，∴NE⊥平面MAC，

∴点N到平面MAC的距离为．

∵点N是线段BC的中点，

∴点B到平面MAC的距离是点N到平面MAC的距离的两倍为．

方法2：（1）证明：∵PC⊥BC，PC⊥AB，∴PC⊥平面ABC，∴PC⊥AC．

（2）在平面ABC内，过C作BC的垂线，并建立空间直角坐标系如图所示．

设P（0，0，z），则．．

∵，

且z＞0，∴，得z=1，∴．

设平面MAC的一个法向量为=（x，y，1），则由

得得∴．

平面ABC的一个法向量为．．

显然，二面角M﹣AC﹣B为锐二面角，∴二面角M﹣AC﹣B的余弦值为．

（3）点B到平面MAC的距离．

（I）由f（x）=alnx+（a≠0），得：，

∵a≠0，令，∴g（0）=1＞0．

令或，  则0＜a＜2．

(II）由（I）得：，

设ax2﹣（2a+1）x+a=0（0＜a＜2）的两根为α，β，

则，得．

当x∈（0，α）和（β，+∞）时，，函数f（x）单调递增；

当x∈和（2，β）时，，函数f（x）单调递减，

则f（x1）≤f A．，f（x2）≥f（β），

则f（x2）﹣f（x1）≥f（β）﹣f（α）=alnβ﹣alnα﹣

==（利用）

令，x＞2则，

则函数h（x）单调递增， h（x）≥h（2）=2ln2+，

∴，

∵，则，

∴f（x1）﹣f（x2）≥ln2+．