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1.已知集合,则等于________
正确答案
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
5.设口袋中有黑球、白球共7个,从中任取2个球,已知取到白球个数的数学期望值为,则口袋中白球的个数为___________
正确答案
3
解析
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知识点
10. 定义某种运算,的运算原理如图 所示.设.在区间上的最大值为____
正确答案
2
解析
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知识点
11.在平面直角坐标系中,设直线:与圆:相交于A、B两点,以OA、OB为邻边作平行四边形OAMB,若点M在圆上,则实数k=______
正确答案
0
解析
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知识点
2.若是实数(是虚数单位,是实数),则___________
正确答案
解析
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知识点
3.等差数列中,已知,,使得的最小正整数n为________
正确答案
8
解析
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知识点
4.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且asinA+csinC-asinC=bsinB.则_________
正确答案
解析
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知识点
6.设,若是展开式中含的系数,则=_________
正确答案
2
解析
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知识点
8.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3cm,圆心角为的扇形,则此圆锥的高为______________cm.
正确答案
解析
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知识点
7.在极坐标系中,若直线的方程是,点的坐标为,则点到直线的距离______
正确答案
2
解析
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知识点
13.对函数,函数满足:,数列的前项和为,则的值为______________
正确答案
解析
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知识点
9.不等式的解集为,那么的值等于_____________
正确答案
解析
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12.若不等式对于任意正实数x,y总成立的必要不充分条件是,则正整数m只能取____
正确答案
1或2
解析
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知识点
14.在实数集中,我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”.类似的,我们在平面向量集上也可以定义一个称为“序”的关系,记为“”.定义如下:对于任意两个向量,当且仅当“”或“”.
按上述定义的关系“”,给出如下四个命题:
① 若,则;
② 若,则;
③ 若,则对于任意,;
④ 对于任意向量,,若,则.
其中真命题的序号为___________
正确答案
① ② ③
解析
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知识点
15.已知a,b是实数,则“”是“”的( )
正确答案
解析
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知识点
18.设为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4,5,6的直线.给出下列三个结论:
① 存在,使得是直角三角形;
② 存在,使得是等边三角形;
③ 三条直线上存在四点,使得四面体为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体.其中,所有正确结论的个数是( )
正确答案
解析
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知识点
17.集合在等比数列 中,若,则A中元素个数为( )
正确答案
解析
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知识点
16.设P是△ABC所在平面内的一点,,则( )
正确答案
解析
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知识点
19.已知向量函数的两条相邻对称轴间的距离为
(1)求函数的单调递增区间;
(2)当时,若,求的值.
正确答案
(1)
由得
单调递增区间是
(2)
故
所以
解析
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知识点
20.如图,四边形与均为菱形, ,且.
(1)求证:平面;
(2)求二面角的余弦值.
正确答案
(1)证明:设与相交于点,连结.
因为 四边形为菱形,所以,
且为中点.又 ,所以 .
因为 , 所以 平面.
(2)解:因为四边形为菱形,且,
所以△为等边三角形.
因为为中点,所以,故平面.
由两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系.
设.因为四边形为菱形,,
则,所以,
所以 .
所以 ,.
设平面的法向量为,
则有所以
取,得.
易知平面的法向量为.
由二面角是锐角,得 .
所以二面角的余弦值为
解析
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知识点
21.已知函数。
(1)若为偶函数,求的值;
(2)若函数和的图像关于原点对称,且在区间上是减函数,求 的取值范围。
正确答案
(1)为偶函数,
解得 。
当时, 成立 故
(2)由题意,,设
在区间上是减函数,
在上是增函数
只有在时,是增函数,
所以,即。
解析
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知识点
22.在平面直角坐标系中。椭圆的右焦点为,右准线为。
(1)求到点和直线的距离相等的点的轨迹方程。
(2)过点作直线交椭圆于点,又直线交于点,若,求线段的长;
(3)已知点的坐标为,直线交直线于点,且和椭圆的一个交点为点,是否存在实数,使得,若存在,求出实数;若不存在,请说明理由
正确答案
(1)由椭圆方程为可得,,,
,. 设,则由题意可知,
化简得点G的轨迹方程为.
(2)由题意可知,
故将代入,
可得,从而.
(3) 假设存在实数满足题意.
由已知得 ① ② 椭圆C: ③
由①②解得,.
由①③解得,.
∴,
.
故可得满足题意.
解析
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知识点
23.已知数列{an}满足:(其中常数λ>0,n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)当λ=4时,是否存在互不相同的正整数r,s,t,使得ar,as,at成等比数列?若存在,给出r,s,t满足的条件;若不存在,说明理由;
(3)设Sn为数列{an}的前n项和.若对任意n∈N*,都有(1-λ)Sn+λan≥2λn恒成立,求实数λ的取值范围.
正确答案
(1)当n=1时,a1=3.
当n≥2时,因为, ①
所以(n-1)2+2(n-1)②
①-②得=2n+1,
所以an=(2n+1)·λn-1(n≥2,n∈N*).
a1=3也适合上式,
所以an=(2n+1)·λn-1 (n∈N*).
(2)当λ=4时,an=(2n+1)·4n-1.
若存在ar,as,at成等比数列,
则[(2r+1) ·4r-1] [(2t+1) ·4t-1]=(2s+1)2 ·42s-2.
整理得(2r+1) (2t+1) 4 r+t -2s=(2s+1)2.
由奇偶性知r+t -2s=0
所以(2r+1) (2t+1)=(r+t+1)2,
即(r-t)2=0.这与r≠t矛盾,
故不存在这样的正整数r,s,t,使得ar,as,at成等比数列.
(3)Sn=3+5λ+7λ2+…+(2n+1)λn-1.
当λ=1时,Sn=3+5+7+…+(2n+1)=n2+2n.
当λ≠1时,Sn=3+5λ+7λ2+…+(2n+1)λn-1,
λSn= 3λ+5λ2+…+(2n-1)λn-1+(2n+1)λn.
(1-λ)Sn=3+2(λ+λ2+λ3++…+λn-1)-(2n+1)λn=3+2× -(2n+1)λn
当λ≠1时,Sn=3+5λ+7λ2+…+(2n+1)λn-1,
要对任意n∈N*,都有(1-λ)Sn+λan≥2λn恒成立,
①当λ=1时,左=(1-λ)Sn+λan=an=2n+1≥2,结论显然成立;
②当λ≠1时,左=(1-λ)Sn+λan=3+2× -(2n+1)λn+λan
=3+2×.
因此对任意n∈N*,都有恒成立.
当0<λ<1时,只要对任意n∈N*恒成立.
只要有即可,解得λ≤1或λ≥.
因此当0<λ<1时,结论成立.
当λ≥2时,,显然不可能对任意n∈N*恒成立.
当1<λ<2时,只要对任意n∈N*恒成立.
只要有即可,解得1≤λ≤.
因此当1<λ≤时,结论成立.
综上所述,实数λ的取值范围为(0,].
解析
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