理科数学浦东新区2013年高三试卷

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填空题
单选题
简答题

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试卷目录

1、填空题

2、单选题

3、简答题

真题试卷
模拟试卷
预测试卷

填空题本大题共14小题，每小题4分，共56分。把答案填写在题中横线上。

题型：填空题

分值: 4分

1．已知集合，则等于________

正确答案

解析

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知识点

指数函数的图像变换

题型：填空题

分值: 4分

5．设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为，则口袋中白球的个数为___________

正确答案

解析

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知识点

二次函数的应用

题型：填空题

分值: 4分

10．定义某种运算，的运算原理如图所示．设．在区间上的最大值为____

正确答案

解析

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知识点

导数的运算

题型：填空题

分值: 4分

11．在平面直角坐标系中，设直线：与圆：相交于A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四边形OAMB，若点M在圆上，则实数k=______

正确答案

解析

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知识点

函数的最值及其几何意义

题型：填空题

分值: 4分

2．若是实数（是虚数单位，是实数），则___________

正确答案

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知识点

指数函数的图像变换

题型：填空题

分值: 4分

3．等差数列中，已知，，使得的最小正整数n为________

正确答案

解析

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知识点

对数函数的定义

题型：填空题

分值: 4分

4．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且asinA+csinC-asinC=bsinB．则_________

正确答案

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知识点

指数函数的图像与性质

题型：填空题

分值: 4分

6．设，若是展开式中含的系数，则=_________

正确答案

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知识点

导数的加法与减法法则

题型：填空题

分值: 4分

8．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3cm，圆心角为的扇形，则此圆锥的高为______________cm．

正确答案

解析

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知识点

复合函数的单调性

题型：填空题

分值: 4分

7．在极坐标系中，若直线的方程是，点的坐标为，则点到直线的距离______

正确答案

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知识点

幂函数的概念、解析式、定义域、值域

题型：填空题

分值: 4分

13．对函数，函数满足：，数列的前项和为，则的值为______________

正确答案

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知识点

指数函数的单调性与特殊点

题型：填空题

分值: 4分

9．不等式的解集为，那么的值等于_____________

正确答案

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知识点

组合几何体的面积、体积问题

题型：填空题

分值: 4分

12．若不等式对于任意正实数x，y总成立的必要不充分条件是，则正整数m只能取____

正确答案

1或2

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知识点

幂函数的图像

题型：填空题

分值: 4分

14．在实数集中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”．类似的，我们在平面向量集上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”．定义如下：对于任意两个向量，当且仅当“”或“”．

按上述定义的关系“”，给出如下四个命题：

① 若，则；

② 若，则；

③ 若，则对于任意，；

④ 对于任意向量，，若，则．

其中真命题的序号为___________

正确答案

① ② ③

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知识点

幂函数的概念、解析式、定义域、值域

单选题本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

题型：单选题

分值: 5分

15．已知a，b是实数，则“”是“”的（）

A充分不必要条件

B必要不充分条件

C充分必要条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

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知识点

幂函数的概念、解析式、定义域、值域

题型：单选题

分值: 5分

18．设为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4，5，6的直线．给出下列三个结论：

① 存在，使得是直角三角形；

② 存在，使得是等边三角形；

③ 三条直线上存在四点，使得四面体为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体．其中，所有正确结论的个数是（）

正确答案

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知识点

指数函数的单调性与特殊点

题型：单选题

分值: 5分

17．集合在等比数列中，若，则A中元素个数为（）

正确答案

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知识点

幂函数图象及其与指数的关系

题型：单选题

分值: 5分

16．设P是△ABC所在平面内的一点，，则（）

正确答案

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知识点

幂函数的概念、解析式、定义域、值域

简答题（综合题）本大题共74分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

题型：简答题

分值: 12分

19．已知向量函数的两条相邻对称轴间的距离为

（1）求函数的单调递增区间；

（2）当时，若，求的值．

正确答案

（1）

由得

单调递增区间是

（2）

故

所以

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知识点

换底公式的应用

题型：简答题

分值: 14分

20．如图，四边形与均为菱形，，且．

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值．

正确答案

（1）证明：设与相交于点，连结．

因为四边形为菱形，所以，

且为中点．又，所以．

因为，所以平面．

（2）解：因为四边形为菱形，且，

所以△为等边三角形．

因为为中点，所以，故平面．

由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系．

设．因为四边形为菱形，，

则，所以，

所以．

所以，．

设平面的法向量为，

则有所以

取，得．

易知平面的法向量为．

由二面角是锐角，得．

所以二面角的余弦值为

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知识点

导数的乘法与除法法则

题型：简答题

分值: 14分

21．已知函数。

（1）若为偶函数，求的值；

（2）若函数和的图像关于原点对称，且在区间上是减函数，求的取值范围。

正确答案

（1）为偶函数，

解得。

当时，成立故

（2）由题意，，设

在区间上是减函数，

在上是增函数

只有在时，是增函数，

所以，即。

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知识点

幂函数的概念、解析式、定义域、值域

题型：简答题

分值: 16分

22．在平面直角坐标系中。椭圆的右焦点为，右准线为。

（1）求到点和直线的距离相等的点的轨迹方程。

（2）过点作直线交椭圆于点，又直线交于点，若，求线段的长；

（3）已知点的坐标为，直线交直线于点，且和椭圆的一个交点为点，是否存在实数，使得，若存在，求出实数；若不存在，请说明理由

正确答案

（1）由椭圆方程为可得，，，

，．设，则由题意可知，

化简得点G的轨迹方程为．

（2）由题意可知，

故将代入，

可得，从而．

（3）假设存在实数满足题意．

由已知得 ① ② 椭圆C： ③

由①②解得，．

由①③解得，．

∴，

．

故可得满足题意．

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指数函数的单调性与特殊点

题型：简答题

分值: 18分

23．已知数列{an}满足：（其中常数λ＞0，n∈N*）．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）当λ＝4时，是否存在互不相同的正整数r，s，t，使得ar，as，at成等比数列？若存在，给出r，s，t满足的条件；若不存在，说明理由；

（3）设Sn为数列{an}的前n项和．若对任意n∈N*，都有（1－λ）Sn＋λan≥2λn恒成立，求实数λ的取值范围．

正确答案

（1）当n＝1时，a1＝3．

当n≥2时，因为， ①

所以（n－1）2＋2（n－1）②

①－②得＝2n＋1，

所以an＝（2n＋1）·λn－1（n≥2，n∈N*）．

a1＝3也适合上式，

所以an＝（2n＋1）·λn－1 （n∈N*）．

（2）当λ＝4时，an＝（2n＋1）·4n－1．

若存在ar，as，at成等比数列，

则[（2r＋1） ·4r－1] [（2t＋1） ·4t－1]＝（2s＋1）2 ·42s－2．

整理得（2r＋1）（2t＋1） 4 r＋t －2s＝（2s＋1）2．

由奇偶性知r＋t －2s＝0

所以（2r＋1）（2t＋1）＝（r＋t＋1）2，

即（r－t）2＝0．这与r≠t矛盾，

故不存在这样的正整数r，s，t，使得ar，as，at成等比数列．

（3）Sn＝3＋5λ＋7λ2＋…＋（2n＋1）λn－1．

当λ＝1时，Sn＝3＋5＋7＋…＋（2n＋1）＝n2＋2n．

当λ≠1时，Sn＝3＋5λ＋7λ2＋…＋（2n＋1）λn－1，

λSn＝ 3λ＋5λ2＋…＋（2n－1）λn－1＋（2n＋1）λn．

（1－λ）Sn＝3＋2（λ＋λ2＋λ3＋＋…＋λn－1）－（2n＋1）λn＝3＋2× －（2n＋1）λn

当λ≠1时，Sn＝3＋5λ＋7λ2＋…＋（2n＋1）λn－1，

要对任意n∈N*，都有（1－λ）Sn＋λan≥2λn恒成立，

①当λ＝1时，左＝（1－λ）Sn＋λan＝an＝2n＋1≥2，结论显然成立；

②当λ≠1时，左＝（1－λ）Sn＋λan＝3＋2× －（2n＋1）λn＋λan

＝3＋2×．

因此对任意n∈N*，都有恒成立．

当0＜λ＜1时，只要对任意n∈N*恒成立．

只要有即可，解得λ≤1或λ≥．

因此当0＜λ＜1时，结论成立．

当λ≥2时，，显然不可能对任意n∈N*恒成立．

当1＜λ＜2时，只要对任意n∈N*恒成立．

只要有即可，解得1≤λ≤．

因此当1＜λ≤时，结论成立．

综上所述，实数λ的取值范围为（0，]．

解析

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知识点

等比数列的性质及应用

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正确答案

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