理科数学浦东新区2013年高三试卷

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填空题本大题共14小题，每小题4分，共56分。把答案填写在题中横线上。

3．已知函数，则 ___________．

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2．函数的定义域是___________．

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4．若复数的实部与虚部相等，则的值为___________．

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6．等比数列的前n项和为，已知成等差数列，则数列的公比为___________．

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5．若对任意正实数，不等式恒成立，则实数的最小值为___________．

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9．在极坐标系中，曲线与直线的两个交点之间的距离为___________．

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7．已知平面上四点，若，则___________．

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10．某班级有4名学生被复旦大学自主招生录取后，大学提供了3个专业由这4名学生选择，每名学生只能选择一个专业，假设每名学生选择每个专业都是等可能的，则这3个专业都有学生选择的概率是___________．

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12．设分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为___________．

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11．函数图像的对称中心是___________．

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14．在直角坐标平面上，有个非零向量，且，各向量的横坐标和纵坐标均为非负实数，若（常数），则的最小值为___________．

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13．设，函数的定义域为，且，当时，有，则使等式成立的的集合为___________．

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8．如图，在底面边长为的正方形的四棱锥中，已知，且，则直线与平面所成的角大小为___________．

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1．集合，，则等于___________．

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单选题本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

15．下列函数中，与函数的值域相同的函数为（）

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16．角终边上有一点，则下列各点中在角的终边上的点是（）

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17．一无穷等比数列各项的和为，第二项为，则该数列的公比为（）

D或

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18．下图揭示了一个由区间到实数集上的对应过程：区间内的任意实数与数轴上的线段（不包括端点）上的点一一对应（图一），将线段围成一个圆，使两端恰好重合（图二），再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在轴上，点的坐标为（图三）．图三中直线与轴交于点，由此得到一个函数，则下列命题中正确的序号是（）

；

是偶函数；

在其定义域上是增函数；

的图像关于点对称

A（1）（3）（4）

B（1）（2）（3）

C（1）（2）（4）

D（1）（2）（3）（4）

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简答题（综合题）本大题共74分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

19．已知复数（是虚数单位）在复平面上对应的点依次为，点是坐标原点．

（1）若，求的值；

（2）若点横坐标为，求．

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20．某加油站拟造如图所示的铁皮储油罐（不计厚度，长度单位：米），其中储油罐的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，（为圆柱的高，为球的半径，）．假设该储油罐的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为千元，半球形部分每平方米建造费用为3千元．设该储油罐的建造费用为千元．

（1）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；

（2）求该储油罐的建造费用最小时的的值．

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21．已知．

（1）当，时，若不等式恒成立，求的范围；

（2）试判断函数在内零点的个数，并说明理由．

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22．已知椭圆C过点，两焦点为、，是坐标原点，不经过原点的直线与该椭圆交于两不同点、，且直线、、的斜率依次成等比数列．

（1）求椭圆C的方程；

（2）求直线的斜率；

（3）求面积的范围．

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23．如果数列同时满足：（1）各项均不为，（2）存在常数k，对任意都成立，则称这样的数列为“类等比数列” ．由此等比数列必定是“类等比数列” ．问：

（1）各项均不为0的等差数列是否为“类等比数列”？说明理由．

（2）若数列为“类等比数列”，且（a，b为常数），是否存在常数λ，使得对任意都成立？若存在，求出λ；若不存在，请举出反例．

（3）若数列为“类等比数列”，且，（a，b为常数），求数列的前n项之和；如数列的前n项之和记为，求．

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