理科数学浦东新区2013年高三试卷

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填空题
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简答题

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试卷目录

1、填空题

2、单选题

3、简答题

真题试卷
模拟试卷
预测试卷

填空题本大题共14小题，每小题4分，共56分。把答案填写在题中横线上。

题型：填空题

分值: 4分

4．若复数的实部与虚部相等，则的值为___________．

正确答案

解析

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知识点

函数单调性的性质

题型：填空题

分值: 4分

7．已知平面上四点，若，则___________．

正确答案

解析

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知识点

指数函数的单调性与特殊点

题型：填空题

分值: 4分

10．某班级有4名学生被复旦大学自主招生录取后，大学提供了3个专业由这4名学生选择，每名学生只能选择一个专业，假设每名学生选择每个专业都是等可能的，则这3个专业都有学生选择的概率是___________．

正确答案

解析

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知识点

导数的乘法与除法法则

题型：填空题

分值: 4分

12．设分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为___________．

正确答案

解析

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知识点

复合函数的单调性

题型：填空题

分值: 4分

3．已知函数，则 ___________．

正确答案

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知识点

导数的加法与减法法则

题型：填空题

分值: 4分

2．函数的定义域是___________．

正确答案

解析

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知识点

导数的乘法与除法法则

题型：填空题

分值: 4分

6．等比数列的前n项和为，已知成等差数列，则数列的公比为___________．

正确答案

解析

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知识点

幂函数的概念、解析式、定义域、值域

题型：填空题

分值: 4分

5．若对任意正实数，不等式恒成立，则实数的最小值为___________．

正确答案

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知识点

幂函数的图像

题型：填空题

分值: 4分

9．在极坐标系中，曲线与直线的两个交点之间的距离为___________．

正确答案

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知识点

导数的加法与减法法则

题型：填空题

分值: 4分

11．函数图像的对称中心是___________．

正确答案

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知识点

直线与平面垂直的判定与性质

题型：填空题

分值: 4分

14．在直角坐标平面上，有个非零向量，且，各向量的横坐标和纵坐标均为非负实数，若（常数），则的最小值为___________．

正确答案

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知识点

导数的乘法与除法法则

题型：填空题

分值: 4分

13．设，函数的定义域为，且，当时，有，则使等式成立的的集合为___________．

正确答案

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知识点

导数的乘法与除法法则

题型：填空题

分值: 4分

1．集合，，则等于___________．

正确答案

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知识点

交、并、补集的混合运算

题型：填空题

分值: 4分

8．如图，在底面边长为的正方形的四棱锥中，已知，且，则直线与平面所成的角大小为___________．

正确答案

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知识点

二次函数的应用

单选题本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

题型：单选题

分值: 5分

15．下列函数中，与函数的值域相同的函数为（）

正确答案

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知识点

求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式

题型：单选题

分值: 5分

16．角终边上有一点，则下列各点中在角的终边上的点是（）

正确答案

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知识点

导数的加法与减法法则

题型：单选题

分值: 5分

17．一无穷等比数列各项的和为，第二项为，则该数列的公比为（）

D或

正确答案

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知识点

幂函数的图像

题型：单选题

分值: 5分

18．下图揭示了一个由区间到实数集上的对应过程：区间内的任意实数与数轴上的线段（不包括端点）上的点一一对应（图一），将线段围成一个圆，使两端恰好重合（图二），再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在轴上，点的坐标为（图三）．图三中直线与轴交于点，由此得到一个函数，则下列命题中正确的序号是（）

；

是偶函数；

在其定义域上是增函数；

的图像关于点对称

A（1）（3）（4）

B（1）（2）（3）

C（1）（2）（4）

D（1）（2）（3）（4）

正确答案

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知识点

直线和圆的方程的应用

简答题（综合题）本大题共74分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

题型：简答题

分值: 12分

19．已知复数（是虚数单位）在复平面上对应的点依次为，点是坐标原点．

（1）若，求的值；

（2）若点横坐标为，求．

正确答案

（1）解法1、由题可知：，，

，

，得

∴，

解法2、

由题可知：，

，

∵，∴

，得

解法3、

设，

（2）解法1、

由（1），记，

∴，

∵ ，得

∴

解法2、

由题意得：的直线方程为

则即

则点到直线的距离为

又，∴

解法3、

即

即：，

，，

∴

则

解法4、根据坐标的几何意义求面积

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知识点

导数的乘法与除法法则

题型：简答题

分值: 14分

21．已知．

（1）当，时，若不等式恒成立，求的范围；

（2）试判断函数在内零点的个数，并说明理由．

正确答案

（1）由，则，

又在上是增函数，

所以．

（2）是增函数，且，

所以在内存在唯一的零点．

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知识点

简单复合函数的导数

题型：简答题

分值: 16分

22．已知椭圆C过点，两焦点为、，是坐标原点，不经过原点的直线与该椭圆交于两不同点、，且直线、、的斜率依次成等比数列．

（1）求椭圆C的方程；

（2）求直线的斜率；

（3）求面积的范围．

正确答案

（1）由题意得，可设椭圆方程为

则，解得

所以椭圆的方程为．

（2）消去得:

则

故

因为直线的斜率依次成等比数列

所以

由于故

（3）因为直线的斜率存在且不为，及且．

设为点到直线的距离，则

则 <

所以的取值范围为．

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异面直线及其所成的角

题型：简答题

分值: 14分

20．某加油站拟造如图所示的铁皮储油罐（不计厚度，长度单位：米），其中储油罐的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，（为圆柱的高，为球的半径，）．假设该储油罐的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为千元，半球形部分每平方米建造费用为3千元．设该储油罐的建造费用为千元．

（1）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；

（2）求该储油罐的建造费用最小时的的值．

正确答案

（1）

（）．

（2）

上是增函数

所以当时，储油罐的建造费用最小．

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幂函数的图像

题型：简答题

分值: 18分

23．如果数列同时满足：（1）各项均不为，（2）存在常数k，对任意都成立，则称这样的数列为“类等比数列” ．由此等比数列必定是“类等比数列” ．问：

（1）各项均不为0的等差数列是否为“类等比数列”？说明理由．

（2）若数列为“类等比数列”，且（a，b为常数），是否存在常数λ，使得对任意都成立？若存在，求出λ；若不存在，请举出反例．

（3）若数列为“类等比数列”，且，（a，b为常数），求数列的前n项之和；如数列的前n项之和记为，求．

正确答案

（1）因为为各项均不为的等差数列，故可设（d、b为常数）

由得

得为常数，所以各项均不为0的等差数列为“类等比数列”

（2）存在常数使

（或从必要条件入手）

证明如下：因为所以

所以即

由于此等式两边同除以

得

所以

即当都有

因为所以

所以

所以对任意都有

此时

（3）（）

均为公比为的等比数列

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指数函数的单调性与特殊点

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正确答案

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