2015年高考权威预测卷 理科数学 (重庆卷)
精品
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单选题 本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

4.设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则ab = (   )

A1

B2

C3

D5

正确答案

A

解析

知识点

空间几何体的结构特征
1
题型: 单选题
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分值: 5分

5.执行下图的程序框图,若输入的分别为1,2,3,则输出的=

A

B

C

D

正确答案

D

解析

知识点

空间几何体的结构特征
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

2.等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=(  ).

A

B

C

D

正确答案

C

解析

知识点

由数列的前几项求通项
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

10.在平面上,,||=||=1,.若||<,则||的取值范围是(  )。

A

B

C

D

正确答案

D

解析

知识点

空间几何体的结构特征
1
题型: 单选题
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分值: 5分

1.若复数z满足 (3-4i)z=|4+3i |,则z的虚部为        (   )

A-4

B

C4

D

正确答案

D

解析

知识点

虚数单位i及其性质
1
题型: 单选题
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分值: 5分

6.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率(   )。

A

B

C

D

正确答案

D

解析

知识点

虚数单位i及其性质
1
题型: 单选题
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分值: 5分

7.某几何函数的三视图如图所示,则该几何的体积为(    )

A16+8π

B8+8π

C16+16π

D8+16π

正确答案

A

解析

知识点

空间几何体的结构特征
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

9.已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是(  ).

A(0,1)

B

C

D

正确答案

B

解析

知识点

圆系方程
1
题型: 单选题
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分值: 5分

8.已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为(  ).

A

B

C

D

正确答案

A

解析

知识点

圆的标准方程
1
题型: 单选题
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分值: 5分

3.某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是(    )

A0.8

B0.75

C0.6

D0.45

正确答案

A

解析

知识点

导数的运算
填空题 本大题共5小题,每小题5分,共25分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
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分值: 5分

11.的展开式中的系数为        。

正确答案

-20

解析

知识点

任意角的概念
1
题型:填空题
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分值: 5分

12.函数的最大值为________。

正确答案

1

解析

知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型:填空题
|
分值: 5分

14.已知直线的参数方程为为参数),以坐标原点为极点,正半轴为极轴线与曲线的公共点的极经______。

正确答案

解析

知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型:填空题
|
分值: 5分

15.若关于实数x的不等式|x-5|+|x+3|<a无解,则实数a的取值范围是________.

正确答案

(-∞,8]

解析

知识点

一元高次不等式的解法
1
题型:填空题
|
分值: 5分

13.若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图像关于直线x=-2对称,则f(x)的最大值是_____。

正确答案

16

解析

知识点

函数的概念及其构成要素
简答题(综合题) 本大题共75分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
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分值: 12分

19.已知函数=

(1)讨论的单调性;

(2)设,当时,,求的最大值;

(3)已知,估计ln2的近似值(精确到0.001)

正确答案

见解析。

解析

(1)+-2≥0,等号仅当x=0时成立,所以f(x)在(—∞,+∞)单调递增

(2)g(x)=f(2x)-4bf(x)=--4b(-)+(8b-4)x

(x)=2[++]=2(+)(+)

(1)   当b2时,g’(x) 0,等号仅当x=0时成立,所以g(x)在(-,+)单调递增,而g(0)=0,所以对任意x>0,g(x)>0;

(2)   当b>2时,若x满足,2< <2b-2即 0<x<ln(b-1+)时g’(x)<0,而

g(0)=0,因此当0<Xln(b-1+)时,g(x)<0

综上,b的最大值为2

(3)   由(2)知,g(ln)=-2b+2(2b-1)ln2

当b=2时,g(ln)=-4+6ln2>0,ln2>>0.6928

当b=+1时,ln(b-1+)=ln

g(ln)=-2+(3+2)ln2<0

ln2<<0.693

知识点

导数的加法与减法法则
1
题型:简答题
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分值: 12分

20.平面直角坐标系xOy中,过椭圆M:(a>b>0)右焦点的直线交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为.

(1)求M的方程;

(2)C,D为M上两点,若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形ACBD面积的最大值.

正确答案

见解析。

解析

(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),

由此可得.

因为x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,

所以a2=2b2.

又由题意知,M的右焦点为(,0),故a2-b2=3.

因此a2=6,b2=3.

所以M的方程为.

(2)由

解得

因此|AB|=.

由题意可设直线CD的方程为

y=

设C(x3,y3),D(x4,y4).

得3x2+4nx+2n2-6=0.

于是x3,4=.

因为直线CD的斜率为1,

所以|CD|=.

由已知,四边形ACBD的面积.

当n=0时,S取得最大值,最大值为.

所以四边形ACBD面积的最大值为.

知识点

相等向量与相反向量
1
题型:简答题
|
分值: 13分

16.已知函数的图像关于直线对称,且图像上相邻两个最高点的距离为.

(1)求的值;

(2)若,求的值.

正确答案

见解析。

解析

(1)

(2)

知识点

幂函数的图像
1
题型:简答题
|
分值: 13分

18.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=A A1,∠BAA1=60°.

(1)证明AB⊥A1C;

(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值。

正确答案

见解析。

解析

(1)取AB中点E,连结CE,

∵AB==,∴是正三角形,

⊥AB,   ∵CA=CB,   ∴CE⊥AB,   ∵=E,∴AB⊥面

∴AB⊥

(2)由(1)知EC⊥AB,⊥AB,

又∵面ABC⊥面,面ABC∩面=AB,∴EC⊥面,∴EC⊥

∴EA,EC,两两相互垂直,以E为坐标原点,的方向为轴正方向,||为单位长度,建立如图所示空间直角坐标系

有题设知A(1,0,0),(0,,0),C(0,0,),B(-1,0,0),则=(1,0,),==(-1,0,),=(0,-,),

=是平面的法向量,

,即,可取=(,1,-1),

=

∴直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值为.

知识点

幂函数的概念、解析式、定义域、值域
1
题型:简答题
|
分值: 13分

17.某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定:在一次摸奖中,摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球,再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球.根据摸出4个球中红球与蓝球的个数,设一、二、三等奖如下:

其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级.

(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率;

(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与期望E(X).

正确答案

见解析。

解析

设Ai表示摸到i个红球,Bj表示摸到j个蓝球,

则Ai(i=0,1,2,3)与Bj(j=0,1)独立.

(1)恰好摸到1个红球的概率为

P(A1)=.

(2)X的所有可能值为0,10,50,200,且

P(X=200)=P(A3B1)=P(A3)P(B1)=

P(X=50)=P(A3B0)=P(A3)P(B0)=

P(X=10)=P(A2B1)=P(A2)P(B1)=

P(X=0)=.

综上知X的分布列为

从而有E(X)=0×+10×+50×+200×=4(元).

知识点

二次函数的应用
1
题型:简答题
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分值: 12分

21.已知数列{}的前项和为=1,,其中为常数.

(1)证明:

(2)是否存在,使得{}为等差数列?并说明理由.

正确答案

见解析。

解析

(1)由题设,两式相减

,由于,所以

(2)由题设=1,,可得,由(Ⅰ)知

假设{}为等差数列,则成等差数列,∴,解得

证明时,{}为等差数列:由

数列奇数项构成的数列是首项为1,公差为4的等差数列

,∴

数列偶数项构成的数列是首项为3,公差为4的等差数列

,∴

),

因此,存在存在,使得{}为等差数列.

知识点

一元二次不等式的解法

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