理科数学 热门试卷

（1）

，

所以当，取得最大值；

当，取得最小值；

（2）因为向量与向量平行，

所以，

由余弦定理，

，又，经检验符合三角形要求

（1）甲抽奖一次，基本事件总数为=120，奖金ξ的所有可能取值为0，30，60，240．

一等奖的情况只有一种，所以奖金为240元的概率为P（ξ=240）=

三球连号的情况有1，2，3；2，3，4;……8，9，10共8种，所以P（ξ=60）=

仅有两球连号中，对应1，2与9，10的各有7种；对应2，3；3，4；……8，9各有6种。

得奖金30的概率为P（ξ=30）=

奖金为0的概率为P（ξ=0）=

ξ的分布列为：

（2） 由（1）可得乙一次抽奖中中奖的概率为P=

四次抽奖是相互独立的， 所以中奖次数η～B（4，）故．

（1）证明：设，所以

当时，，当时，，当时，．

即函数在上单调递减，在上单调递增，在处取得唯一极小值

因为，所以对任意实数均有 ．即，

所以

（2）解：当时，．用数学归纳法证明如下：

①当时，由（1）知。

②假设当（）时，对任意均有，

令，，

因为对任意的正实数，，

由归纳假设知，．

即在上为增函数，亦即，

因为，所以．从而对任意，有．

即对任意，有．

这就是说，当时，对任意，也有．

由①、②知，当时，都有．

（3）证明1：先证对任意正整数，．

由（2）知，当时，对任意正整数，都有．令，得．所以．再证对任意正整数，

．

要证明上式，只需证明对任意正整数，不等式成立．

即要证明对任意正整数，不等式（*）成立

以下分别用数学归纳法和基本不等式法证明不等式

①当时，成立，所以不等式（*）成立．

②假设当（）时，不等式（*）成立，即．

则．

因为

所以．

这说明当时，不等式（*）也成立．由①、②知对任意正整数，不等式（*）都成立．

综上可知，对任意正整数，成立

（1）

（2）由（1）可知当时，

设

则又及，所以所求实数的最小值为

法一（1）取中点，连接，则，

∴四边形是平行四边形，∴//

∵直角△和直角△中，

∴直角△直角△，易知

∴

∵平面平面，平面平面

∴平面

∴，

∵

∴平面．

∴平面平面．

（2）设交于，连接，则是直线与平面所成的角．设

由△△，知，

∵

∴，

∵∴，

作于，由，知平面，

∴，

∴是二面角的平面角．

∵△△，

∴，而

∴

∴，

∴，

即二面角的平面角的余弦值为．

法二：

（1）∵平面平面，

平面平面，

∴平面

又∵，故可如图建立空间直角坐标系

2分

由已知，，，（）

∴，，

∴，，

∴，，

∴平面．

∴平面平面

（2）由（Ⅰ），平面的一个法向量是，

设直线与平面所成的角为，

∴，

∵

∴，即

设平面的一个法向量为，，

由，

∴，令，则

∴，

显然二面角的平面角是锐角，

∴二面角的平面角的余弦