文科数学 南京市2016年高三期末试卷
精品
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填空题 本大题共15小题,每小题5分,共75分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
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分值: 5分

2.已知复数是虚数单位),则________.

正确答案

解析

根据复数的除法直接计算出z=,然后根据模的定义知:

所以

考查方向

本题主要考查了复数的除法运算及模的计算,在近几年的各省高考题出现的频率较高,体现了对学生基本运算的掌握与区分。

解题思路

求复数的模,先将复数化为一般形式。

易错点

1、复数除法运算时,法则使用错误,尤其是分母计算出错。

2、复数模的符号的理解,计算模时忘记开方。

知识点

复数代数形式的乘除运算复数求模
1
题型:填空题
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分值: 5分

5.某校高一年级有学生人,高二年级有学生人,现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出人,其中从高一年级学生中抽出人,则从高三年级学生中抽取的人数为    ________.

正确答案

解析

根据题意设出高一和高三要抽取的人数,根据题意列出关于所设的未知量的方程,解出结果,根据高一的总人数和要抽取的人数,求出每个个体被抽到的概率,根据概率相等做出高三的总人数.

由题意得:高一年级与高二年级的抽取比例为:400:360,即10:9,故高二年级抽取人数为18人,所以高三年级抽取的人数为55-20-18=17人

所以答案为

考查方向

本题主要考查了分层抽样,是统计部分的高频考点,体现了学生的基础知识掌握能力。

解题思路

按照分层抽样的定义,按照一定地比例抽样,抓住一定比例即可快速解决问题。

易错点

不能理清分层抽样中的比例问题。

知识点

分层抽样方法
1
题型:填空题
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分值: 5分

6.在平面直角坐标系中,已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点在轴上,若曲线经过点,则其焦点到准线的距离为________.

正确答案

解析

设所求抛物线方程为y2=2px,

依题意9=2p

∴p=

又因为其焦点到准线的距离为p

故答案为:

考查方向

本题主要考查了抛物线的定义,在近几年的各省高考题出现的频率较高,常与抛物线的方程等知识点交汇命题,体现了学生的基础知识掌握能力。

解题思路

理解题意,代入点P求出抛物线的方程,有方程去解决性质问题。

易错点

1、抛物线的方程和图像记忆出错 。

2、不能准确理解焦点到准线的距离,从而不知如何求解。

知识点

抛物线的标准方程和几何性质
1
题型:填空题
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分值: 5分

8.设一个正方体与底面边长为,侧棱长为的正四棱锥的体积相等,则该正方体的棱长为________.

正确答案

解析

设正方体的棱长为a,利用等体积法即可计算出正方体的棱长为a=

考查方向

本题主要考查了空间几何体的体积计算及空间想象能力,体现了学生的基础知识掌握能力。

解题思路

空间几何体的体积计算及空间想象能力

易错点

对几何体的体积计算公式理解不到位,使用错公式。

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积
1
题型:填空题
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分值: 5分

9.在中,设分别为角的对边,若,则边=    ________.

正确答案

解析

在三角形中,利用三角形的内角和A+B+C= ,则可以求出SinC,然后利用正弦定理即可计算出=7.

考查方向

本题主要考查了解三角形中的正、余弦定理,在近几年的各省高考题出现的频率较高,常与三角恒等变形公式,等知识点交汇命题。

解题思路

画出草图,标出已知信息,根据已知元素,合理准确地使用正、余弦定理求解。

易错点

根据已知额信息,不能如何准确地使用正、余弦定理求解。

知识点

同角三角函数间的基本关系正弦定理余弦定理
1
题型:填空题
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分值: 5分

1.已知集合,则=________.

正确答案

解析

计算出A= ,直接用交集的定义,找出两个集合的公共元素-1. 所以=

考查方向

本题主要考查了集合的运算,在近几年的各省高考题出现的频率较高,体现了学生的基础知识掌握能力。

解题思路

解决集合问题,一定要抓住集合的元素,然后按照集合的交集运算找出符号的元素即可。

易错点

对集合的交与并运算的混淆,尤其是符号的认识与记忆。

知识点

交集及其运算
1
题型:填空题
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分值: 5分

3.书架上有本数学书,本物理书,从中任意取出本,则取出的两本书都是数学书的概率为________.

正确答案

解析

这是一个古典概率问题.概率值为一个分式.用列举法求解。分母是样本点总数,为:从5本书中任意抽取两本,总的基本事件总数为10个,分子为事件的样本点数,为:5本书中任意抽取两本数学书,其基本事件总数为6个,所以取出的两本书都是数学书的概率为

考查方向

本题主要考查了古典概型,在近几年的各省高考题出现的频率较高,体现了学生的基础知识掌握能力。

解题思路

求解古典概型问题,关键是准确地计算出总的基本事件个数,和所要求的事件包含的基本事件个数。

易错点

对基本事件总数不能准确地计算出。

知识点

古典概型的概率
1
题型:填空题
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分值: 5分

4.运行如图所示的伪代码,其结果为________.

正确答案

解析

经过第一次循环得到I=1,S=1+1=2,I=3

经过第二次循环得到I=3,S=2+3=5,I=5

经过第三次循环得到I=5,S=5+5=10,I=7

经过第四次循环得到I=7,S=10+7=17,I=9

此时I=9,不满足循环的条件I≤7,退出循环输出S=17

故答案为:17.

考查方向

本题主要考查了循环结构流程图,在近几年的各省高考题出现的频率较高,对学生的读图和分析理解能力有一定要求。

解题思路

解决循环结构框图问题,首先要找出控制循环的变量其初始值、步长、终值,然后看循环体。

易错点

1、不恩能够理解并认清终止循环结构的条件及循环次数。

2、对循环体的立即出现问题,看不懂。

知识点

循环结构
1
题型:填空题
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分值: 5分

7.已知实数满足则目标函数的最小值为________.

正确答案

解析

 得做出不等式组对应的平面区域

平移直线 ,由平移可知,当直线 经过点C(1,4)时,直线的截距最大,此时最小。由 ,解得 ,即C(1,4) ,代入 得最小值为z=1-4=-3 故答案为目标函数的最小值为

考查方向

本题主要考查了线性规划,在近几年的各省高考题出现的频率较高,体现了学生的基础知识掌握能力。

解题思路

画出线性约束条件,直接代入区域的顶点坐标,进而比较出最小值即可。

易错点

1、不能准确地画出线性约束条件表示的区域 。

2、找最优解时不够准确,弄混最大值和最小值。

知识点

求线性目标函数的最值
1
题型:填空题
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分值: 5分

10.设是等比数列的前项和,,若,则的最小值为    ________.

正确答案

解析

设等比数列的公比为q>0, q1

的最小值为20

考查方向

本题主要考查了等比数列性质,基本不等式的运用,体现了学生的综合知识掌握能力。

解题思路

利用等比数列的性质,将转化为用S6、S3表示,并观察出可以使用基本不等式。

易错点

1、等比数列求和的性质不能正确使用,注意的是“片段和”,而不是“和”。

2、本题不容易联系到基本不等式,并正确地使用不等式:一正二定三相等。

知识点

等比数列的基本运算等比数列的性质及应用
1
题型:填空题
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分值: 5分

14.设函数的图象上存在两点,使得是以为直角顶点的直角三角形(其中为坐标原点),且斜边的中点恰好在轴上,则实数的取值范围是________.

正确答案

解析

根据条件知P, Q的横坐标互为相反数,不妨设P(-t, t3+t2), B(t, f(t)(t>0)

若t<e,则f(t)=-t3+t2,

由∠POQ是直角得=0,即-t2+( t3+t2)(-t3+t2)=0,

即t4-t2+1=0.此时无解;

若t≥1,则f(t)=alnx,.由于PQ的中点在y轴上,且∠POQ是直角,

所以Q点不可能在x轴上,即t≠1.

同理=0,  即-t2+( t3+t2)·alnx=0,

整理后得 实数a的取值范围是

考查方向

本题主要考查了分类讨论的思想,在近几年的各省高考题出现的频率较高,常与函数单调性、值域、奇偶性、向量等知识点交汇命题。

解题思路

利用垂直的条件即数量积为0是本题破题的关键,同时对变量进行分类讨论,转化为求函数的值域问题。

易错点

1、是以为直角顶点的直角三角形这个条件如何准确地转化。

2、分类讨论的标准,如何不重复、不遗漏。

知识点

利用导数研究函数的单调性利用导数求参数的取值范围
1
题型:填空题
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分值: 5分

13.设是定义在上的奇函数,且,设 若函数有且只有一个零点,则实数的取值范围是________.

正确答案

解析

是定义在上的奇函数,且

f(0)=0,解得m=-1

=2x+,

则当x>1时,函数为增函数,且当x1时,g(x)

当x 1时,函数为减函数,且当x1时,g(x) 

得,g(x)=t,做出图像如下,即图像只有一个交点可得实数的取值范围是

考查方向

本题主要考查了函数与方程的思想,在近几年的各省高考题出现的频率较高,常与函数单调性、周期性、对称型、奇偶性等知识点交汇命题。

解题思路

函数与方程的思想,将函数的零点转化为方程的解、两个函数的交点,用函数的图形来处理。

易错点

1、对零点概念、方程与函数的思想理解不到位,不能准确地转化为函数来处理。

2、本题不容易理解有且只有一个零点含义,从而造成求解上的不精确。。

知识点

函数奇偶性的性质函数零点的判断和求解
1
题型:填空题
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分值: 14分

17.如图所示,是两个垃圾中转站,的正东方向千米处,的南面为居民生活区. 为了妥善处理生活垃圾,政府决定在的北面建一个垃圾发电厂. 垃圾发电厂的选址拟满足以下两个要求(可看成三个点):①垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比,比例系数相同;②垃圾发电厂应尽量远离居民区(这里参考的指标是点到直线的距离要尽可能大). 现估测得两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为吨和吨,问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求?

正确答案

选址应满足千米,千米.

解析

试题分析:本题属于解三角形应用题,题目的理解有一定难度,要注意读懂题意,选择函数模型来解决是本题的关键。

解法一:由条件①,得.

所以点到直的距离

所以当,即时,取得最大值15千米.

即选址应满足千米,千米.

解法二:以所在直线为轴,线段的中垂线为轴,建立平面直角坐标系.

.

由条件①,得.

,则

化简得,

即点的轨迹是以点()为圆心、为半径的圆位于轴上方的半圆.

则当时,点到直线的距离最大,最大值为千米.

所以点的选址应满足在上述坐标系中其坐标为即可

考查方向

本题考查了解三角形的应用题,分清条件和结论,理顺数量关系,建立相应数学模型,利用正弦定理、余弦定理求解数学模型,得出数学结论。

解题思路

本题解三角形的应用题,解题步骤如下:

1、弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系。

2、建立相应数学模型。

3、利用正弦定理、余弦定理、求函数最值求解数学模型。

4、得出数学结论。

易错点

1、不能准确读懂题意,理顺数量关系。

2、转化为解三角形问题时,点到直线的距离要尽可能大的理解与求解。

知识点

根据实际问题选择函数类型利用导数求函数的最值
1
题型:填空题
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分值: 5分

11.如图,在中,,则的值为________.

正确答案

解析

说明D在线段BC上,且是靠近B的一个三等分点,以向量, 为一组基底,表示出向量的数量积,即可算出的值为

考查方向

本题主要考查了平面向量的数量积,在近几年的各省高考题出现的频率较高,常与三角恒等变形公式,向量的运算等知识点交汇命题。

解题思路

平面向量的数量积计算问题,往往有两种形式,一种是数量积的定义,而是利用数量积的坐标运算公式,涉及几何图形的问题,可利用几何性质用一组已知基底数量积表示所求数量积。

易错点

1、本题易直接使用数量积的定义,而不知如何计算夹角。

2、不会选择一组基底,从而用向量的加减运算及利用几何性质用一组已知基底数量积表示所求数量积

知识点

余弦定理平面向量数量积的运算向量在几何中的应用
1
题型:填空题
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分值: 5分

12.过点的直线与圆相交于两点,若点恰好是线段的中点,则直线的方程为________.

正确答案

解析

有割线定理得,(PC-)(PC+ )=PA.PB,所以,20=2PA2

 PA2=10

设A(x,y),则(x+4)2+y2=10与圆联立可得

x=-1, y=1

直线的方程为

考查方向

本题主要考查了直线与圆的位置关系,在近几年的各省高考题出现的频率较高,涉及求弦长、圆的几何性质等问题。

解题思路

直线与圆相交的问题,常常考查求弦长问题,涉及到弦的中点即可使用圆的相关的几何性质,转化为直线垂直,进而求出斜率,使用点斜式求出方程。

易错点

1、本题点恰好是线段的中点这一重要信息不能紧密地和圆中的几何性质垂径定理联系起来。

2、两直线垂直的等价条件不能与直线的斜率联系起来。

知识点

直线的一般式方程直线与圆相交的性质
简答题(综合题) 本大题共76分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
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分值: 14分

15.设函数的部分图象如图所示.

(1)求函数的解析式;

(2)当时,求的取值范围.

正确答案

(1)

(2)

解析

试题分析:本题属于三角函数图像的基本问题,题目的难度是逐渐由易到难,(1)直接按照求A、ω、φ步骤来求(2)转化成求函数的最值,要结合图像,要特别注意函数的定义域。

(1)由图象知,

,所以,得.

所以,将点代入,得

,又,所以.

所以.

(2)当时,

所以,即.

考查方向

本题考查了三角函数的图形和性质,利用三角函数的图像求函数解析式,根据函数的图像求函数的取值范围。

解题思路

本题考查三角函数的图形和性质,解题步骤如下:

1、根据函数图像,确定A、ω、φ,进而求出函数的解析式。

2、求函数的解析式,必须在给定的x的取值范围内求解。

易错点

1、第一问中的根据角的范围如何确定φ。2、第二问中求的取值范围,必须先求出x的取值范围,同时结合三角函数的图像去分析。

知识点

正弦函数的定义域和值域由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式
1
题型:简答题
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分值: 16分

18.如图,在平面直角坐标系中,设点是椭圆上一点,从原点向圆作两条切线分别与椭圆交于点,直线的斜率分别记为.

(1)若圆轴相切于椭圆的右焦点,求圆的方程;

(2)若.

①求证:

②求的最大值.

正确答案

(1)圆的方程为.(2)详见解析  

解析

试题分析:本题属于直线与圆锥曲线的综合问题,题目的难度较大,(1)直接求圆心和半径(2)证明定值问题时,要先表示出来,再通过计算化简得到(3)的最大值涉及到基本不等式,要能正确地使用基本不等式。

(1)因为椭圆右焦点的坐标为,所以圆心的坐标为

从而圆的方程为.

(2)①因为圆与直线相切,所以

同理,有

所以是方程的两根,

从而.

②设点,联立

解得

同理,

所以

, 当且仅当时取等号. 所以的最大值为.

考查方向

本题考查了椭圆的方程,直线与圆的位置关系,直线与椭圆的位置关系。

解题思路

本题考查直线与圆锥曲线的位置关系,解决直线与椭圆的位置关系的相关问题时,常规思路是先把直线与椭圆联立方程组,消元、化简,然后应用根与系数的关系代入化简,从而解决相关问题。

易错点

1、第二问中证明,计算不出来常数。

2、第三问中求时,计算错误,同时使用基本不等式时有一定的难度。

知识点

圆的一般方程圆锥曲线中的范围、最值问题圆锥曲线的定点、定值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
1
题型:简答题
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分值: 14分

16.如图,已知直三棱柱的侧面是正方形,点是侧面的中心,是棱的中点.

(1)求证:平面

(2)求证:平面平面.

正确答案

详见解析

解析

试题分析:本题是空间中平行与垂直的基本问题,题目的难度是逐渐由易到难,证明的关键是按照线面平行、面面垂直的判定,找到使定理成立的条件,所以空间中的读图能力,熟练把握空间中垂直关系的判定与性质是解题的突破口。

证明:(1)在中,因为的中点,的中点,

所以.

平面平面,所以平面.

(2)因为是直三棱柱,所以底面,所以

,即,而,且

所以.

,所以

是正方形,所以,而,且

所以.

,所以面.

考查方向

本题考查了线面平行的判定定理、面面垂直的判定定理、空间想象能力。

解题思路

本题考查空间中平行与垂直的证明

1、证明线面平行时,关键是设法在平面内找到一条直线与已知直线平行。

2、证明面面垂直本质是转化为证线面垂直,关键是在证线面垂直时,找到两条线是相交直线与已知直线垂直,同时熟练把握空间中垂直关系的判定与性质。

易错点

1、第一问中的易忽视线面平行中线在面外。

2、第二问中证明面面垂直本质是转化为证线面垂直,不要忽视证线面垂直时,两条线是相交直线,同时熟练把握空间中垂直关系的判定与性质。

知识点

直线与平面平行的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质
1
题型:简答题
|
分值: 16分

19.已知函数处的切线方程为.

(1)求的值;

(2)若对任意的,都有成立,求的取值范围;

(3)若函数的两个零点为,试判断的正负,并说明理由.

正确答案

(1)

(2)

(3)

解析

试题分析:本题属于导数应用中的基本问题,题目的难度是逐渐由易到难,(1)直接按照步骤来求(2)要注意对参数的讨论(3)涉及恒成立问题,转化成求函数的最值,这种思路是一般解法,往往要利用“分离参数法”.涉及对数函数,要特别注意函数的定义域.

(1)由题意得,因函数在处的切线方程为

所以,得.

(2)由(1)知对任意都成立,

所以,即对任意都成立,从而.

又不等式整理可得,令

所以,得

时,,函数上单调递增,

同理,函数上单调递减,所以

综上所述,实数的取值范围是.

(3)结论是.

证明:由题意知函数,所以

易得函数单调递增,在上单调递减,所以只需证明即可.

因为是函数的两个零点,所以,相减得

不妨令,则,则,所以

即证,即证

因为,所以上单调递增,所以

综上所述,函数总满足成立.

考查方向

本题考查了利用导数的几何意义,利用导数求含参数的函数单调区间,分类讨论讨论点大体可以分成以下几类:

1、根据判别式讨论;

2、根据二次函数的根的大小;

3、定义域由限制时,根据定义域的隐含条件;

4、求导形式复杂时取部分特别常常只需要转化为一个二次函数来讨论;

5、多次求导求解等.

解题思路

本题考查导数的性质,解题步骤如下:

1、求导,然后解导数不等式,算极值。

2、对参数分类讨论求得单调区间。

3、涉及恒成立问题,转化成求函数的最值,利用“分离参数法”

易错点

1、第二问中恒成立问题,转化为求函数的最值,最值如何求解。

2、第三问中构造函数不正确得不到正确结论。

知识点

导数的几何意义利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的极值利用导数求参数的取值范围
1
题型:简答题
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分值: 16分

20.设数列共有项,记该数列前中的最大项为,该数列后中的最小项为.

(1)若数列的通项公式为,求数列的通项公式;

(2)若数列满足,求数列的通项公式;

(3)试构造一个数列,满足,其中是公差不为零的等差数列,是等比数列,使得对于任意给定的正整数,数列都是单调递增的,并说明理由.

正确答案

(1).

(2).  

(3)

解析

试题分析:本题属于数列综合问题,题目的难度是逐渐由易到难,(1)(2)直接按照单调数列定义来求(3)构造新数列时,要把握问题的本质。

(1)因为单调递增,所以

所以.

(2)根据题意可知,,因为,所以

可得,又因为,所以单调递增,

,所以,即

所以是公差为2的等差数列,.

(3)构造,其中.

下证数列满足题意.

证明:因为,所以数列单调递增,

所以

所以

因为

所以数列单调递增,满足题意.

考查方向

本题考查了等差、等比数列的定义与性质,数列单调性的理解与运用。

解题思路

解决等差数列与等比数列的综合问题,关键是理清两个数列的关系。解综合问题的成败在于审清题意,通过给定信息的表象,抓住问题的本质,揭示问题的内在联系与隐含条件。

易错点

1、数列单调性的巧妙运用。

2、第三问中构造不正确得不到正确结论。

知识点

由递推关系式求数列的通项公式等差数列与等比数列的综合

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