2015年高考真题 理科数学 (浙江卷)
精品
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单选题 本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

3.已知是等差数列,公差d不为零,前项和是,若成等

比数列,则(  )

A

B 

C

D

正确答案

B

解析

试题分析:利用公差不为0的等差数列中成等比数列,可得出,从而判断出给出的项与0的大小关系。

设等差数列{}的首项为,公差为d,则成等差数列,∴,整理可得,∵d≠0,∴

故选B.

考查方向

本题考查了等差数列和等比数列的性质,等差数列的前n项和,属于基础题.

解题思路

根据等差数列的通项公式,等比数列的性质,求出首项和公差d的关系,然后利用首项表示出前4项和,判断出符号.

易错点

要熟记的等差数列和等比数列的通项公式和前n项和公式.

知识点

等差数列的性质及应用等比数列的性质及应用
1
题型: 单选题
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分值: 5分

4.命题“f(n)≤n的否定形式是(  )

Af(n)>n

Bf(n)>n

C

D

正确答案

D

解析

试题分析:由全称命题的否定是特称命题,得出结论即可。

f(n)≤n的否定形式是:“  ”,

故选D.

考查方向

本题考查了含有量词的命题的否定,属于基础题.

解题思路

根据全称命题的否定,把任意改为存在,然后否定结论即可.

易错点

注意含有量词的命题的否定中把任意改为存在,且的否定为或.

知识点

全(特)称命题的否定
1
题型: 单选题
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分值: 5分

5.如图,设抛物线的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点ABC,其中点AB在抛物线上,点C在轴上,则的面积之比是(  )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

试题分析:如图作出抛物线的准线,经过A、B分别向准线作垂线,利用三角形相似

和抛物线的性质,求出三角形面积的比值。

作抛物线的准线x=-1,经过A、B分别向准线作垂线,垂足分别为E,D,与y轴分别

交于N,M,由抛物线的定义可知|BF|=|BD|,|AF|=|AE,|BM||=|BD|-1=|BF|-1,

|AN||=|AE|-1=|AF|-1,∴,故选A.

考查方向

本题考查了抛物线的定义,三角形的面积,属于基础题.

解题思路

作出抛物线的准线,经过A、B分别向准线作垂线,利用三角形的面积公

式,把三角形面积的比值利用三角形相似进行转化.

易错点

注意正确求出抛物线的准线.

知识点

抛物线的标准方程和几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
1
题型: 单选题
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分值: 5分

8.如图,已知△ABC,D是AB的 中点,沿直线CD将△ACD折成△A′CD,所成二面角A′-CD-B的平面角为α,则(      )

A∠A′DB≤α

B∠A′DB≥α

C∠A′CB≤α

D∠A′CB≥α

正确答案

B

解析

试题分析:分AC=BC和AC≠BC两种情况,作出二面角的平面角进行判断。

当AC=BC时,∠A′DB为二面角A′-CD-B的平面角,∠A′DB=α;

当AC≠BC时,∠A′DB>α,故选B.

考查方向

本题考查了二面角的平面角及其求法,属于中等题。

解题思路

作出二面角的平面角,然后进行判断即可。

易错点

注意角的关系中等号成立的条件。

知识点

线面角和二面角的求法
1
题型: 单选题
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分值: 5分

1.已知集合P={},Q={x|1<x<2},则 (   )

A[0,1)

B(0,2]

C(1,2)

D[1,2]

正确答案

C

解析

试题分析:由集合P={}={x|x≤0或x≥2},求出,最后求出交集即可。

P={}={x|x≤0或x≥2},则={x|0<x<2},则={x|1<x<2},故选C.

考查方向

本题考查了补集,交集的运算,解一元二次不等式,本题属于基础题.

解题思路

首先由集合P中的元素满足的不等式求出集合P,然后求出集合P的补集,

最后求出集合P的补集与集合Q的交集.

易错点

求集合P的过程中不要忘了等号.

知识点

交、并、补集的混合运算
1
题型: 单选题
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分值: 5分

6.设A,B是有限集,定义d(A,B)=card(A,B)=card(A∪B)-card(A∩B),其中card(A)表示有限集A中的元素个数,

命题①:对任意有限集A,B,“A≠B”是“d(A,B)>0”的充分必要条件;

命题②:对任意有限集A,B,C,d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C),

A命题①和命题②都成立

B命题①和命题②都不成立

C命题①成立,命题②不成立

D命题①不成立,命题②成立

正确答案

A

解析

试题分析:根据充分性和必要性判断出命题①正确;根据集合间的关系判断出命

题②正确。

命题①:对任意有限集A,B,若“A≠B”,则A∪B≠A∩B,则card(A∪B)>car(A∩B),

故“d(A,B)>0”成立,

若d(A,B)>0”,则card(A∪B)>card(A∩B),则A∪B≠A∩B,故A≠B成立,故

命题①成立,

命题②,d(A,B)=card(A∪B)-card(A∩B),d(B,C)=card(B∪C)-card

(B∩C),

∴d(A,B)+d(B,C)=card(A∪B)-card(A∩B)+card(B∪C)-card(B∩C)=[card

(A∪B)+card(B∪C)]-[card(A∩B)+card(B∩C)]

≥card(A∪C)-card(A∩C)=d(A,C),故命题②成立,

故选:A:

考查方向

本题考查了命题真假的判断,充分必要条件,属于基础题.

解题思路

根据充分必要条件的条件进行判断命题①;借助新定义和集合的运算判断命

题②,从而得出结论.

易错点

充分必要条件要从充分性和必要性两个方面来证明.

知识点

集合的确定性、互异性、无序性集合中的新定义问题
1
题型: 单选题
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分值: 5分

7.存在函数f(x)满足,对任意x∈R都有(   )

Af(sin2x)=sinx

B

C        

D

正确答案

D

解析

试题分析:对于A,通过取x=0和,可得出f(0)有两个不同的值;对于B,通

过x取0和π,可得出f(0)有两个不同的值;对于C,通过x取±1,可得出f(2)有两个

不同的值,根据函数的定义可判断出这三项不正确,得出结论。

A.取x=0,则sin2x=0,∴f(0)=0,取,则sin2x=0,∴f(0)=1;f(0)有两个

值不符合函数的定义;

B. 取x=0,则f(0)=0,取x=π,则,f(0)有两个值不符合函数的定义;

C.取x=1,则f(2)=2,取x=-1,则f(2)=0;f(2)有两个值不符合函数的定义;

D.令x+1=t,则化为;令,则

,即存在函数,对任意x∈R,都有

故选D.

考查方向

本题考查了对函数的概念的理解,属于中等题.

解题思路

通过取特殊值和函数的定义进行判断.

易错点

对函数概念的理解.

知识点

三角函数的化简求值
1
题型: 单选题
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分值: 5分

2.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是(  )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

试题分析:由几何体的三视图确定几何体的形状,求出几何体的体积。

由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方形,上面是底面边长为2的正方形、高为2的正四棱锥,∴几何体的体积为+×2×2×2=.故选C.

考查方向

本题考查了三视图与直观图的判断,几何体的体积的求法,考察计算能力,本题属于基础题.

解题思路

判断几何体的形状,利用三视图的数据,求几何体的体积即可.

易错点

求棱锥的体积是不要忘记乘.

知识点

由三视图还原实物图
填空题 本大题共7小题,每小题6分,共42分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
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分值: 6分

11.函数的最小正周期是      ,单调递减区间是        

正确答案

解析

试题分析:由三角函数中的公式把函数转化为一个角的三角函数,然后利用周期公式和正弦函数的单调性求出函数的单调递减区间。

∴函数的最小正周期为T =π;

可得

∴函数的单调递减区间为[](k∈Z).

考查方向

本题考查了三角和与差的三角函数,三角函数的周期的求法,正弦函数的单

解题思路

根据二倍角公式和两角差的正弦公式,把函数转化为一个角的三角函数

,然后求出最小正周期和单调递减区间.

易错点

要熟记三角函数中的公式,正确利用公式把函数转化为一个角的三角函数.

1
题型:填空题
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分值: 6分

10.已知函数,则f(f(-3))=_________,f(x)的最小值是_______.

正确答案

0;

解析

试题分析:利用分段函数的解析式求出函数值和函数的最小值。

,∴f(3)=lg10=1,f(f(-3))=f(1)=0;

当x≥1时,,当且仅当时等号成立;

当x<1时,f(x)≥0,当且仅当x=0时取得最小值,所以函数的最小值为

考查方向

本题考查了分段函数的求值,分段函数的最值,属于基础题。

解题思路

根据分段函数的解析式,首先求出f(-3)的值为,再求出f(f(-3))的值;分别求

出函数在两段上的最小值,比较得出函数的最小值。

易错点

分段函数求值要代入到对应的解析式中,注意基本不等式等号成立的条件。

知识点

分段函数的解析式求法及其图象的作法函数的值
1
题型:填空题
|
分值: 6分

9.双曲线的焦距是      ,渐近线方程是          

正确答案

,

解析

试题分析:由双曲线,可求出c=,得到焦距和渐近线方程。

∵双曲线中,,∴c=,∴焦距,渐近线方程为.

考查方向

本题考查了双曲线的简单几何性质,属于基础题。

解题思路

根据双曲线的方程求出2c和渐近线方程。

易错点

注意双曲线中焦距为2c,双曲线的渐近线方程。

知识点

双曲线的几何性质
1
题型:填空题
|
分值: 4分

12.若,则     

正确答案

解析

试题分析:根据指数式与对数式的关系求出,然后代入求值。

,∴,即,∴

考查方向

本题考查了对数的运算,对数式与指数式的关系,属于基础题.

解题思路

可得出,然后代入进行求值即可.

易错点

要正确应用指数的运算法则.

知识点

对数的运算性质
1
题型:填空题
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分值: 4分

13.如图,三棱锥A-BCD中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点M,N分别是AD,BC的中点,则异面直线AN,CM所成的角的余弦值是        

正确答案

解析

试题分析:利用中位线作出异面直线所成的角,然后在三角形中利用余弦定理求出余弦值即可。

连结ND,取ND 的中点为E,连结ME,则ME∥AN,异面直线AN,CM所成的角就是∠EMC,
,∴
又∵EN⊥NC,∴


故答案为:

考查方向

本题考查了异面直线所成的角,余弦定理的应用,属于基础题.

解题思路

连结ND,取ND 的中点为E,连结ME说明异面直线AN,CM所成的角

就是∠EMC通过解三角形,求解即可.

易错点

异面直线所成的角为锐角或直角.

知识点

异面直线及其所成的角
1
题型:填空题
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分值: 6分

15.已知是空间单位向量,,若空间向量满足,且对于任意x,y∈R,,则                

正确答案

1;2;

解析

试题分析:利用向量模的平方及取到的最小值进行转化,求出值即可。

,∴当且仅当时取得最小值1,两边平方可得时取到最小值1,

考查方向

本题主要考查了空间向量的数量积的性质,向量的模,属于中等题.

解题思路

根据空间向量的模的平方等于向量数量积的平方,由向量模的最小值进行转

化,利用取得最小值时的条件求解.

易错点

空间向量模的平方的运算.

知识点

空间向量的数量积运算向量的数量积判断向量的共线与垂直空间直线的向量参数方程
1
题型:填空题
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分值: 4分

14.若实数x,y满足,则|2x+y-2|+|6-x-3y |的最小值是       

正确答案

3;

解析

试题分析:由直线与圆的位置关系,分类讨论去掉绝对值,利用线性规划求出最小值。

表示圆及其内部,易得6-x-3y与圆相离,故|6-x-3y|=6-x-3y,

当2x+y-2>0时,|2x+y-2|+|6-x-3y |=x-2y+4,则可知当时,取得最小值3;当2x+y-2<0时,|2x+y-2|+|6-x-3y |=8-3x-4y,

可知当时,取得最小值3,

综上所述,|2x+y-2|+|6-x-3y |的最小值为3.

考查方向

本题考查了直线与圆的位置关系,利用线性规划求最值问题,属于中等题.

解题思路

根据直线与圆的位置关系,可得出6-x-3y>0,然后根据2x+y-2与0的

大小关系,去掉绝对值,利用线性规划的知识求出最小值.

易错点

注意利用直线与圆的位置关系去掉绝对值符号.

知识点

圆的一般方程直线和圆的方程的应用
简答题(综合题) 本大题共74分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
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分值: 15分

如图,在三棱柱-中,BAC=,AB=AC=2,A=4,在底面ABC的射影为BC的中点,D为的中点.

17.证明:D平面

18.求二面角-BD-的平面角的余弦值

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析;

解析

试题分析:由条件设E为BC的中点,可证得AE⊥平面,再证明,即可证得;

考查方向

本题考查了空间直线与平面垂直的判定,二面角及其求法,属于中等题.

解题思路

由线面垂直的判定定理,两平行线中的一条垂直于一个平面,另一条也垂

直于这个平面,得出结论;的余弦值.

易错点

注意二面角的取值范围,分清是锐角还是钝角.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

.

解析

,且,可证明为二面角的平面角,再由余弦定理可求得,从而求解.

设E为BC的中点,由题意可得,

,∵AB=AC,∴,故,

由D,E分别为,BC的中点,得DE∥且DE=,从而DE∥,

∴四边形为平行四边形,故,又∵AE⊥平面,

;(2)作,且,连接,由AE=EB=,,得,由,,得,由,得,因此为二面角的平面角,

==4,,得BD=3,

由余弦定理得,.

考查方向

本题考查了空间直线与平面垂直的判定,二面角及其求法,属于中等题.

解题思路

作出二面角的平面角,在三角形中利用余弦定理求出二面角

的余弦值.

易错点

注意二面角的取值范围,分清是锐角还是钝角.

1
题型:简答题
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分值: 15分

19.已知函数(a,bR),记M(a,b)是|f(x)|在区间[-1,1]上的最大值。

(1)证明:当|a|≥2时,M(a,b)≥2;

(2)当a,b满足M(a,b)≤2,求|a|+|b|的最大值.

正确答案

(1)详见解析;(2)3;

解析

试题分析:(1)分析题意可知上单调,从而可知M(a,b)=max,分类讨论a的取值范围即可求解;(2)分析题意可知|a|+|b|=,再由M(a,b) ≤2可得|1+a+b|=|f(1)|2,|1-a+b|=f(1) 2,即可求证.

(1)由f(x)= ,得对称轴为直线,由|a|2,得,故f(x)在上单调,∴M(a,b)=max{|f(1)|,|f(-1)|},当a2时,由f(1)-f(-1)=2a4,得max{f(1),f(-1)} 2,即M(a,b) 2,当a-2时,由f(-1)-f(1)=2a4,得max{f(1),f(-1)} 2,即M(a,b) 2,综上,当|a|2时,M(a,b)2;

(2)由M(a,b)2得|1+a+b|=f(1) 2,|1-a+b|=|f(1)| 2,故|a+b|3,且上的最大值为2,即M(2,-1)=2,∴|a|+|b|3,当a=2,b=-1时,|a|+|b|=3,且上的最大值为2,即M(2,-1)=2,∴|a|+|b|的最大值为3.

考查方向

本题考查了二次函数在闭区间上求最值,分类讨论思想的应用,属于中等题.

解题思路

(1)根据a的取值范围,得到函数在[-1,1]上的单调性,分类讨论证得结论;(2)由题中给出的新定义进行求解.

易错点

二次函数在闭区间上的单调性.

知识点

函数的单调性及单调区间导数的几何意义不等式与函数的综合问题
1
题型:简答题
|
分值: 14分

16.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知.

(1)求tanC的值;

(2)若△ABC的面积为7,求b的值。

正确答案

(1)2;(2)b=3;

解析

试题分析:根据正弦定理可将条件中的边之间的关系转化为角之间的关系,再将式子作三角恒等变型即可求解;(2)根据条件首先求得的值,再结合正弦定理以及三角形面积的计算公式即可求解.

(1)由及正弦定理得,∴,又由,即,得,解得;

(2)由,,

又∵,∴,由正弦定理得,

又∵,,∴,故b=3。

考查方向

本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算

解题思路

(1)利用正弦定理和三角函数的诱导公式,同角三角函数的关系式进行化简

求解;(2)求出角C的正弦和余弦值,再求出sinB,由正弦定理求出c,最后利用三角形的面

积求出b的值.

易错点

注意三角函数中公式的应用.

知识点

三角形中的几何计算
1
题型:简答题
|
分值: 15分

20.已知椭圆上两个不同的点A,B关于直线y=mx+对称.

(1)求实数m的取值范围;

(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点).

正确答案

(1);(2)

解析

试题分析:(1)可设直线AB的方程为y=,从而可知有两个不同的解,再由AB中点也在直线上,即可得到关于m的不等式,从而求解;(2)令t=,可将表示为t的函数,从而将问题等价转化为在给定范围上求函数的最值,从而求解.

(1)由题意可知m0,可设直线AB的方程为,由消去y,得,∵直线与椭圆有两个不同的交点,∴,①,将AB中点M()代入直线方程解得,②,由①②得

(2)令,则|AB|=,且O到直线的距离为,设的面积为S(t),

∴S(t)=|AB|d=,当且仅当时,等号成立,故面积的最大值为.

考查方向

本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程

解题思路

(1)设出直线AB的方程,把椭圆和直线方程联立,利用中点的坐标公式,根

与系数的关系求解;(2)表示出三角形的面积,利用二次函数求出最大值即可.

易错点

计算要细心.

知识点

椭圆的定义及标准方程
1
题型:简答题
|
分值: 15分

21.(本题满分15分)

已知数列满足==-(n

(1)证明:1(n);

(2)设数列的前n项和为,证明(n.

正确答案

(1)详见解析;(2)详见解析;

解析

试题分析:(1)首先根据递推公式可得,再由递推公式变形可知,从而得证;(2)由得,,从而可得,即可得证.

(1)由题意得,,即,由,由得,,即

(2)由题意得,∴①,由得,,∴,因此②,由①②得

考查方向

本题是一道数列与不等式的综合题,考查数学归纳法,对表达式的灵活变

解题思路

(1)根据题意,首先求出,然后把进行变形得出结论;(2)通过累加法和累积的方法证得结论.

易错点

对数列的通项公式要灵活变形.

知识点

数列与不等式的综合

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