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（5分）经过点P（2，﹣2），中心为原点、焦点在x轴上且离心率e=
A
B
C
D
正确答案
解析
根据双曲线的离心率设出双曲线的方程，考虑到焦点在x轴和在y轴两种情况，再代入P（2，﹣2），求出双曲线方程即可．
解：由双曲线离心率e=
代入点P（2，﹣2），解得，λ=1
故双曲线的方程为
故选C．
（5分）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
根据三视图的特点，知道左视图从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在面上有一条对角线，对角线是由左下角到右上角的线，得到结果．
解：左视图从图形的左边向右边看，
看到一个正方形的面，在面上有一条对角线，对角线是由左下角到右上角的线，
故选C．
（5分）数列{（﹣1）n•n}的前2016项的和S2016为（ ）
正确答案
解析
将数列中相邻的两项两两组合，即可得出结果．
解：S2016=﹣1+2﹣3+4﹣5+6+…﹣2015+2016
=（﹣1+2）+（﹣3+4）+（﹣5+6）+…+（﹣2015+2016）
=1+1+1+…+1
=1008．
故选：D．
（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x），且在区间[0，2]上是增函数，则（ ）
正确答案
解析
根据f（x﹣4）=﹣f（x），可得f（5）=﹣f（1），f（8）=f（0）．结合函数f（x）是定义在R上的奇函数，得f（0）=0，再由[0，2]上f（x）是增函数，得f（2）＞f（1）＞0，所以f（5）＜0，f（8）=0，而f（2）＞0，可得正确选项．
∵f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x），
∴取x=5，得f（1）=﹣f（5），即f（5）=﹣f（1）
取x=8，得f（4）=﹣f（8）．再取x=4，得f（0）=﹣f（4），可得f（8）=f（0）
∵函数f（x）是定义在R上的奇函数
∴f（0）=0，得f（8）=0
∵函数f（x）在区间[0，2]上是增函数，
∴f（0）＜f（1）＜f（2），
可得f（1）是正数，f（5）=﹣f（1）＜0，f（2）＞0，
因此f（5）＜f（8）＜f（2）
故答案为：B
（5分）已知命题p：函数y=loga（ax+2a）（a＞0且a≠1）的图象必过定点（﹣1，1）；命题q：函数y=|sinx|的最小正周期为2π，则（ ）
正确答案
解析
根据对数函数的性质判断命题p，根据三角函数的性质判断命题q，从而判断出复合命题的真假即可．
命题p：x=﹣1，y=loga（﹣a+2a）=1，
故命题p为真，
命题q：函数y=|sinx|的最小正周期为π，
故命题q为假，
故选：C．
（5分）已知集合A={x|﹣5≤2x﹣1≤3，x∈R}，B={x|x（x﹣8）≤0，x∈Z}，则A∩B=（ ）
正确答案
解析
化简集合A={x|﹣2≤x≤2，x∈R}，B={0，1，2，3，4，5，6，7，8}，根据两个集合的交集的定义求出
A∩B．
解：集合A={x|﹣4≤2x≤4，x∈R}={x|﹣2≤x≤2，x∈R}，
B={x|x（x﹣8）≤0，x∈Z}={x|0≤x≤8，x∈Z}={ 0，1，2，3，4，5，6，7，8}，
∴A∩B={x|0，1，2}，
故选D．
（5分）若x+2y=4，则2x+4y的最小值是（ ）
A4
B8
C2
D4
正确答案
解析
由基本不等式可得2x+4y=2x+22y≥2
解：∵x+2y=4，
∴2x+4y=2x+22y≥2
当且仅当2x=22y即x=2且y=1时取等号，
∴2x+4y的最小值是8
故选：B
（5分）（2012春•舟山期末）若
正确答案
解析
由向量式易得
解：∵
∴
∴
∴△ABC为直角三角形．
故选：A
（5分）（2015秋•福建月考）不等式组x，y满足
A3
B
C
D5
正确答案
解析
先画出不等式组表示的平面区域，求出三角形的顶点坐标，再由三角形面积公式求之即可．
解：不等式组表示的平面区域如图所示，
解得A（﹣2，2）、B（3，﹣2）、O（0，0），
所以S△ABO=
故选：D．
（5分）若0＜α＜
A
B﹣
C
D﹣
正确答案
解析
先利用同角三角函数的基本关系分别求得sin（
∵0＜α＜
∴
∴sin（
∴cos（α+
故选C
（5分）己知曲线f（x）=
A（3，+∞）
B（3，
C（﹣∞，
D（0，3）
正确答案
解析
求得f（x）的导数，由题意可得2x2﹣2x+a﹣3=0有两个不等的正根，运用判别式大于0，两根之和大于0，两根之积大于0，解不等式即可得到a的范围．
解：f（x）=
由题意可得2x2﹣2x+a=3，即2x2﹣2x+a﹣3=0有两个不等的正根，
则△=4﹣8（a﹣3）＞0，x1+x2=1＞0，x1x2=
解得3＜a＜
故选B．
（5分）已知向量
正确答案
解析
利用向量的数量积的定义可求得cosαcosβ+sinαsinβ=
解：由题意可得|
又
∴cosαcosβ+sinαsinβ=
圆（x﹣cosβ）2+（y+sinβ）2=1的圆心坐标为（cosβ，﹣sinβ），半径为1；
∵圆心（cosβ，﹣sinβ）到直线2xcosα﹣2ysinα+1=0的距离为 
∴直线2xcosα﹣2ysinα+1=0与圆（x﹣cosβ）2+（y+sinβ）2=1相切，
故选 C．
【点评】本题主要考查了向量的数量积的定义及坐标表示，直线与圆的位置关系的判断，综合应用向量，点到直线的距离公式等知识，属于中档题．
二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
（5分）椭圆
正确答案
3或
解析
方程中4和m哪个大，哪个就是a2，利用离心率的定义，分0＜m＜4和m＞4两种情况求出m的值．
方程中4和m哪个大，哪个就是a2，
（ⅰ）若0＜m＜4，则a2=4，b2=m，
∴c=
（ⅱ）m＞4，则b2=4，a2=m，
∴c=
综上：m=3或m=
故答案为：3或
（5分）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是
正确答案
解析
正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，所以球心是底面三角形的中心，球的半径，就是三棱锥的高，再求底面面积，即可求解三棱锥的体积．
正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的
三个顶点在该球的一个大圆上，所以球心是底面三角形的中心，
设球的半径为1，所以底面三角形的边长为a，
该正三棱锥的体积：
故答案为：
（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，对∀x∈R都有f（x﹣1）=f（x+1）成立，当x∈（0，1]且x1≠x2时，有
（1）f（1）=0
（2）f（x）在[﹣2，2]上有4个零点
（3）点（2016，0）是函数y=f（x）的一个对称中心
（4）x=2014是函数y=f（x）图象的一条对称轴．
则正确是
正确答案
（1）（3）
解析
根据函数奇偶性和周期性，单调性之间的关系，分别进行判断即可得到结论．
【解答】解：∵对∀x∈R都有f（x﹣1）=f（x+1）成立，
∴对∀x∈R都有f（x+2）=f（x）成立，
即函数y=f（x）是周期为2的周期函数，
∴f（1）=f（﹣1）．
∵当x∈（0，1]且x1≠x2时，有
∴在区间（0，1]上函数为减函数．
又∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（1）=﹣f（﹣1）．
∴f（1）=0，即（1）正确；
满足条件的函数y=f（x）的草图如下所示：
由图可知：
f（x）在[﹣2，2]上有：﹣2，﹣1，0，1，2，共5个零点，即（2）错误；
所有（k，0）（k∈Z）点均为函数的对称中心，故（3）（2016，0）是函数y=f（x）的一个对称中心，正确；
函数y=f（x）图象无对称轴，故（4）错误．
∴正确的命题是：（1）（3）．
故答案为：：（1）（3）．
（5分）设i是虚数单位，复数
正确答案
2
解析
复数的分母实数化，利用复数是纯虚数，求出a的值即可．
因为
故答案为：2．
（12分）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为线段DD1，BD的中点．
（1）求异面直线EF与BC所成的角的正切值．
（2）求三棱锥C﹣B1D1F的体积．
正确答案
（1）连接BD1，
∵E，F分别为线段DD1，BD的中点，∴EF∥BD1，
故∠D1BC即为异面直线EF与BC所成的角．
∵BC⊥平面CDD1C1，CD1⊂平面CDD1C1，
∴BC⊥CD1．
∵正方体棱长为2，∴CD1=2
∴tan∠D1BC=
所以异面直线EF与BC所成的角的正切值为
（2）∵BB1⊥平面ABCD，CF⊂平面ABCD，
∴BB1⊥CF，
∵CB=CD，F是BD中点，
∴CF⊥BD，又BB1∩BD=B，BB1⊂平面BDD1B1，BD⊂平面BDD1B1，
∴CF⊥平面BDD1B1，
又CF=
∴V
所以三棱锥C﹣B1D1F的体积为
解析
（1）连结BD1，则∠D1BC位所求线面角，在Rt△BCD1中计算tan∠D1BC；
（3）证明CF⊥平面BDD1B1，则V
（12分）已知数列{an}为等差数列，a3=5，a7=13，数列{bn}的前n项和为Sn，且有Sn=2bn﹣1，
（1）求{an}，{bn}的通项公式．
（2）若{cn}={
正确答案
（12分）（1）因为{an}是等差数列，且a3=5，a7=13，设公差为d．
所以
所以an=1+2（n﹣1）=2n﹣1（n∈N*）．…（3分）
在{bn}中，因为当n=1时，b1=2b1﹣1，所以b1=1．
当n≥2时，由Sn=2bn﹣1及Sn﹣1=2bn﹣1﹣1可得bn=2bn﹣2bn﹣1，所以bn=2bn﹣1．
所以{bn}是首项为1公比为2的等比数列，所以bn=2n﹣1（n∈N*）．…（6分）
（2）cn=
Tn=c1+c2+…+cn
=
=
解析
（1）利用已知条件列出方程组求出数列的首项与公差，求解通项公式；由Sn=2bn﹣1及Sn﹣1=2bn﹣1﹣1求解数列{bn}的通项公式．
（2）通过裂项法求解数列的前n项和即可．
（12分）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=
（Ⅰ）求△ABC的周长；
（Ⅱ）求cos（A﹣C）的值．
正确答案
（I）∵c2=a2+b2﹣2abcosC=1+4﹣4×
∴c=2，
∴△ABC的周长为a+b+c=1+2+2=5．
（II）∵cosC=
∴sinA=
∵a＜c，∴A＜C，故A为锐角．则cosA=
∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=
解析
（I）利用余弦定理表示出c的平方，把a，b及cosC的值代入求出c的值，从而求出三角形ABC的周长；
（II）根据cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，然后由a，c及sinC的值，利用正弦定理即可求出sinA的值，根据大边对大角，由a小于c得到A小于C，即A为锐角，则根据sinA的值利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的值，然后利用两角差的余弦函数公式化简所求的式子，把各自的值代入即可求出值．
（12分）已知抛物线C的准线方程为x=﹣
（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；
（Ⅱ） 若过点P（t，0）的直线l与抛物线C相交于A、B两点，且以AB为直径的圆过原点O，求证t为常数，并求出此常数．
正确答案
（Ⅰ）由准线方程为
求得p=
故所求的抛物线C的方程为：y2=x； …（4分）
（Ⅱ）证明：依题意可设过P的直线l方程为：x=my+t（m∈R），…（6分）
设A（x1，y1），B（x2，y2）
由
依题意可知△＞0恒成立，且y1•y2=﹣t，…（8分）
原点O落在以AB为直径的圆上．
令
解得：t=1，t=0即t为常数，∴原题得证． …（12分）
（说明：直线l方程也可设为：y=k（x﹣t），但需加入对斜率不存在情况的讨论，否则扣1分）
解析
（Ⅰ）直接利用抛物线的准线方程，求解抛物线C的标准方程即可；
（Ⅱ）设出直线方程与抛物线联立，转化原点O落在以AB为直径的圆上，得到
（12分）已知a是大于0的实数，函数f（x）=x2（x﹣a）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线平行与X轴，求a值；
（Ⅱ）求f（x）在区间[0，2]上的最小值；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设g（x）=f（x）+
正确答案
（Ⅰ）由题意得，f（x）=x2（x﹣a）+x=x3﹣ax2，
所以f′（x）=3x2﹣2ax，…（1分）
因为在点（2，f（2））处的切线平行与X轴，
所以f′（2）=3×4﹣2a×2=0，解得a=3； …（3分）
（Ⅱ）令f′（x）=3x2﹣2ax=0，解得x1=0，
①当
②当
f（x）在[0，
综上所述，当0＜a＜3时，fmin=f（
当a≥3时，fmin=f（2）=8﹣4a； …（8分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）得a=3，所以g（x）=x3﹣3x2+
则
∵g（x）是[3，+∞）上的增函数，
∴g′（x）≥0在[3，+∞）上恒成立，
即
设t=（x﹣1）2，t∈[4，+∞），
∴
∴
令
∴h（t）min=h（4）=36，则m≤36，
∴实数m的最大值是36． …（14分）
解析
（Ⅰ）由求导公式和法则求出f′（x），由导数的几何意义和条件列出方程，求出a的值；
（Ⅱ）由f′（x）=0求出临界点，根据已知的区间和临界点进行分类讨论，由导数的符号判断出函数f（x）的单调性，再分别求出函数f（x）的最小值；
（Ⅲ）由题意和求导公式求出g′（x），利用导数与函数单调性的关系，将条件转化为：g′（x）≥0在[3，+∞）上恒成立，设t=（x﹣1）2代入g′（x）化简后，分离出参数m后，利用二次函数的性质求出实数m的范围以及m的最大值．
请考生在第（22）、（23）两题任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．《选修4-4》
（10分）（2015•开封模拟）在直角坐标系xOy中，直线l经过点P（﹣1，0），其倾斜角为α，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+5=0．
（1）若直线l与曲线C有公共点，求α的取值范围；
（2）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．
正确答案
（1）将曲线ρ2﹣6ρcosθ+5=0化成直角坐标方程，得圆C：x2+y2﹣6x+5=0
直线l的参数方程为
将其代入圆C方程，得（﹣1+tcosα）2+（tsinα）2﹣6（﹣1+tcosα）+5=0
整理，得t2﹣8tcosα+12=0
∵直线l与圆C有公共点，
∴△≥0，即64cos2α﹣48≥0，可得cosα≤﹣
∵α为直线的倾斜角，得α∈[0，π）
∴α的取值范围为[0，
（2）由圆C：x2+y2﹣6x+5=0化成参数方程，得
∵M（x，y）为曲线C上任意一点，
∴x+y=3+2cosθ+2sinθ=3+2
∵sin（θ+
∴2
解析
（1）先根据极坐标与直角坐标互化的公式，算出曲线C的直角坐标方程，再结合直线l的参数方程：
（2）由（1）可得曲线C的参数方程，从而得到x+y=3+2
选修4﹣5；不等式选讲
已知不等式|x+1|+|x﹣2|≥m的解集是R．
（I）求实数m的取值范围：
（II）在（1）的条件下，当实数m取得最大值时，试判断
正确答案
（I）由绝对值不等式性质知：
|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3对x∈R恒成立
故不等式|x+1|+|x﹣2|≥m的解集是R，只须m≤3即可
∴m的取值范围是（﹣∞，3]…（4分）
（II）由（I）知实数m的最大值为3
当m=3时，不等式
这是一个正确的不等式，证明如下：
∵2
∴6+2
两边开方得
解析
（I）由绝对值不等式的性质：|a±b|≤|a|+|b|，可得已知不等式左边的最小值为3，由此结合题意可得m的取值范围是（﹣∞，3]．
（II）在（I）条件下，即证明