2016年高考真题理科数学 (全国III卷)

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试卷目录

1、单选题

2、填空题

3、简答题

真题试卷
模拟试卷
预测试卷

单选题本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

题型：单选题

分值: 5分

2.若，则

B-1

D-i

正确答案

解析

，故选C．

考查方向

1、复数的运算；2、共轭复数．

解题思路

写出z的共轭，然后应用乘法、除法运算化简。

易错点

在除法运算中，关键是“分母实数化”(分子、分母同乘以分母的共轭复数)，此时要注意区分(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2与(a＋b)(a－b)＝a2－b2，防止实数中的相关公式与复数运算混淆，造成计算失误．

知识点

复数的代数表示法及其几何意义

题型：单选题

分值: 5分

3.已知向量, 则ABC=

A30°

B45°

C60°

D120°

正确答案

解析

由题意，得，所以，故选A．

考查方向

向量夹角公式．

解题思路

利用向量的夹角公式求余弦，然后根据余弦值求角。

易错点

向量数量积以及模的运算。

知识点

单位向量

题型：单选题

分值: 5分

8.在中，，BC边上的高等于,则

正确答案

解析

设边上的高线为，则，所以，．由余弦定理，知

，故选C．

考查方向

余弦定理．

解题思路

利用三角形边角关系以及余弦定理变形求余弦值。

易错点

公式的变形，三角形中基本量的应用与求解。

知识点

弧度制的应用

题型：单选题

分值: 5分

1.设集合，则S∩T=

A.[2，3]

B（- ，2] [3,+）

C[3,+）

D（0，2] [3,+）

正确答案

考查方向

1、不等式的解法；2、集合的交集运算．

解题思路

化简集合S（即解不等式）,然后求S∩T。

易错点

不等式的解法，数轴表示集合。

知识点

集合的含义

题型：单选题

分值: 5分

4.某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。图中A点表示十月的平均最高气温约为15°C，B点表示四月的平均最低气温约为5°C。下面叙述不正确的是

A各月的平均最低气温都在0°C以上

B七月的平均温差比一月的平均温差大

C三月和十一月的平均最高气温基本相同

D平均气温高于20°C的月份有5个

正确答案

考查方向

1、平均数；2、统计图

解题思路

根据图中的最高气温和最低气温线观察分析。

易错点

审题要清晰，答案要求找不正确的；再者读图要细致，根据选择支语句加强讨论。

知识点

简单随机抽样

题型：单选题

分值: 5分

5.若，则

正确答案

解析

由，得或，所以

，故选A．

考查方向

1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．

解题思路

由正切值求正弦余弦，然后结合倍角公式求值。

易错点

三角函数值的符号问题，三角公式的应用

知识点

正切函数的周期性

题型：单选题

分值: 5分

6.已知，，，则

正确答案

解析

因为，，所以，故选A．

考查方向

幂函数的图象与性质．

解题思路

先将幂值统一成同底数的问题，再结合指数函数的性质以及幂函数的性质比较大小

易错点

幂值的化简，指数函数、幂函数的性质。

知识点

等差数列的性质及应用

题型：单选题

分值: 5分

7.执行下图的程序框图，如果输入的，那么输出的

正确答案

考查方向

程序框图．

解题思路

根据循环结构逐一运算,直到满足输出条件终止循环,输出结果.

易错点

循环的终止条件和控制循环变量求解。

知识点

循环结构

题型：单选题

分值: 5分

12.定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若m=4，则不同的“规范01数列”共有

A18个

B16个

C14个

D12个

正确答案

解析

由题意，得必有，，则具体的排法列表如下：

考查方向

计数原理的应用．

解题思路

将所有规范01数列列表，根据表格找出适合条件的数列。

易错点

注意列表的规范性，避免重复与遗漏。

知识点

导数的加法与减法法则

题型：单选题

分值: 5分

9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为

C90

D81

正确答案

解析

该三视图是以侧视图为底面的斜四棱柱

考查方向

空间几何体的三视图及表面积．

解题思路

根据三视图还原几何体,然后结合数据应用表面积公式求解.

易错点

注意还原几何体时把握几何体的结构特征。

知识点

空间几何体的结构特征

题型：单选题

分值: 5分

10.在封闭的直三棱柱内有一个体积为V的球，若，，，，则V的最大值是

A4π

C6π

正确答案

解析

要使球的体积最大，必须球的半径最大．由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值，此时球的体积为，故选B．

考查方向

1、三棱柱的内切球；2、球的体积．

解题思路

根据球的内切外接特点，结合棱柱的结构特征求出球的体积最值。

易错点

注意球的组合体中半径的求法。

知识点

空间几何体的结构特征

题型：单选题

分值: 5分

11.已知O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且轴.过点A的直线l与线段交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为

正确答案

考查方向

椭圆方程与几何性质．

解题思路

结合直线方程，三角形相似关系通过成比例的方程关系转化求解。

易错点

构造离心率的等量关系。

知识点

椭圆的定义及标准方程

填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在题中横线上。

题型：填空题

分值: 5分

13.若满足约束条件则的最大值为_____________.

正确答案

解析

考查方向

简单的线性规划问题．

解题思路

画出不等式组表示的平面区域,根据目标函数几何意义(本例理解为截距)求解。

易错点

线性规划问题的解题，首先要注意“直线定界，特殊点定域”的原则画好平面区域，再者注意目标函数的几何意义求最值，一般与截距、斜率、距离等问题有关。

知识点

一元二次不等式的解法

题型：填空题

分值: 5分

14.函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个

单位长度得到．

正确答案

解析

因为，＝

，所以函数的图像可由函数的图像至少向右平移个单位长度得到．

考查方向

1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数．

解题思路

先根据和角公式化简函数，再根据图像变换分析平移量。

易错点

平移的单位数量问题，要注意是否先进行了周期变换。

知识点

求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式

题型：填空题

分值: 5分

15.已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是_______________。

正确答案

解析

根据函数求出切线斜率，即可求出切线方程

考查方向

1、函数的奇偶性与解析式；2、导数的几何意义．

解题思路

先根据偶函数性质求出解析式，然后结合导数求切线方程。

易错点

函数的奇偶性问题，导数求解时出现失误。

知识点

变换法画函数图象

题型：填空题

分值: 5分

16.已知直线：与圆交于两点，过分别做的垂线与轴交于两点，若，则__________________.

正确答案

解析

因为，且圆的半径为，所以圆心到直线的距离为，则由，解得，代入直线的方程，得，所以直线的倾斜角为，由平面几何知识知在梯形中，．

考查方向

直线与圆的位置关系．

解题思路

结合直线与圆的相交关系构造半径，半弦长、圆心距之间的关系，求出参数m，然后结合平面几何知识求解。

易错点

直线与圆相交关系中的参数求解，圆的平面几何性质的应用。

知识点

幂函数的图像

简答题（综合题）本大题共70分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

题型：简答题

分值: 12分

19.如图，四棱锥中，地面，，，，为线段上一点，，为的中点．

（I）证明平面；

（II）求直线与平面所成角的正弦值.

正确答案

（Ⅰ）

由已知得，取的中点，连接，由为中点知，.

又，故学.科.网平行且等于，四边形为平行四边形，于是.

因为平面，平面，所以平面；（Ⅱ）．

解析

（Ⅰ）由已知得，取的中点，连接，由为中点知，.

又，故学.科.网平行且等于，四边形为平行四边形，于是.

因为平面，平面，所以平面.

（Ⅱ）取的中点，连结，由得，从而，且.

以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系由题意知，

，，，，

，，.

设为平面的法向量，则，即，可取，

于是.

考查方向

1、空间直线与平面间的平行与垂直关系；2、棱锥的体积．

解题思路

1.结合线面平行的判定定理可证

2.建立直角坐标系

易错点

线面平行中平行关系的构造问题，利用平面法向量求面面角时注意法向量的正确运算，注意二面角是锐角还是钝角。

知识点

线面角和二面角的求法

题型：简答题

分值: 12分

20. 已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．

（I）若在线段上，是的中点，证明；

（II）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.

正确答案

（Ⅰ）

由于在线段上，故.

记的斜率为，的斜率为，则

所以.

；（Ⅱ）．

解析

由题设.设，则，且

记过两点的直线为，则的方程为. .....3分

（Ⅰ）由于在线段上，故.

记的斜率为，的斜率为，则

所以. ......5分

（Ⅱ）设与轴的交点为，

则.

由题设可得，所以（舍去），.

设满足条件的的中点为.

当与轴不垂直时，由可得.

而，所以.

当与轴垂直时，与重合.所以，所求轨迹方程为. ....12分

考查方向

1、抛物线定义与几何性质；2、直线与抛物线位置关系；3、轨迹求法．

解题思路

设出与X轴垂直的直线，得出点的坐标，通过证明直线斜率即可证明结果

易错点

注意应用坐标法证明时利用斜率关系，求轨迹时不可忽视分类讨论。

知识点

函数图象的应用

题型：简答题

分值: 12分

17.已知数列的前n项和，其中．

(1)证明是等比数列，并求其通项公式；

(2)若，求．

正确答案

（Ⅰ）；（Ⅱ）．

解析

（Ⅰ）由题意得，故，，.

由，得，即.由，得，所以.

因此是首项为，公比为的等比数列，于是．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，由得，即，

解得．

考查方向

1、数列通项与前项和为关系；2、等比数列的定义与通项及前项和为．

解题思路

通过变换结合等比数列的定义可证

利用等比数列定义建立方程

易错点

容易忘记验证n=1的成立性，等比数列求和公式应用出错。

知识点

等差数列的性质及应用

题型：简答题

分值: 12分

18.下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图

（I）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；

（II）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量。

参考数据：，，，≈2.646.

参考公式：相关系数

回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

正确答案

（Ⅰ）因为与的相关系数近似为0.99，说明与的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系.；（Ⅱ）1.82亿吨．

解析

（Ⅰ）由折线图这数据和附注中参考数据得

，，，

，

因为与的相关系数近似为0.99，说明与的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系.

（Ⅱ）由及（Ⅰ）得，

所以，关于的回归方程为：.

将2016年对应的代入回归方程得：.

所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨.

考查方向

线性相关与线性回归方程的求法与应用．

解题思路

利用最小二乘法的原理提供的回归方程，准确求得相关数据即可建立回归方程做预测

易错点

最小二乘法的公式应用问题，数据的代入运算，相关系数的应用检测说明问题。

知识点

导数的乘法与除法法则

题型：简答题

分值: 12分

设函数，其中，记的最大值为．

21.求；

22.求A；

23.证明．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）；

解析

（Ⅰ）．

考查方向

1、三角恒等变换；2、导数的计算；3、三角函数的有界性．

解题思路

（Ⅰ）直接可求；

易错点

三角函数复合函数导数的求法；讨论含参数最值，对称轴与区间关系的分类分析；三角函数有界性与导数的分类讨论。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

Ⅱ；

解析

（Ⅱ）当时，

因此，． ………4分

当时，将变形为．

令，则是在上的最大值，，，且当时，取得极小值，极小值为．

令，解得（舍去），．

（ⅰ）当时，在内无极值点，，，，所以．

（ⅱ）当时，由，知．

又，所以．

综上，．　　　………9分

考查方向

1、三角恒等变换；2、导数的计算；3、三角函数的有界性．

解题思路

（Ⅱ）分两种情况，结合三角函数的有界性求出，但须注意当时还须进一步分为两种情况求解；

易错点

三角函数复合函数导数的求法；讨论含参数最值，对称轴与区间关系的分类分析；三角函数有界性与导数的分类讨论。

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅲ）由（Ⅰ）得.

当时，.

当时，，所以.

解析

（Ⅲ）由（Ⅰ）得.

当时，.

当时，，所以.

考查方向

1、三角恒等变换；2、导数的计算；3、三角函数的有界性．

解题思路

（Ⅲ）首先由（Ⅰ）得到，然后分，三种情况证明

易错点

三角函数复合函数导数的求法；讨论含参数最值，对称轴与区间关系的分类分析；三角函数有界性与导数的分类讨论。

题型：简答题

分值: 10分

请考生在选做题中任选一题作答。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。

24.选修4-1：几何证明选讲

如图，⊙O 中弧AB的中点为，弦分别交于两点．

（I）若，求的大小；

（II）若的垂直平分线与的垂直平分线交于点，证明．

25.选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .

（I）写出的普通方程和的直角坐标方程；

（II）设点P在上，点Q在上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.

26.选修4-5：不等式选讲

已知函数

（I）当a=2时，求不等式的解集；

（II）设函数当时，，求的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）；（Ⅱ）因为，所以，由此知四点共圆，其圆心既在的垂直平分线上，又在的垂直平分线上，故就是过四点的圆的圆心，所以在的垂直平分线上，因此.

解析

（Ⅰ）连结，则.

因为，所以，又，所以.

又，所以，因此.

（Ⅱ）因为，所以，由此知四点共圆，其圆心既在的垂直平分线上，又在的垂直平分线上，故就是过四点的圆的圆心，所以在的垂直平分线上，因此.

考查方向

1、圆周角定理；2、三角形内角和定理；3、垂直平分线定理；4、四点共圆．

解题思路

1、圆周角定理；2、三角形内角和定理；3、垂直平分线定理；4、四点共圆．

易错点

圆周角定理，四点共圆相关性质问题。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）的普通方程为，的直角坐标方程为；（Ⅱ）．

解析

选修4-4：坐标系与参数方程

（Ⅰ）的普通方程为，的直角坐标方程为. ……5分

（Ⅱ）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值，

即为到的距离的最小值，.

………………8分

当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为. ………………10分

考查方向

1、椭圆的参数方程；2、直线的极坐标方程．

解题思路

利用同角三角函数关系中的平方关系化曲线c1 的参数方程普通方程式，利用公式代入C2的极坐标方程即可

易错点

参数方程与普通方程的互化，点线距中最后与三角的综合应用。

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）；（Ⅱ）．

解析

（Ⅰ）当时，.

解不等式，得.

因此，的解集为. ………………5分

（Ⅱ）当时，

，

当时等号成立，

所以当时，等价于. ① ……7分

当时，①等价于，无解.

当时，①等价于，解得.

所以的取值范围是. ………………10分

考查方向

1、绝对值不等式的解法；2、三角形绝对值不等式的应用．

解题思路

（Ⅰ）利用等价不等式，进而通过解不等式可求得；（Ⅱ）根据条件可首先将问题转化求解的最小值，此最值可利用三角形不等式求得，再根据恒成立的意义建立简单的关于的不等式求解即可．

易错点

绝对值符号的去掉讨论，含参数问题的分类讨论。

理科数学 热门试卷

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

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考查方向

解题思路

易错点

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