2016年高考真题 理科数学 (全国III卷)
精品
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单选题 本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

2.若,则 

A1

B-1

Ci

D-i

正确答案

C

解析

,故选C.

考查方向

1、复数的运算;2、共轭复数.

解题思路

写出z的共轭,然后应用乘法、除法运算化简。

易错点

在除法运算中,关键是“分母实数化”(分子、分母同乘以分母的共轭复数),此时要注意区分(a+bi)(a-bi)=a2+b2与(a+b)(a-b)=a2-b2,防止实数中的相关公式与复数运算混淆,造成计算失误.

知识点

复数的代数表示法及其几何意义
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

3.已知向量, 则ABC=

A30°

B45°

C60°

D120°

正确答案

A

解析

由题意,得,所以,故选A.

考查方向

向量夹角公式.

解题思路

利用向量的夹角公式求余弦,然后根据余弦值求角。

易错点

向量数量积以及模的运算。

知识点

单位向量
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

8.在中,BC边上的高等于,则

A

B

C

D

正确答案

C

解析

边上的高线为,则,所以.由余弦定理,知

,故选C.

考查方向

余弦定理.

解题思路

利用三角形边角关系以及余弦定理变形求余弦值。

易错点

公式的变形,三角形中基本量的应用与求解。

知识点

弧度制的应用
1
题型: 单选题
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分值: 5分

1.设集合 ,则ST=

A.[2,3]

B(- ,2] [3,+

C[3,+

D(0,2] [3,+

正确答案

D

考查方向

1、不等式的解法;2、集合的交集运算.

解题思路

化简集合S(即解不等式),然后求ST。

易错点

不等式的解法,数轴表示集合。

知识点

集合的含义
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

4.某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。图中A点表示十月的平均最高气温约为15°C,B点表示四月的平均最低气温约为5°C。下面叙述不正确的是

A各月的平均最低气温都在0°C以上

B七月的平均温差比一月的平均温差大

C三月和十一月的平均最高气温基本相同

D平均气温高于20°C的月份有5个

正确答案

D

考查方向

1、平均数;2、统计图

解题思路

根据图中的最高气温和最低气温线观察分析。

易错点

审题要清晰,答案要求找不正确的;再者读图要细致,根据选择支语句加强讨论。

知识点

简单随机抽样
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

5.若 ,则

A

B

C1

D

正确答案

A

解析

,得,所以

,故选A.

考查方向

1、同角三角函数间的基本关系;2、倍角公式.

解题思路

由正切值求正弦余弦,然后结合倍角公式求值。

易错点

三角函数值的符号问题,三角公式的应用

知识点

正切函数的周期性
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

6.已知,则

A

B

C

D

正确答案

A

解析

因为,所以,故选A.

考查方向

幂函数的图象与性质.

解题思路

先将幂值统一成同底数的问题,再结合指数函数的性质以及幂函数的性质比较大小

易错点

幂值的化简,指数函数、幂函数的性质。

知识点

等差数列的性质及应用
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

7.执行下图的程序框图,如果输入的,那么输出的

A3

B4

C5

D6

正确答案

B

考查方向

程序框图.

解题思路

根据循环结构逐一运算,直到满足输出条件终止循环,输出结果.

易错点

循环的终止条件和控制循环变量求解。

知识点

循环结构
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

12.定义“规范01数列”{an}如下:{an}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意中0的个数不少于1的个数.若m=4,则不同的“规范01数列”共有

A18个

B16个

C14个

D12个

正确答案

C

解析

由题意,得必有,则具体的排法列表如下:

考查方向

计数原理的应用.

解题思路

将所有规范01数列列表,根据表格找出适合条件的数列。

易错点

注意列表的规范性,避免重复与遗漏。

知识点

导数的加法与减法法则
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

9.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实现画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为

A

B

C90

D81

正确答案

B

解析

该三视图是以侧视图为底面的斜四棱柱

考查方向

空间几何体的三视图及表面积.

解题思路

根据三视图还原几何体,然后结合数据应用表面积公式求解.

易错点

注意还原几何体时把握几何体的结构特征。

知识点

空间几何体的结构特征
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

10.在封闭的直三棱柱内有一个体积为V的球,若,则V的最大值是

A

B

C

D

正确答案

B

解析

要使球的体积最大,必须球的半径最大.由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时,球的半径取得最大值,此时球的体积为,故选B.

考查方向

1、三棱柱的内切球;2、球的体积.

解题思路

根据球的内切外接特点,结合棱柱的结构特征求出球的体积最值。

易错点

注意球的组合体中半径的求法。

知识点

空间几何体的结构特征
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

11.已知O为坐标原点,F是椭圆C的左焦点,AB分别为C的左,右顶点.PC上一点,且轴.过点A的直线l与线段交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为

A

B

C

D

正确答案

A

考查方向

椭圆方程与几何性质.

解题思路

结合直线方程,三角形相似关系通过成比例的方程关系转化求解。

易错点

构造离心率的等量关系。

知识点

椭圆的定义及标准方程
填空题 本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
|
分值: 5分

13.若满足约束条件 则的最大值为_____________.

正确答案

解析

考查方向

简单的线性规划问题.

解题思路

画出不等式组表示的平面区域,根据目标函数几何意义(本例理解为截距)求解。

易错点

线性规划问题的解题,首先要注意“直线定界,特殊点定域”的原则画好平面区域,再者注意目标函数的几何意义求最值,一般与截距、斜率、距离等问题有关。

知识点

一元二次不等式的解法
1
题型:填空题
|
分值: 5分

14.函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个

单位长度得到.

正确答案

解析

因为

,所以函数的图像可由函数的图像至少向右平移个单位长度得到.

考查方向

1、三角函数图象的平移变换;2、两角和与差的正弦函数.

解题思路

先根据和角公式化简函数,再根据图像变换分析平移量。

易错点

平移的单位数量问题,要注意是否先进行了周期变换。

知识点

求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式
1
题型:填空题
|
分值: 5分

15.已知为偶函数,当时,,则曲线在点处的切线方程是_______________。

正确答案

解析

根据函数求出切线斜率,即可求出切线方程

考查方向

1、函数的奇偶性与解析式;2、导数的几何意义.

解题思路

先根据偶函数性质求出解析式,然后结合导数求切线方程。

易错点

函数的奇偶性问题,导数求解时出现失误。

知识点

变换法画函数图象
1
题型:填空题
|
分值: 5分

16.已知直线与圆交于两点,过分别做的垂线与轴交于两点,若,则__________________.

正确答案

4

解析

因为,且圆的半径为,所以圆心到直线的距离为,则由,解得,代入直线的方程,得,所以直线的倾斜角为,由平面几何知识知在梯形中,

考查方向

直线与圆的位置关系.

解题思路

结合直线与圆的相交关系构造半径,半弦长、圆心距之间的关系,求出参数m,然后结合平面几何知识求解。

易错点

直线与圆相交关系中的参数求解,圆的平面几何性质的应用。

知识点

幂函数的图像
简答题(综合题) 本大题共70分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
|
分值: 12分

19.如图,四棱锥中,地面为线段上一点,的中点.

(I)证明平面

(II)求直线与平面所成角的正弦值.

正确答案

(Ⅰ)

由已知得,取的中点,连接,由中点知.

,故学.科.网平行且等于,四边形为平行四边形,于是.

因为平面平面,所以平面;(Ⅱ)

解析

(Ⅰ)由已知得,取的中点,连接,由中点知.

,故学.科.网平行且等于,四边形为平行四边形,于是.

因为平面平面,所以平面.

(Ⅱ)取的中点,连结,由,从而,且.

为坐标原点,的方向为轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系由题意知,

.

为平面的法向量,则,即,可取

于是.

考查方向

1、空间直线与平面间的平行与垂直关系;2、棱锥的体积.

解题思路

1.结合线面平行的判定定理可证

2.建立直角坐标系

易错点

线面平行中平行关系的构造问题,利用平面法向量求面面角时注意法向量的正确运算,注意二面角是锐角还是钝角。

知识点

线面角和二面角的求法
1
题型:简答题
|
分值: 12分

20. 已知抛物线的焦点为,平行于轴的两条直线分别交两点,交的准线于两点.

(I)若在线段上,的中点,证明

(II)若的面积是的面积的两倍,求中点的轨迹方程.

正确答案

(Ⅰ)

由于在线段上,故.

的斜率为的斜率为,则

.

所以.   

;(Ⅱ)

解析

 

由题设.设,则,且

.

记过两点的直线为,则的方程为.   .....3分

(Ⅰ)由于在线段上,故.

的斜率为的斜率为,则

.

所以.     ......5分

(Ⅱ)设轴的交点为

.

由题设可得,所以(舍去),.

设满足条件的的中点为.

轴不垂直时,由可得.

,所以.

轴垂直时,重合.所以,所求轨迹方程为.   ....12分

考查方向

1、抛物线定义与几何性质;2、直线与抛物线位置关系;3、轨迹求法.

解题思路

设出与X轴垂直的直线,得出点的坐标,通过证明直线斜率即可证明结果

易错点

注意应用坐标法证明时利用斜率关系,求轨迹时不可忽视分类讨论。

知识点

函数图象的应用
1
题型:简答题
|
分值: 12分

17.已知数列的前n项和,其中

(1)证明是等比数列,并求其通项公式;

(2)若 ,求

正确答案

(Ⅰ);(Ⅱ)

解析

(Ⅰ)由题意得,故.

,即.由,所以.

因此是首项为,公比为的等比数列,于是

(Ⅱ)由(Ⅰ)得,由,即

解得

考查方向

1、数列通项与前项和为关系;2、等比数列的定义与通项及前项和为.

解题思路

通过变换结合等比数列的定义可证

利用等比数列定义建立方程

易错点

容易忘记验证n=1的成立性,等比数列求和公式应用出错。

知识点

等差数列的性质及应用
1
题型:简答题
|
分值: 12分

18.下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图

(I)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请用相关系数加以说明;

(II)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01),预测2016年我国生活垃圾无害化处理量。

参考数据:,≈2.646.

参考公式:相关系数

回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:

正确答案

(Ⅰ)因为的相关系数近似为0.99,说明的线性相关相当高,从而可以用线性回归模型拟合的关系.;(Ⅱ)1.82亿吨.

解析

(Ⅰ)由折线图这数据和附注中参考数据得

.

因为的相关系数近似为0.99,说明的线性相关相当高,从而可以用线性回归模型拟合的关系.

(Ⅱ)由及(Ⅰ)得

.

所以,关于的回归方程为:.

将2016年对应的代入回归方程得:.

所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨.

考查方向

线性相关与线性回归方程的求法与应用.

解题思路

利用最小二乘法的原理提供的回归方程,准确求得相关数据即可建立回归方程做预测

易错点

最小二乘法的公式应用问题,数据的代入运算,相关系数的应用检测说明问题。

知识点

导数的乘法与除法法则
1
题型:简答题
|
分值: 12分

设函数,其中,记的最大值为

21.求

22.求A;

23.证明

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

(Ⅰ)

解析

(Ⅰ)

考查方向

1、三角恒等变换;2、导数的计算;3、三角函数的有界性.

解题思路

(Ⅰ)直接可求

易错点

三角函数复合函数导数的求法;讨论含参数最值,对称轴与区间关系的分类分析;三角函数有界性与导数的分类讨论。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

(Ⅱ)当时,

因此,.      ………4分

时,将变形为

,则上的最大值,,且当时,取得极小值,极小值为

,解得(舍去),

(ⅰ)当时,内无极值点,,所以

(ⅱ)当时,由,知

,所以

综上,.   ………9分

考查方向

1、三角恒等变换;2、导数的计算;3、三角函数的有界性.

解题思路

(Ⅱ)分两种情况,结合三角函数的有界性求出,但须注意当时还须进一步分为两种情况求解;

易错点

三角函数复合函数导数的求法;讨论含参数最值,对称轴与区间关系的分类分析;三角函数有界性与导数的分类讨论。

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

(Ⅲ)由(Ⅰ)得.

时,.

时,,所以.

时,,所以.

解析

(Ⅲ)由(Ⅰ)得.

时,.

时,,所以.

时,,所以.

考查方向

1、三角恒等变换;2、导数的计算;3、三角函数的有界性.

解题思路

(Ⅲ)首先由(Ⅰ)得到,然后分三种情况证明

易错点

三角函数复合函数导数的求法;讨论含参数最值,对称轴与区间关系的分类分析;三角函数有界性与导数的分类讨论。

1
题型:简答题
|
分值: 10分

请考生在选做题中任选一题作答。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如果多做,则按所做的第一题计分。

24.选修4-1:几何证明选讲

如图,⊙中弧AB的中点为,弦分别交两点.

(I)若,求的大小;

(II)若的垂直平分线与的垂直平分线交于点,证明

25.选修4-4:坐标系与参数方程

在直角坐标系中,曲线的参数方程为,以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴,,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为 .

(I)写出的普通方程和的直角坐标方程;

(II)设点P上,点Q上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.

26.选修4-5:不等式选讲

已知函数

(I)当a=2时,求不等式的解集;

(II)设函数时,,求的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

(Ⅰ);(Ⅱ)因为,所以,由此知四点共圆,其圆心既在的垂直平分线上,又在的垂直平分线上,故就是过四点的圆的圆心,所以的垂直平分线上,因此.

解析

(Ⅰ)连结,则.

因为,所以,又,所以.

,所以, 因此.

(Ⅱ)因为,所以,由此知四点共圆,其圆心既在的垂直平分线上,又在的垂直平分线上,故就是过四点的圆的圆心,所以的垂直平分线上,因此.

考查方向

1、圆周角定理;2、三角形内角和定理;3、垂直平分线定理;4、四点共圆.

解题思路

1、圆周角定理;2、三角形内角和定理;3、垂直平分线定理;4、四点共圆.

易错点

圆周角定理,四点共圆相关性质问题。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(Ⅰ)的普通方程为的直角坐标方程为;(Ⅱ)

解析

选修4-4:坐标系与参数方程

(Ⅰ)的普通方程为的直角坐标方程为. ……5分

(Ⅱ)由题意,可设点的直角坐标为,因为是直线,所以的最小值,

即为的距离的最小值,.

………………8分

当且仅当时,取得最小值,最小值为,此时的直角坐标为.      ………………10分

考查方向

1、椭圆的参数方程;2、直线的极坐标方程.

解题思路

利用同角三角函数关系中的平方关系化曲线c1 的参数方程 普通方程式,利用公式代入C2的极坐标方程即可

易错点

参数方程与普通方程的互化,点线距中最后与三角的综合应用。

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

(Ⅰ);(Ⅱ)

解析

(Ⅰ)当时,.

解不等式,得.

因此,的解集为.      ………………5分

(Ⅱ)当时,

时等号成立,

所以当时,等价于.  ①   ……7分

时,①等价于,无解.

时,①等价于,解得.

所以的取值范围是.    ………………10分

考查方向

1、绝对值不等式的解法;2、三角形绝对值不等式的应用.

解题思路

(Ⅰ)利用等价不等式,进而通过解不等式可求得;(Ⅱ)根据条件可首先将问题转化求解的最小值,此最值可利用三角形不等式求得,再根据恒成立的意义建立简单的关于的不等式求解即可.

易错点

绝对值符号的去掉讨论,含参数问题的分类讨论。

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