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2.若,则
正确答案
解析
,故选C.
考查方向
解题思路
写出z的共轭,然后应用乘法、除法运算化简。
易错点
在除法运算中,关键是“分母实数化”(分子、分母同乘以分母的共轭复数),此时要注意区分(a+bi)(a-bi)=a2+b2与(a+b)(a-b)=a2-b2,防止实数中的相关公式与复数运算混淆,造成计算失误.
知识点
3.已知向量,
则
ABC=
正确答案
解析
由题意,得,所以
,故选A.
考查方向
解题思路
利用向量的夹角公式求余弦,然后根据余弦值求角。
易错点
向量数量积以及模的运算。
知识点
8.在中,
,BC边上的高等于
,则
正确答案
解析
设边上的高线为
,则
,所以
,
.由余弦定理,知
,故选C.
考查方向
解题思路
利用三角形边角关系以及余弦定理变形求余弦值。
易错点
公式的变形,三角形中基本量的应用与求解。
知识点
1.设集合 ,则S∩T=
正确答案
考查方向
解题思路
化简集合S(即解不等式),然后求S∩T。
易错点
不等式的解法,数轴表示集合。
知识点
4.某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。图中A点表示十月的平均最高气温约为15°C,B点表示四月的平均最低气温约为5°C。下面叙述不正确的是
正确答案
考查方向
解题思路
根据图中的最高气温和最低气温线观察分析。
易错点
审题要清晰,答案要求找不正确的;再者读图要细致,根据选择支语句加强讨论。
知识点
5.若 ,则
正确答案
解析
由,得
或
,所以
,故选A.
考查方向
解题思路
由正切值求正弦余弦,然后结合倍角公式求值。
易错点
三角函数值的符号问题,三角公式的应用
知识点
6.已知,
,
,则
正确答案
解析
因为,
,所以
,故选A.
考查方向
解题思路
先将幂值统一成同底数的问题,再结合指数函数的性质以及幂函数的性质比较大小
易错点
幂值的化简,指数函数、幂函数的性质。
知识点
7.执行下图的程序框图,如果输入的,那么输出的
正确答案
考查方向
解题思路
根据循环结构逐一运算,直到满足输出条件终止循环,输出结果.
易错点
循环的终止条件和控制循环变量求解。
知识点
12.定义“规范01数列”{an}如下:{an}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意,
中0的个数不少于1的个数.若m=4,则不同的“规范01数列”共有
正确答案
解析
由题意,得必有,
,则具体的排法列表如下:
考查方向
解题思路
将所有规范01数列列表,根据表格找出适合条件的数列。
易错点
注意列表的规范性,避免重复与遗漏。
知识点
9.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实现画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为
正确答案
解析
该三视图是以侧视图为底面的斜四棱柱
考查方向
解题思路
根据三视图还原几何体,然后结合数据应用表面积公式求解.
易错点
注意还原几何体时把握几何体的结构特征。
知识点
10.在封闭的直三棱柱内有一个体积为V的球,若
,
,
,
,则V的最大值是
正确答案
解析
要使球的体积最大,必须球的半径
最大.由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时,球的半径取得最大值
,此时球的体积为
,故选B.
考查方向
解题思路
根据球的内切外接特点,结合棱柱的结构特征求出球的体积最值。
易错点
注意球的组合体中半径的求法。
知识点
11.已知O为坐标原点,F是椭圆C:的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且
轴.过点A的直线l与线段
交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为
正确答案
考查方向
解题思路
结合直线方程,三角形相似关系通过成比例的方程关系转化求解。
易错点
构造离心率的等量关系。
知识点
13.若满足约束条件
则
的最大值为_____________.
正确答案
解析
考查方向
解题思路
画出不等式组表示的平面区域,根据目标函数几何意义(本例理解为截距)求解。
易错点
线性规划问题的解题,首先要注意“直线定界,特殊点定域”的原则画好平面区域,再者注意目标函数的几何意义求最值,一般与截距、斜率、距离等问题有关。
知识点
14.函数的图像可由函数
的图像至少向右平移_____________个
单位长度得到.
正确答案
解析
因为,
=
,所以函数
的图像可由函数
的图像至少向右平移
个单位长度得到.
考查方向
解题思路
先根据和角公式化简函数,再根据图像变换分析平移量。
易错点
平移的单位数量问题,要注意是否先进行了周期变换。
知识点
15.已知为偶函数,当
时,
,则曲线
在点
处的切线方程是_______________。
正确答案
解析
根据函数求出切线斜率,即可求出切线方程
考查方向
解题思路
先根据偶函数性质求出解析式,然后结合导数求切线方程。
易错点
函数的奇偶性问题,导数求解时出现失误。
知识点
16.已知直线:
与圆
交于
两点,过
分别做
的垂线与
轴交于
两点,若
,则
__________________.
正确答案
4
解析
因为,且圆的半径为
,所以圆心
到直线
的距离为
,则由
,解得
,代入直线
的方程,得
,所以直线
的倾斜角为
,由平面几何知识知在梯形
中,
.
考查方向
解题思路
结合直线与圆的相交关系构造半径,半弦长、圆心距之间的关系,求出参数m,然后结合平面几何知识求解。
易错点
直线与圆相交关系中的参数求解,圆的平面几何性质的应用。
知识点
19.如图,四棱锥中,
地面
,
,
,
,
为线段
上一点,
,
为
的中点.
(I)证明平面
;
(II)求直线与平面
所成角的正弦值.
正确答案
(Ⅰ)
由已知得,取
的中点
,连接
,由
为
中点知
,
.
又,故
学.科.网平行且等于
,四边形
为平行四边形,于是
.
因为平面
,
平面
,所以
平面
;(Ⅱ)
.
解析
(Ⅰ)由已知得,取
的中点
,连接
,由
为
中点知
,
.
又,故
学.科.网平行且等于
,四边形
为平行四边形,于是
.
因为平面
,
平面
,所以
平面
.
(Ⅱ)取的中点
,连结
,由
得
,从而
,且
.
以为坐标原点,
的方向为
轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系
由题意知,
,
,
,
,
,
,
.
设为平面
的法向量,则
,即
,可取
,
于是.
考查方向
解题思路
1.结合线面平行的判定定理可证
2.建立直角坐标系
易错点
线面平行中平行关系的构造问题,利用平面法向量求面面角时注意法向量的正确运算,注意二面角是锐角还是钝角。
知识点
20. 已知抛物线:
的焦点为
,平行于
轴的两条直线
分别交
于
两点,交
的准线于
两点.
(I)若在线段
上,
是
的中点,证明
;
(II)若的面积是
的面积的两倍,求
中点的轨迹方程.
正确答案
(Ⅰ)
由于在线段
上,故
.
记的斜率为
,
的斜率为
,则
.
所以.
;(Ⅱ).
解析
由题设.设
,则
,且
.
记过两点的直线为
,则
的方程为
. .....3分
(Ⅰ)由于在线段
上,故
.
记的斜率为
,
的斜率为
,则
.
所以. ......5分
(Ⅱ)设与
轴的交点为
,
则.
由题设可得,所以
(舍去),
.
设满足条件的的中点为
.
当与
轴不垂直时,由
可得
.
而,所以
.
当与
轴垂直时,
与
重合.所以,所求轨迹方程为
. ....12分
考查方向
解题思路
设出与X轴垂直的直线,得出点的坐标,通过证明直线斜率即可证明结果
易错点
注意应用坐标法证明时利用斜率关系,求轨迹时不可忽视分类讨论。
知识点
17.已知数列的前n项和
,其中
.
(1)证明是等比数列,并求其通项公式;
(2)若 ,求
.
正确答案
(Ⅰ);(Ⅱ)
.
解析
(Ⅰ)由题意得,故
,
,
.
由,
得
,即
.由
,
得
,所以
.
因此是首项为
,公比为
的等比数列,于是
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,由
得
,即
,
解得.
考查方向
1、数列通项与前项和为关系;2、等比数列的定义与通项及前项和为.
解题思路
通过变换结合等比数列的定义可证
利用等比数列定义建立方程
易错点
容易忘记验证n=1的成立性,等比数列求和公式应用出错。
知识点
18.下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图
(I)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请用相关系数加以说明;
(II)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01),预测2016年我国生活垃圾无害化处理量。
参考数据:,
,
,≈2.646.
参考公式:相关系数
回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
正确答案
(Ⅰ)因为与
的相关系数近似为0.99,说明
与
的线性相关相当高,从而可以用线性回归模型拟合
与
的关系.;(Ⅱ)1.82亿吨.
解析
(Ⅰ)由折线图这数据和附注中参考数据得
,
,
,
,
.
因为与
的相关系数近似为0.99,说明
与
的线性相关相当高,从而可以用线性回归模型拟合
与
的关系.
(Ⅱ)由及(Ⅰ)得
,
.
所以,关于
的回归方程为:
.
将2016年对应的代入回归方程得:
.
所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨.
考查方向
解题思路
利用最小二乘法的原理提供的回归方程,准确求得相关数据即可建立回归方程做预测
易错点
最小二乘法的公式应用问题,数据的代入运算,相关系数的应用检测说明问题。
知识点
设函数,其中
,记
的最大值为
.
21.求;
22.求A;
23.证明.
正确答案
(Ⅰ);
解析
(Ⅰ).
考查方向
解题思路
(Ⅰ)直接可求;
易错点
三角函数复合函数导数的求法;讨论含参数最值,对称轴与区间关系的分类分析;三角函数有界性与导数的分类讨论。
正确答案
Ⅱ;
解析
(Ⅱ)当时,
因此,. ………4分
当时,将
变形为
.
令,则
是
在
上的最大值,
,
,且当
时,
取得极小值,极小值为
.
令,解得
(舍去),
.
(ⅰ)当时,
在
内无极值点,
,
,
,所以
.
(ⅱ)当时,由
,知
.
又,所以
.
综上,. ………9分
考查方向
解题思路
(Ⅱ)分两种情况,结合三角函数的有界性求出
,但须注意当
时还须进一步分为
两种情况求解;
易错点
三角函数复合函数导数的求法;讨论含参数最值,对称轴与区间关系的分类分析;三角函数有界性与导数的分类讨论。
正确答案
(Ⅲ)由(Ⅰ)得.
当时,
.
当时,
,所以
.
当时,
,所以
.
解析
(Ⅲ)由(Ⅰ)得.
当时,
.
当时,
,所以
.
当时,
,所以
.
考查方向
解题思路
(Ⅲ)首先由(Ⅰ)得到,然后分
,
三种情况证明
易错点
三角函数复合函数导数的求法;讨论含参数最值,对称轴与区间关系的分类分析;三角函数有界性与导数的分类讨论。
请考生在选做题中任选一题作答。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如果多做,则按所做的第一题计分。
24.选修4-1:几何证明选讲
如图,⊙O 中弧AB的中点为,弦
分别交
于
两点.
(I)若,求
的大小;
(II)若的垂直平分线与
的垂直平分线交于点
,证明
.
25.选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
,以坐标原点为极点,以
轴的正半轴为极轴,,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(I)写出的普通方程和
的直角坐标方程;
(II)设点P在上,点Q在
上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.
26.选修4-5:不等式选讲
已知函数
(I)当a=2时,求不等式的解集;
(II)设函数当
时,
,求
的取值范围.
正确答案
(Ⅰ);(Ⅱ)因为
,所以
,由此知
四点共圆,其圆心既在
的垂直平分线上,又在
的垂直平分线上,故
就是过
四点的圆的圆心,所以
在
的垂直平分线上,因此
.
解析
(Ⅰ)连结,则
.
因为,所以
,又
,所以
.
又,所以
, 因此
.
(Ⅱ)因为,所以
,由此知
四点共圆,其圆心既在
的垂直平分线上,又在
的垂直平分线上,故
就是过
四点的圆的圆心,所以
在
的垂直平分线上,因此
.
考查方向
解题思路
1、圆周角定理;2、三角形内角和定理;3、垂直平分线定理;4、四点共圆.
易错点
圆周角定理,四点共圆相关性质问题。
正确答案
(Ⅰ)的普通方程为
,
的直角坐标方程为
;(Ⅱ)
.
解析
选修4-4:坐标系与参数方程
(Ⅰ)的普通方程为
,
的直角坐标方程为
. ……5分
(Ⅱ)由题意,可设点的直角坐标为
,因为
是直线,所以
的最小值,
即为到
的距离
的最小值,
.
………………8分
当且仅当时,
取得最小值,最小值为
,此时
的直角坐标为
. ………………10分
考查方向
1、椭圆的参数方程;2、直线的极坐标方程.
解题思路
利用同角三角函数关系中的平方关系化曲线c1 的参数方程 普通方程式,利用公式代入C2的极坐标方程即可
易错点
参数方程与普通方程的互化,点线距中最后与三角的综合应用。
正确答案
(Ⅰ);(Ⅱ)
.
解析
(Ⅰ)当时,
.
解不等式,得
.
因此,的解集为
. ………………5分
(Ⅱ)当时,
,
当时等号成立,
所以当时,
等价于
. ① ……7分
当时,①等价于
,无解.
当时,①等价于
,解得
.
所以的取值范围是
. ………………10分
考查方向
解题思路
(Ⅰ)利用等价不等式,进而通过解不等式可求得;(Ⅱ)根据条件可首先将问题转化求解
的最小值,此最值可利用三角形不等式求得,再根据恒成立的意义建立简单的关于
的不等式求解即可.
易错点
绝对值符号的去掉讨论,含参数问题的分类讨论。